《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第三章 晶格振动与晶体的热学性质 3.3 一维双原子链 声学波和光学波

0303一维双原子链声学波和光学波一维复式格子的情形一一维无限长链两种原子m和MM>mM原子位于2n-1，2n+1，2n+3m原子位于2n，2n+2，2n+4晶格常数一同种原子间的距离2aXCH003_0052a2n+42n2n-22n+22n-4mM2n+32n+12n-32n-1E

03_03 一维双原子链 声学波和光学波 一维复式格子的情形 —— 一维无限长链 —— 两种原子m和M _ M > m —— M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 . —— m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 . —— 同种原子间的距离2a _ 晶格常数

第2n+1个M原子的方程Mji2n+1 =-β(2μ2n+1 - Uμ2n+2 -μ2n )第2n个m原子的方程mi2n =-β(2μ2n -μ2n+1 μ2n-1 )N个原胞一2N个独立的方程and μ2n+1 = Belot-(2n+1)a]μ2n = Aei[ot-(2n)ag]方程的解XCH003_005-2a振幅A和B2n+42n2n-22n+22n-4一般不相同mM2n+32n-32n-12n+1话

M  2n1   22n1  2n2  2n  [ 2 a ] [ 2 1 ] 2 2 1 i t n q i t n aq n A n e and Be           N个原胞 —— 2N个独立的方程 —— 振幅 A 和 B 一般不相同 第2n+1个M原子的方程 第2n个m原子的方程 m 2n   22n  2n1  2n1  方程的解

Mji2n+1 =-β(2μ2n+1 - μ2n+2 - μ2n第2n+1个M原子第2n个m原子mji2n = -β(2μ2n - μ2n+1 - μ2n-lμ2n = Aei[ot-(2na)g]方程的解μ2n+1 = Beilot-(2n+1)ag](mo2-2β)A+2βcosaqB=02βcosaqA+(M2 -2β)B= 0A、B有非零解一系数行列式为零F

[ (2 1) ] 2 1 [ (2 ) ] 2 i t n aq n i t na q n Be Ae           2 2 ( 2 ) 2 cos 0 2 cos ( 2 ) 0 m A aqB aqA M B                A、B 有非零解 —— 系数行列式为零     2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 n n n n n n n n M m                          第2n+1个M原子 第2n个m原子 方程的解

mo2-2β2βcosaq=0Mo2-2β2βcosaqM4mMm1±Sin10mMm+M1/24mMm+MsinagmMm+ M)1/24mM+sin'aq0mMm+M)

0 2 2 2 2 2 2          aq M m aq cos cos     1/ 2 2 2 2 4 1 1 sin m M mM aq mM m M                        1/ 2 2 2 2 ( ) 4 1 1 sin ( ) m M mM aq mM m M                      1/ 2 2 2 2 ( ) 4 1 1 sin ( ) m M mM aq mM m M                     

一色散关系1/24mMm声学波2sin0aq(m+ M)mM1/24mM(m+M光学波1+10sinaq(m+ M)mM40XCH003_006_01Optical phonon branch-の与q之间存在两种不同的色散关系一一维复式格子存在Acousticalphpnonbranch两种独立的格波元品a0q2a5

1/ 2 2 2 2 ( ) 4 1 1 sin ( ) m M mM aq mM m M                      1/ 2 2 2 2 ( ) 4 1 1 sin ( ) m M mM aq mM m M                      —— 与q之间存在 两种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波 —— 光学波 —— 声学波 ——色散关系

色散关系的特点偶函数w(-q) = 0(g)0XCH003 006 01——周期函数w(q + =) = w(g)Optical phononbranch元元≤q2 a2 aAcousticalphononbranch0aq2a当q=0时,2β2(m+M)β=0(0)minmaxmMu折合质量B

(q)  (q) q a  q  )   π ( a q a 2 π 2 π        2( ) 2 max     mM m M （ ） （-）min  0 折合质量 —— 偶函数 ——周期函数 色散关系的特点 当q  0时

10XCH003_00601Opticalphononbranch元当时,q2 aAcousticalphononbranch两种格波的频率号q021/21/2β2β(m+ M)-(M -m)(0_)maxMmM1/21/2βB((m+ M)+(M -m)0minmMm因为 M>m(0+)min >(0_)maxB

两种格波的频率       1/ 2 1/ 2 1/ 2 max 1/ 2 1/ 2 1/ 2 min 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) m M M m mM M m M M m mM m                                           因为 M＞m min max ( ) ( )    当 时， a q 2 π 

(の)min>の>(の_)max —不存在格波一频率间隙0XCH003 00601Optical phononbranch(0)min ~(0_)nmax一一维双原子晶格叫做带通滤波器Acoustical phononbranch元号a0q2a

min max ( ) ( )     min max ( ) ~ ( )   —— 不存在格波 —— 频率间隙 —— 一维双原子晶格 叫做带通滤波器

—q的取值μ2n = Aei[ot-(2na)g]M和m原子方程2n+1 = Bei[ot-(2n+1)ag]相邻原胞相位差2aq一元<2aq≤π元元元波矢q的值第一布里渊区<q2a2aaei2 Nag= 1N(2aq) = 2元h周期性边界条件UN+n =Un5

相邻原胞相位差 2aq [ (2 1) ] 2 1 [ (2 ) ] 2 i t n aq n i t na q n Be Ae           M和m原子方程 —— q的取值 波矢q的值 a q 2a 2      —— 第一布里渊区 周期性边界条件  Nn  n N(2aq)  2h   2aq   e 1 2  i Naq

h2元h为整数q的取值q2aN元每个波矢在第一布里渊区占的线度q=Na元元=N第一布里渊区允许的q值的数目原胞数目Naa一个q有两支格波一一支声学波和一支光学波总的格波数目2N一一原子的数目/晶体中原子的自由度晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数晶格振动频率（振动模式）的数目=晶体中原子的自由度数5

2 2aN h q  Na q  —— h为整数 每个波矢在第一布里渊区占的线度 第一布里渊区允许的q值的数目 N a Na    —— 原胞数目 一个q有两支格波 —— 一支声学波和一支光学波 总的格波数目 2N —— 原子的数目/晶体中原子的自由度 q的取值 晶格振动波矢的数目=晶体的原胞个数 晶格振动频率(振动模式)的数目=晶体中原子的自由度数