《固体物理学》课程教学课件（讲稿）第四章 能带理论 04_01 布洛赫定理

第四章能带理论能带理论一一研究固体中电子运动的主要理论基础一定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点一一说明了导体、半导体和绝缘体的区别一晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距一半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展

第四章 能带理论 能带理论 —— 研究固体中电子运动的主要理论基础 —— 定性阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点 —— 晶体中电子的平均自由程为什么远大于原子的间距 —— 说明了导体、半导体和绝缘体的区别 —— 半导体理论问题的基础，推动了半导体技术的发展

能带理论一近似理论能带理论的出发点一一电子不再束缚于个别的原子而在整个固体内运动一共有化电子研究共有化电子的运动行为，即解薛定谔方程：Hy=EyH=动能项+电子相互作用势+原子核对电子作用势

能带理论 —— 近似理论 能带理论的出发点 —— 电子不再束缚于个别的原子 而在整个固体内运动 —— 共有化电子 H  E 研究共有化电子的运动行为，即解薛定谔方程： H = 动能项 + 电子相互作用势 + 原子核对电子作用势

单电子近似一多电子问题简化为单电子问题每个电子的运动一一看成是独立的在一个等效势场中的运动一每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动XCH004001 01Atom

Ø 单电子近似——多电子问题简化为单电子问题 每个电子的运动 —— 看成是独立的 在一个等效势场中的运动 —— 每个电子在离子势场和其它电子的平均场中运动

晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理第一步简化一一绝热近似离子实质量比电子大，运动慢离子固定在瞬时位置上原子实偏离平衡位置的影响看成微扰网第二步简化一一价电子与芯电子分离价电子＋离子实主要研究价电子的运动规律E

晶体中单个电子在周期性势场中的运动问题处理 * 第一步简化 —— 绝热近似 离子实质量比电子大，运动慢 离子固定在瞬时位置上 原子实偏离平衡位置的影响看成微扰 * 第二步简化 —— 价电子与芯电子分离 价电子 + 离子实 主要研究价电子的运动规律

理想晶体一一晶格具有周期性，等效势场具有周期性一电子在晶格周期性的等效势场中运动n?7+V(r)波动方程W= Ey2mV(r)=V(r+R,晶格周期性势场E

理想晶体 —— 晶格具有周期性，等效势场具有周期性 —— 电子在晶格周期性的等效势场中运动 波动方程 2 2 ( ) 2 V E m             r  ( ) ( ) V V  n 晶格周期性势场 r r R

0401布洛赫定理布洛赫定理一一势场V(r)具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定方程h?? +V(r) [(r)= Ey(r)2m一一方程的解具有以下性质布洛赫定理y(r +Rn) = ek.R"y(r)其中k为电子波矢，R,=na+na+na 是格矢

04_01 布洛赫定理 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 V E m             r r r  —— 方程的解具有以下性质 —— 布洛赫定理 布洛赫定理 —— 势场 具有晶格周期性时 电子的波函数满足薛定谔方程 V (r) ( ) ( ) n i n  e     k R r R r 其中 k 为电子波矢，  Rn 1 1 2 2 3 3 nan a n a     是格矢

y(r +R,) = eik.Rny(r)布洛赫定理一当平移晶格矢量Rik·R,波函数只增加了相位因子y(r) = eiku (r)电子的波函数一一布洛赫函数u,(r +R,) = u,(r)晶格周期性函数E

( ) ( ) n i n  e     k R r R r —— 布洛赫定理 —— 当平移晶格矢量 Rn n i e kR —— 波函数只增加了相位因子 晶格周期性函数 ( ) ( ) i k  e u   k r r r n ( ) ( ) k k u r  R  u r 电子的波函数 —— 布洛赫函数

区布洛赫定理的证明引入平移算符证明平移算符与哈密顿算符对易两者具有相同的本征函数利用周期性边界条件确定平移算符的本征值给出电子波函数的形式

* 布洛赫定理的证明 —— 引入平移算符 证明平移算符与哈密顿算符对易 两者具有相同的本征函数 —— 利用周期性边界条件 确定平移算符的本征值 给出电子波函数的形式

一势场的周期性反映了晶格的平移对称性晶格平移任意矢量Rm=ma, +ma2+ma,势场不变一一在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符T， T2， T3凶 平移算符 T的性质- α=1,2,3Tf(r)= f(r+a)Tm f(r) = f(r +maα)话

—— 势场的周期性反映了晶格的平移对称性 晶格平移任意矢量 Rm  m1a1  m2a2  m3a3 势场不变 —— 在晶体中引入描述这些平移对称操作的算符 1 2 3 T , T , T T f ( ) f ( )     r r a ——   1, 2, 3 ( ) ( ) m T f  f  m  r r a * 平移算符 T 的性质

平移任意晶格矢量Rm =ma, +ma2 +ma对应的平移算符T(Rm) = Tm (a)Tm (a2)Tm (a3y(r+R,) = T(R)y(r)T(R,)y(r) = eikoRry(?E

平移任意晶格矢量 Rm  m1 1 m2 2 m3 3 a a a 对应的平移算符 1 2 3 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) m m m T Rm  T a T a T a n (r R ) T( ) ( ) Rn     r T(R ) (r) e (r) ? Rn ik n    