《电磁场》课程教学课件（PPT讲稿，电磁场与电磁波）矢量分析

第一章 矢量分析 主要内容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1.标量场的方向导数与梯度5。格林定理 2.矢量场的通量与散度 6.矢量场的惟一性定理 3.矢量场的环量与旋度 7.亥姆霍兹定理 4.无散场和无旋场 8.正交曲面坐标系 >]L

第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度 2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理 6. 矢量场的惟一性定理 7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系

补充知识一 矢量代数 1.标量和矢量 标量一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 矢量的代数表示：A=eA=e 矢量的大小模：A=A 矢量的单位矢量： en- A 矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 2

2 1. 标量和矢量 矢量的大小模： A A = 矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A e A = 矢量的代数表示： A e A e A = = A A 补充知识 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A  矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量

2.矢量用坐标分量表示 A=Ae,+A,e,+Ae. A Acosa Ay AcosB A.Acosy A=A(e,cosa+e,cos B+e.cosy) e=e,cosa+e,cosB+e.cosy

3 A A e A e A e = + + x x y y z z A A A A A A x y z = = = cos cos cos    ( cos cos cos ) A A e e e = + + x y z    cos cos cos A x y z e e e e = + +    2.矢量用坐标分量表示 z Ax  A Ay Az x y

3.矢量的运算 (1)矢量的加法和减法： A±B=e(A±Bx)+e,(A±B,)+e(A±B) (2)矢量的乘法运算 A kA=e kA.+ekA,+e.kA. 矢量A与B的夹角 A.B=AB COS0=A.B,+A,B+A.B. 矢量的点积 AB=B·A 矢量的标积符合交换律 A⊥B→AB=0 AIIB→A·B=AB e·e,=e,·e.=e.·em=0 ees=ee=e.e.=1

4 （2）标量乘矢量 (2)矢量的乘法运算 x x y y z z kA e kA e kA e kA = + + A B B A  =  ——矢量的标积符合交换律 1 x x y y z z e e e e e e  =  =  = 0 x y y z z x e e e e e e  =  =  = A B   q 矢量 A 与 的夹角  B  A B ⊥ A B = 0 A B / / A B AB  = 3.矢量的运算 ( ) ( ) ( ) A B e A B e A B e A B  =  +  +  x x x y y y z z z (1)矢量的加法和减法： cos A B AB A B A B A B q x x y y z z  = = + + 矢量的点积

矢量的矢积（叉积） Ax B=e ABsin0 用坐标分量表示为 AxB=e(AB.-A.B)+e(A.B,-AB.)+e.(A B-AB) 写成行列式形式为 es e A×B=A A A. A×B B By B B AB sin 0 AxB=-BxA A 矢量4与B的叉积

5 矢量的矢积（叉积） sin A B e AB  = n q ( ) ( ) ( ) A B e A B A B e A B A B e A B A B  = − + − + − x y z z y y z x x z z x y y x x y z x y z x y z e e e A B A A A B B B  = A B B A  = −  q AB sin q A B    B  A  矢量 A 与 的叉积  B  用坐标分量表示为 写成行列式形式为

4.矢量的混合运算 (4+B)C=4.C+B.C 分配律 (4+B)xC=4xC+BxC 分配律 A(B×C)=B.(Cx④=C·(A×B) 标量三重积 4x(BxC)=(4-C)B-(4.B)C 矢量三重积 6

6 4.矢量的混合运算 ( ) A B C A C B C +  =  +  ( ) A B C A C B C +  =  +  A B C B C A C A B   =   =   ( ) ( ) ( ) A B C A C B A B C   =  −  ( ) ( ) ( ) —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积

标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定 义了一个场。 口如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 口如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 口如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 静态标量场和矢量场可分别表示为：(x,y,2人F(x,y,) 时变标量场和矢量场可分别表示为x,yz,)、F(x,y,二，) 7

7 标量场和矢量场 ❑ 如果物理量是标量，称该场为标量场。 例如：温度场、电位场、高度场等。 ❑ 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 ❑ 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 时变标量场和矢量场可分别表示为： u x y z t ( , , , )、 F x y z t ( , , , ) 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定 义了一个场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为： u x y z ( , , )、F x y z ( , , ) 时变标量场和矢量场可分别表示为

标量场（中）和矢量场(A)】 10 -10 1 以浓度表示的标量场Φ 以箭头表示的矢量场A KN

y x 以浓度表示的标量场 以箭头表示的矢量场A 标量场（）和矢量场（A） y x

三种常用的正交曲线坐标系 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标 系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐 标系和球面坐标系。 9

9 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。 三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐 标系和球面坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标 系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量

1、 直角坐标系 三0（平面） 坐标变量 x,y,2 坐标单位矢量e,已，E 点P6yo2 位置矢量 下=ex+e,y+e y=y,(平面) X三x。(平面) 线元矢量 直角坐标系 dI=e,dx+e dy+e.dz dS.=e.dxdy 面元矢量 dS,=edl dl.=e,dydz dS,=e,dxdz dS,=e,dl dl.=e,dxdz d dS.=e.d/dI,=e.dxdy dy ds,=e,dydz 体积元 dV dxdydz 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 10

10 1、直角坐标系 x y z 位置矢量 r e x e y e z = + + 面元矢量 线元矢量 d d d d x y z l e x e y e z = + + d d d d d x x y z x S e l l e y z = = d d d d d z z x y z S e l l e x y = = 体积元 d d d d V x y z = d d d d d y y x z y S e l l e x z = = 坐标变量 x y z , , 坐标单位矢量 , , x y z e e e 点 P(x0 ,y0 ,z0 ) 0 y = y （平面） o x y z 0 x = x （平面） 0 z = z （平面） P 直角坐标系 x e  z e  y e  x y z 直角坐标系的长度元、面积元、体积元 o dz d y dx S e y z d x x d d   = S e x y d z z d d   = S e x z d y y d d   =