《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第四章 能带理论 04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似

04 02一维周期场中电子运动的近自由电子近似模型和微扰计算近自由电子近似模型ElectronPotentialEnergyinSingleAtomV(x)ElectronPotential Energy inCrystal金属中电子受到原子(n-2)a(n-1)ana(n+1)a(n+2)a(n+3)a0X实周期性势场的作用假定势场的起伏较小而电子的平均动能比其势能AtomXCH004 001的绝对值大得多。E

04_02 一维周期场中电子运动的近自由电子近似  模型和微扰计算 近自由电子近似模型 —— 假定势场的起伏较小， 而电子的平均动能比其势能 的绝对值大得多。 —— 金属中电子受到原子 实周期性势场的作用

零级近似一一用势场平均值代替原子实产生的势场V-V(x)ElectronPotentialEnergyinSingleAtomV(x)Electron Potential Energy in Crystal一一周期性势场的起伏量(n+1)a(n+2)a(n+3)a(n-2)a(n-1)anaC可以作为微扰来处理V(x)-V=△VAtomXCH004 001

零级近似 —— 用势场平均值代替原子实产生的势场 —— 周期性势场的起伏量 可以作为微扰来处理 V =V (x) V (x) V  V

V(x)=V+△V周期势场：V(x+na)=V(x)eianrNVV(x) =2na2ianxdxV(x)eana2E

周期势场： ( ) e i n x n n V x V    2 2 1 ( )e d n a i x Vn aV x x a      V(xna) V(x) V(x) V V

2元2元nnxZZV.V(x)=Vq=V+)G=V +△Veennnn<6 ~99表示求和不包括n=0项2其中VV(x)dx是势能的平均值Ca2我们通常取V=0V=V由于势能是实数，可得关系式：D

我们通常取V0=0 由于势能是实数,可得关系式： * Vn  V n   2 2 0 ( )d 1 a aV x x a 其中V 是势能的平均值 “'”表示求和不包括n=0项 V x V V 'V V V nx a i n n nx a i n  n    0  2π 0 2π ( ) e e

一维周期场中电子运动的的薛定谔方程为h? d?+V(x) lk(x) = E(x)Vi(x)2m dxH=H.+H'按照微扰理论，哈密顿量写成h? d?H'=V-Z'V,e'ua*+V式中H。=-2m dx2h由H(x)=E(x)得E=E +E+E+...k(x) =y(x)+yk(x)+yr(x)+..E

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2             k k d V x x E x x m dx 一维周期场中电子运动的的薛定谔方程为 按照微扰理论,哈密顿量写成 , ˆ ˆ ˆ H  H 0  H  V m x H   2 2 2 0 d d 2 ˆ  式中      n i x H V Vn n ' e ˆ  由 ˆ ( ) ( ) H k k k  x  E  x 得         ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 2 0 1 2 x x x x E E E E k k k k k k k k    

零级近似下电子的能量和波函数金属的线度L = Nah?Q2零级近似下H十22 mdxh?d'wVEy薛定方程dx2mh?k?ikxE波函数和能量本征值y(x)e+V/L2mE

 零级近似下电子的能量和波函数 金属的线度 零级近似下 2 2 0 2 2 d H V m dx     薛定谔方程 0 0 0 2 2 2 0 2    V E dx d m     波函数和能量本征值 V m k Ek   2 2 2 0 1 0  ( ) ikx k x e L   L  Na

ik(x+Na)周期边界条件QVLT一一1为整数kNα = 12元 -h?k?2元E一能量电子的波矢取值k=l+2mNa0*满足正交归一化yydx=Ok0

满足正交归一化 0* 0 0 L k k kk   dx    —— l 为整数 周期边界条件 0 1 1 ( ) ( ) ikx ik x Na k x e e L L     电子的波矢取值 —— 能量 V 2 2 2 0   m k Ek  kNa  l2 Na k l 2 

微扰下电子的能量本征值哈密顿量H=H。+Hh? d?+VH。=2m dxH'=V(x)-V = △V量子力学微扰理论一一电子的能量本征值Ek = E +E() +E(2) +05160

 微扰下电子的能量本征值 哈密顿量 H  H0  H 2 2 0 2 2 ( ) d H V m dx H V x V V          量子力学微扰理论 —— 电子的能量本征值 . Ek  Ek 0  Ek (1)  Ek (2)  05/ 60

能量本征值E =E +E() +E(2)=(k|V(x)-V|k)一级能量修正E(" =(k|H'k)[k) =y-ikxkV(x)-Vdx(k|=y0-V=0dx

一级能量修正 0 (1) 1 ( ) 0   1          L ikx ikx k E e V x e dx V L L (1) 0 1 1 ( ) L ikx ikx Ek e V x V e dx L L         (1) ' Ek  k H k  k V (x) V k 能量本征值 . Ek  Ek 0  Ek (1)  Ek (2)  0 0*     k k k k

(k'|H|k)ERZ二级能量修正k+k'-二E-Ek'(k'|H'k)= (k'lV(x)-V|k) = (k'lV(x)|k)一一按原胞划分积分-i(k'-k)xV(x)dxCN-(n+)aZ-i(k-k)xV(x)dxPNanan=0

二级能量修正 2 (2) k 0 0 k k k k H k E  E E       ( ) 0 1 ( ) L i k k x e V x dx L     k H k  k V(x) V k  k V(x) k —— 按原胞划分积分 1 ( 1) ( ) 0 1 ( ) N n a i k k x na n e V x dx Na        —— k  k