《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3.8 晶体热熔的量子理论

03.08晶体热容的量子理论QE固体的定容热容Cy=(aTE一固体的平均内能固体内能一一晶格振动的能量和电子热运动的能量Cv =CV +Ce晶格振动热容晶体电子热容

03_08 晶体热容的量子理论 固体的定容热容 V V E C T          E — 固体的平均内能 固体内能 —— 晶格振动的能量和电子热运动的能量 e V a CV  CV  C 晶格振动热容 晶体电子热容

Cv = yT + AT3实验结果一一低温下金属的热容YT一电子对比热的贡献AT3一晶格振动对比热的贡献一通常情况下，Ce<<C"，忽略电子对比热的贡献话

实验结果 —— 低温下金属的热容 3 CV  T  AT —— 通常情况下， ，忽略电子对比热的贡献 T —— 电子对比热的贡献 3 AT —— 晶格振动对比热的贡献 a CV  CV e

1晶格振动对热容的贡献一一经典理论一个简谐振动平均能量能量均分定理k.T一食E=3Nk,TN个原子，总的平均能量QE= 3NkB固体的定容热容aT一杜隆一珀替定律一一C是一个与温度和材料性质无关的常数研究发现：在低温时热容量随温度迅速趋于零低温时经典理论不再适用B

1 晶格振动对热容的贡献 —— 经典理论 一个简谐振动平均能量 kBT N个原子，总的平均能量 E  3NkBT 固体的定容热容 V V E C T          —— 能量均分定理 低温时经典理论不再适用。 —— 是一个与温度和材料性质无关的常数 研究发现：在低温时热容量随温度迅速趋于零 ! N B  3 k —— 杜隆－ 珀替定律 CV

2晶格振动对热容的贡献一一量子理论晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的能量都是量子化的。ho频率为の,的谐振子的能量为：Dn;是频率为の的谐振子的平均声子数：1nhokBT1enr频率为の,的谐振子的能量为：E,=hoho2kBTe5

2 晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论 晶体可以看成是一个热力学系统，在简谐近似下，晶格中 原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动。每个谐振子的 能量都是量子化的。 j j j E n         2 1 频率为j的谐振子的能量为： ni是频率为j的谐振子的平均声子数： e 1 1 B j   k T j n   j k T j j E       2 1 e 1 B j   频率为j的谐振子的能量为： 

ho一个振动模的平均能量Ehoh,/kgT2-1eaE一个振动模对热容贡献aThoho;ek,TR与晶格振动频率和温度有关

—— 与晶格振动频率和温度有关 j j V V T C  E          2 / 2 / 1 j B j B k T j j V B k T B e C k k T e               一个振动模对热容贡献 一个振动模的平均能量 / 1 2 1 j B j Ej j k T e         

hahoeCj = kB一个振动模对热容贡献高温极限k,T>>hのhohoho;/kBTe2k,Tk,1ho1+o2K7kp

2 2 2 1 1 2 j j B B B j j B B j V k T k k T k T k C T                                       BT j 高温极限 k     2 / 2 / 1 j B j B k T j B k T B j V e k k T e C               2 / 1 1 2 j Bk T j j B B e k T k T                  一个振动模对热容贡献

k,T>>hのho一忽略不计ho=kBk.Tho忽略不计k,T~k一与杜隆一珀替定律相符

B j CV  k —— 与杜隆－ 珀替定律相符 2 —— 忽略不计 2 2 1 1 2 j j j B V B B j j B B k T C k k T k T k T                                       BT j k   —— 忽略不计

hohoeCJ = kB一个振动模对热容贡献kBho/kBle低温极限k,T>hoVIho,/kgTe与实验结果相符Cv→0T→0E

BT j k   2 / 1 j B j j V B k T B C k k T e            T  0  0 CV 低温极限 1 /  j kBT e  —— 与实验结果相符   2 / 2 / 1 j B j B k T j B k T B j V e k k T e C               一个振动模对热容贡献

3N区晶体中有3N个振动模，总的能量E(T)=ZE,(T)j=1aE(T)OE3N.(TZ晶体总的热容C=二aTaTj-13NC=Zcyj=1h3NhoeCv=ZkkBkehoj=1eE

 晶体中有3N个振动模，总的能量   N j E T E j T 3 1 ( ) ( )   N j j CV CV 3 1 3 1 ( ) N j j V E T  T         晶体总的热容    2 / 3 2 / 1 1 j B j B N k T j V B k T j B e C k k T e                 ( ) V V E T C T        

3爱因斯坦模型一N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率の,振动3Nho33Nh0总能量E=NhO +hohoo/kT_1ho,/kp1220Oj=1hOo/kglaEhOoP=3NkB热容Cv=aTkgThoo/kgTehoCy =3NkBfBkTE

0 3 V B B B C Nk f k T          3 爱因斯坦模型 —— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率0振动 V V E C T          0 0 0 / 3 3 2 1 Bk T N N e          3 / 1 1 2 1 j B N j j k T j E e                    0 0 2 / 0 2 / 3 1 B B k T B k T B e Nk k T e               热容 总能量