《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第四章 能带理论 04_03 三维周期场中电子运动的近自由电子近似

回顾(1)在k远离-n元/a处，电子的能量与自由电子的能量相近(2)在k=-n元/a处（布里渊区边界上），电子的能量出现禁带禁带宽度为 2Vl;(3)计入电子自旋一一每个能带中包含2N个量子态。(4)用简约波矢表示波函数，必须指明属于哪个能带2元mxikaaeE

(2)在k=-n/a处(布里渊区边界上），电子的能量出现禁带， 禁带宽度为 2 V n ； (3)计入电子自旋 —— 每个能带中包含2N个量子态。 (1)在k远离-n/a处，电子的能量与自由电子的能量相近。 回顾 (4)用简约波矢表示波函数，必须指明属于哪个能带   2 0 1 i mx ikx a n k x e e L         

E(a)(b)(c)电子能带的三种图示法(a)扩展区图(b)简约区图(c)周期区图

电子能带的三种图示法 (a)扩展区图 (b)简约区图 (c)周期区图

0403三维周期场中电子运动的近自由电子近似1模型和微扰计算一电子受到粒子周期性势场的作用势场的起伏较小用势场的平均值代替离子产生的势场V(r)-V =△V一微扰来处理周期性势场起伏量

04_03 三维周期场中电子运动的近自由电子近似 1 模型和微扰计算 —— 电子受到粒子周期性势场的作用 势场的起伏较小 用势场的平均值代替离子产生的势场 周期性势场起伏量 V r V  V —— 微扰来处理

一电子的波动方程h+V ((r) y(r) = Ey(r)2m一晶格周期性势场函数V(r+Rm)= V(r)H=H。+H

—— 电子的波动方程       2 2 2 V E m             r r r  —— 晶格周期性势场函数 V r  Rm  V r H  H  H  ˆ ˆ ˆ 0

1)零级近似下电子的能量和波函数金属一一 N= N,N,N个原胞构成，体积 V= Nvh?V2+V零级哈密顿量H。=2mh?V2yr° (r)+Vy° (r)= Eyr° (r)薛定方程2mok.ry (r)=(1/ )电子的波函数leh?k?E+能量本征值2mE

1) 零级近似下电子的能量和波函数 零级哈密顿量 V m H     2 2 0 2  薛定谔方程       2 2 0 0 0 0 2 V E m    r   r   r  电子的波函数 能量本征值     0 1 i  V e   k r k r   2 2 0 2 k E V m k    金属 —— N  N1N2N3个原胞构成，体积 V N 0  v

一周期性边界条件b2b电子的波矢NNik·r电子的零级本征波函数K(rVWkydr =满足正交归一化条件k.k0

—— 周期性边界条件 满足正交归一化条件 1 2 3 1 2 3 1 2 3 l l l N N N    b b b k     电子的波矢 电子的零级本征波函数   0 1 i e V    k r k r   0* 0 , 0 V  k k d   k k r

一一近自由电子近似模型2）微扰时电子的能量和波函数h?7VHo2m微扰的情形H=H。+HH'=V(r)-V= △VE = E + E + E?) +...微扰后电子的能量V(r) =y(r)+y (r)+..电子的波函数

2) 微扰时电子的能量和波函数 —— 近自由电子近似模型 微扰的情形 H  H0  H V m H     2 2 0 2  H V (r) V  V 微扰后电子的能量 0 1 2 E  E  E  E  . k k k k  电子的波函数       0 (1)     . k k k r r r 

电子的能量E= E° +E() +级能量修正E() = (k|H|k)= (k|V(r)-V|k)= 0一[H'|kkERZk'k二级能量修正二E - Ek'(k'|Hk)= (k'|V(r)-V|k)= (k'|V(r)|k)(k'V(r)k)=(1/V)fe-i(k-k)V(r)dr0E

一级能量修正 电子的能量 0 1 2 E  E  E  E  . k k k k  (1) E  H  V( ) V  0 k k k k r k 二级能量修正   2 2 0 0 ' H E  E E      k  k k k k k k  k k H k  k V (r) V k  k V (r) k     ( ) 0 (1/ ) V i V V e V d       k k r k r k r r

yr(r) = y'(r)+ye'(r)+...电子的波函数K0一级修正个1E - Ek'(k'|H'|k) = (k'|V(r)|k矩阵元的计算ik'-k)rV (r)dr(k'lV(r)|k) :引入积分变量→r=E+R

(1) 0 0 0 ' H E E          k  k k k k k k 一级修正 电子的波函数 0 (1)  ( )  ( )  ( )  . k k k r r r  矩阵元 k H k  k V r k 的计算       0 1 V i V e V d V       k k r k r k r r 引入积分变量    m ξ r ξ R

-i(k'-k).RmZ(k'-k):sV ()de(k'|V(r)|k) =eNmbib,bb2bh应用k=NNNN,NNRm = ma1 +m,a2 +m,a3Z-i(k'-k).RmemN-1N2N2元22mmm3N,N2N3ZZZeeem,=0m2=0m=0E

    0 ( ) ( ) 0 0 1 1 m v i i m V e V d e v N                 k k ξ k k R k r k ξ ξ 应用 1 2 3 1 2 3 1 2 3 l l l N N N    b b b k     1 2 3 1 2 3 1 2 3 l l l N N N        b b b k     1 2 3 1 2 3 Rm  m a  m a  m a     1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 1 1 1 2 2 2 0 0 0 i m m l l l l l l N i m N i m N i m N N N m m m e e e e                                        k k R