《电磁场与电磁波》课程教学课件（讲稿）第三章 静态场及其边值问题的解

第3章 静态电磁场及其边值问题的解

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2场量不随时间变化，包括：静态电磁场：静电场、恒定电场和恒定磁场时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立本章内容静电场分析3.13.2导电媒质中的恒定电场分析3.3恒定磁场分析3.4静态场的边值问题及解的惟一性定理镜像法3.5分离变量法3.6

2 本章内容 3.1 静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.5 镜像法 3.6 分离变量法 • 静态电磁场：场量不随时间变化，包括： 静电场、恒定电场和恒定磁场 • 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 • 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

33.1静电场分析学习内容3.1.1静电场的基本方程和边界条件电位函数3.1.23.1.3导体系统的电容与部分电容3.1.4静电场的能量静电力3.1.5

3 3.1 静电场分析 学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量 3.1.5 静电力

4静电场的基本方程和边界条件3.1.11. 基本方程fD.ds = qV.D=p微分形式：积分形式：V×E=0fE.di =0D=cE本构关系：Din -D2n = Ps2.边界条件e, .(D, - D,)= Ps或Et -E2t = 0é, ×(E, -E,)= 0若分界面上不存在面电荷，即βs=0，则é, (D -D,)=0D.1n2Y或Ei, = E2té, ×(E, -E2)=0

4 2. 边界条件         E 0 D    微分形式： D E   本构关系：   1. 基本方程           ( ) 0 ( ) 1 2 1 2 e E E e D D n n S                   d 0 d E l D S q C S     积分形式：           ( ) 0 ( ) 0 1 2 1 2 e E E e D D n n              1 2 0 1 2 t t n n S E E D D  或 若分界面上不存在面电荷，即ρS＝0，则      t t n n E E D D 1 2 1 2 或 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件

5场矢量的折射关系Eeni介质1Gtan e,Er, / Ein - Gf / Din介质2E2./E2ntan 0,62/ D622导体表面的边界条件在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为en·D=Ps[Dn=Ps或E, =0é,×E=0

5 介质2 介质1 2  1   2 1 E2  E1  n e  2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 / / / / tan tan          n n t n t n D D E E E E 在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的 边界条件为         e E 0 e D n n S           t 0 n S E D  或 场矢量的折射关系 导体表面的边界条件

6电位函数3.1.21.电位函数的定义由V×E=0E=-Vβ即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数?称为静电场的标量电位或简称电位

6  E  0  由 即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数  称为静 电场的标量电位或简称电位。 1. 电位函数的定义 E    3.1.2 电位函数

电位的表达式E=-VR-r-r对于连续的体分布电荷，由roE(r)p(r)V(=)dVPR4元84元8)dAdV'+C故得p(rR4元ds'+C面电荷的电位：()R+元rdl'+线电荷的电位：@()R4元8C点电荷的电位：@(r)4元R

7 2. 电位的表达式 对于连续的体分布电荷，由 面电荷的电位： 1 ( ) ( ) d 4 V r r V C R       故得  点电荷的电位： ( ) 4 q r C R     1 ( ) ( ) d 4 S S r r S C R        1 ( ) ( ) d 4 l C r r l C R        )d ] 1 ( )( 4 1 [ )d 1 ( ) ( 4 1 d ( ) 4 1 ( ) 3 V R r V R V r R r R E r V V V                            3 ) 1 ( R R R     线电荷的电位： R  r  r     E   

83.电位差两端点乘di，则有将E=-VβIaaaE.dl =-V@.dl = -dy)=-dβdx+dy+oyoyOx上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得电场力做T E d7;= -fd =i(P)-0(Q)的功P、Q两点间的电位差关于电位差的说明P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处：电位差也称为电压，可用U表示；电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关

8 3. 电位差 两端点乘 l ，则有  E   d  将     d  d ( d d d )  d               y y y y x x E l l    上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得 关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q 点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用U 表示； 电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。 E dl d (P) (Q) Q P Q P          P、Q 两点间的电位差 电场力做 的功

0电位参考点静电位不惟一，可以相差一个常数，即p'=@+C=Vp=V@+C)=VΦ为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即选参考点令参考点电位为零电位确定值（电位差选择电位参考点的原则两点间电位差有定值应使电位表达式有意义：通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，限远作电位参考点：同一个问题只能有一个参考点

9 静电位不惟一，可以相差一个常数，即   C   ( C)   选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差) 选择电位参考点的原则 两点间电位差有定值 应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。 4. 电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考 点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确 定值，所以该点的电位也就具有确定值，即

10例 3.1.1求电偶极子的电位ZP(r,0,Φ)解在球坐标系中Xr-rplr4元804元80ri12Vr2+(d /2)?-rd cos0V/r2+(d / 2) +rd cos0电偶极子O由于r>>d，得r=r-用二项式展开，日cosO-cosO=r+122qdcosep.rp.e代入上式，得p(r)S24元0r4元0r4元0rp=qd表示电偶极矩，，方向由负电荷指向正电荷

10 例 3.1.1 求电偶极子的电位. 解 在球坐标系中 1 2 2 1 0 1 2 4 0 ) 1 1 ( 4 ( ) rr q r r r r q r           ( / 2) cos ( / 2) cos 2 2 2 2 2 1 r r d rd r r d rd       cos 2 2 d 用二项式展开，由于 r  d ，得 cos , r  r  2 1  d r  r  3 0 2 0 2 4 0 4 4 cos ( ) r p r r p e r qd r r              代入上式，得   p qd表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。     +q 电偶极子 z d o －q 1 r 2 r r P(r,,)