《电磁场与电磁波》课程教学课件（讲稿）第一章 矢量分析

第一章 矢量分析

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本章内容午量代数1.11.2三种常用的正交曲线坐标系标量场的梯度失量场的通量与散度1.4失量场的环流与旋度1.5无旋场与无散场1.61.7拉普拉斯运算与格林定理1.8亥姆霍兹定理

2 本章内容 1.1 矢量代数 1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理

教学基本要求理解标量场和矢量场的概念。理解散度、旋度和梯度的物理意义，掌握三个度的计算。熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行失量的微积分运算。了解亥姆霍兹定理的内容。重点要求在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系中，计算标量场的梯度矢量场的散度和旋度矢量的线积分、面积分和体积分

教学基本要求 3

1.1矢量代数1．标量和矢量标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示:A=éA=éA矢量的大小或模：A=矢量的单位矢量：百矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。注意：单位量不一定是常矢量

4 1. 标量和矢量 矢量的大小或模：A A   矢量的单位矢量： 标量：一个只用大小描述的物理量。 A A eA    矢量的代数表示：A eA A eA A       1.1 矢量代数 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意：单位矢量不一定是常矢量。 A  矢量的几何表示 常矢量：大小和方向均不变的矢量

失量用坐标分量表示A=é,A, +é,A, +é.AA, = AcosαA, = AcosβXA, = AcosyA= A(e, cosα+é, cosβ+é, cosy)ér =é, cosα+é, cosβ+é.cosy

5 x x y y z Az A e A e A e        A A A A A A x y z    cos cos cos    ( cos cos  cos ) x y z A A e e e        矢量用坐标分量表示 cos cos  cos A x y z e e e e        z Ax A Ay Az x y    O

2.量的代数运算（1）矢量的加减法BA+B两量的加减在几何上是以这两天量为A邻边的平行四边形的对角线，如图所示。矢量的加法在直角坐标系中两矢量的加法和减法：A±B=é,(A,±B)+é,(A,±B,)+é.(A, +B,)B矢量的加减符合交换律和结合律PA- 交换律A+B=B+AB结合律A+(B+C)=(A+B)+C矢量的减法

6 （1）矢量的加减法 ( ) ( ) ( ) x x x y y y z Az Bz A B  e A  B  e A  B  e       两矢量的加减在几何上是以这两矢量为 邻边的平行四边形的对角线,如图所示。 矢量的加减符合交换律和结合律 2. 矢量的代数运算 矢量的加法 A B    A B   矢量的减法 A B   A  B B   在直角坐标系中两矢量的加法和减法： 结合律 A B C A B C      ( ) ( )       A B B A        交换律

(2)标量乘矢量kA=é,kA, +é.kA. +é.kAB（3）矢量的标积（点积）0A.B= AB cos=A,B, +A,B, + A.B失量A与B的夹角A·B=B.A矢量的标积符合交换律ALB→A.B=0A// BA.B= ABxé,=é,é.=é.é =0e.-e, =e..e.=l

7 （2）标量乘矢量 （3）矢量的标积（点积） x x y y z z kA e kA e kA e kA        A B  AB  AxBx  AyBy  AzBz  cos       A B  B A ——矢量的标积符合交换律      1 x x y y z z e e e e e e       ex ey  ey ez  ez ex  0       A B    矢量 与 的夹角 A  B    AB   A B  0 A B   //   A B  AB

AxB（4）矢量的矢积（叉积）BABsingAxB=é,ABsin0用坐标分量表示为失量A与B的又积AxB=é(A,B: -A,B,)+é,(A,B,- A,B.)+é.(A,B, - A,Bx)写成行列式形式为éxé,=éeexe.=eAxB=ABBBe.xéx =éAx×B=-B×Ae, xe =é.xé., =é. xé. =0若 AIB，则A×B= AB若 A//B，则 IAxB=0

8 （4）矢量的矢积（叉积） A B enAB sin      ( ) ( ) ( ) x y z z y y z x x z z AxBy AyBx A B  e A B  A B  e A B  A B  e       x y z x y z x y z B B B A A A e e e A B        A B B A          ABsin A B    B  A  矢量 与 的叉积 A  B 用坐标分量表示为  写成行列式形式为 A B    A B  AB   若 ，则 A B   // A B  0   若 ，则 x y z y z x z x y e e e e e e e e e                0 x x y y z z e e e e e e            

（5）矢量的混合运算分配律(A+B).C= A.C+B.C(A+B)×C=A×C+B×C分配律标量三重积A.(B×C)= B.(C×A)=C.(A×B)(BXA)·C=-(CXB)·A=-(AXC)·B物理意义：以A、B、C为邻边的平行六面体的体积A×(B×C)=(A.C)B-(A.B)C量三重积

9 （5）矢量的混合运算 A B C A C B C        (  )     A B C A C B C        (  )     A (B C) B (C A) C (A B)                  A B C A C B A B C          (  )  (  )  (  ) —— 分配律 —— 分配律 —— 标量三重积 —— 矢量三重积

101.2三种常用的正交坐标系三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系：三条正交曲线称为坐标轴：描述坐标轴的量称为坐标变量。在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系

10 三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 1.2 三种常用的正交坐标系 在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为： 直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为 正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称 为坐标变量