北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第4章 IIR数字滤波器设计 4.4 双线性变换法

双线性变换法问题提出设计原理设计步骤

双线性变换法 ◆ 问题提出 ◆ 设计原理 ◆ 设计步骤

问题提出利用BW型模拟低通滤波器和脉冲响应不变法设计满足指标2-0.2元rad，Q=0.6元rad，A,≤2dB，A≥15dB的数字低通滤波器0-2A,=1.72dB-4脉冲响应不变法存在频谱混叠-6pr en-8A.=14.20dB-10解决方案不满足设计指标-12*增加待设计DF的阻带衰减-14采用双线性变换法-16-1800.10.20.30.40.50.60.70.80.9Normalizedfrequency

问题提出 脉冲响应不变法存在频谱混叠 利用BW型模拟低通滤波器和脉冲响应不变法设计满足指标Wp=0.2p rad, Ws=0.6p rad, Ap ≤2dB, As ≥15dB的数字低通滤波器。 解决方案 ❖增加待设计DF的阻带衰减 ❖采用双线性变换法 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 Normalized frequency Gain in dB Ap=1.72dB As=14.20dB 不满足设计指标

设计原理脉冲响应不变法H(s)H()双线性变换法H(jo)H(s)H(s')H(z)出现频谱混叠4H(jo)Hjo)00避免频谱混叠非带限AF00-元/T元/T0带限AF非带限AF

设计原理 脉冲响应不变法 H(s) H (z) 双线性变换法 H(s) H(s') H (z) H(j)  0 1 H(j’) ’ 0 1 -p/T p/T 非带限AF 带限AF 避免频谱混叠 H(j)  0 1 非带限AF 出现频谱混叠

设计原理双线性变换的基本思想：将非带限的模拟滤波器映射为最高角频率为元/T的带限模拟滤波器。H(s)H(z)H(s')20arctalQ=0'TTo'02[-00, 8][一元/T,元/T]模拟频率与数字频率的关系为元/TQ = 2arctan(福tan(0=元

设计原理 将非带限的模拟滤波器映射为最高角频率为p/T的带限模拟滤波器。 H(s) H(s') H (z) 双线性变换的基本思想：  ' W [-,] [-π/T, π/T]  ' p/T -p/T 模拟频率与数字频率的关系为 2 ' arctan( ) 2 T T   = W = 'T 2arctan( ) 2 T W = 2 tan( ) T 2 W  =

设计原理s域到z域的映射关系22 1-e-j2T 1+e-jo.212+ee2 1-e-j221-2/T+S10S=jo=ST 1+e-j2T 1+ z2/T-Sz=ejQ双线性变换

设计原理 s域到z域的映射关系 2 tan( ) T 2 W  = sin( ) 2 2 2 j j tan( ) j 2 cos( ) 2 T T W W  W = = j j 2 2 j j 2 2 2 e e e e T W W W W - - - = + W W j j 1 e 2 1 e - - + - = T 1 1 1 2 1 - - + - = z z T s T s T s z - + = 2 / 2 / W W  j j 1 e 2 1 e j - - + - = T s = j j z e W = 双线性变换

设计原理VS=0（s平面虚轴）[z=1 （z平面单位圆上）稳定性分析S0(s右半平面）[z> （z平面单位圆外） jlm[2]ja2/T+SZ2/T-SRe[2]s平面2平面

设计原理 s=0 （s平面虚轴） s0 （s右半平面） |z|=1 （z平面单位圆上） |z|1 （z平面单位圆外） 稳定性分析 0 j  s平面 jIm[z] Re[z] 0 1 z平面 T s T s z - + = 2 / 2 /

设计原理双线性变换法的优缺点优点：无频谱混叠。缺点：Q与の不是线性关系，若模拟滤波器的频率响应不是分段常数时，会产生幅度失真OQ = 2arctan(

设计原理 双线性变换法的优缺点 缺点：W与不是线性关系，若模拟滤波器的频率响应 不是分段常数时，会产生幅度失真。 优点：无频谱混叠。 2arctan( ) 2 T W =

设计步骤1.将DF的频率指标(2转换为AF的频率指标0,=% tan()2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。H(z)= H(s)21--T1+7

设计步骤 1. 将DF的频率指标{Wi}转换为AF的频率指标{i} 2. 由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。 3. 利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。 1 1 2 1 1 ( ) ( ) z s T z H z H s - - - = + = 2 tan( ) 2 i i T W  =

[例]利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Q,=0.2元rad，2=0.6元rad，A,≤2dB,A≥15dB的数字低通滤波器。解：（1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2。222=0.3249,=1.3764tan0.0ptan=taw.T21A,≤2dB, A,≥15dB(2）设计BW型模拟低通滤波器10°lg100.14,w(100.14 -1)/(2) = 0.5851N≥202 lg(w, / op)10.342 3H(s)=s2+0.8275s+0.3423(+V2+100

解： (1) 将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2 。 Ap2dB, As15dB (2) 设计BW型模拟低通滤波器 2 2lg( / ) ) 10 1 10 1 lg ( s p 0.1 0.1 p s = - -  ω ω N A A 0.5851 (10 1) 0.1 1/(2 ) s c s = - = A N ω ω 2 c c 1 ( ) ( ) 2 1 H s s s = + +   ) 0.3249, 2 tan( 2 p p = = Ω T ω ) 1.3764, 2 tan( 2 s s = = Ω T ω 0.827 5 0.342 3 0.342 3 2 + + = s s [例] 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=0.2p rad, Ws=0.6p rad, Ap ≤2dB, As ≥15dB的数字低通滤波器。 2 tan( ) 2 i i T W  =

[例】利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标Q,=0.2元rad，2s=0.6元rad，A,≤2dB,A≥15dB的数字低通滤波器。解：0.342 3H(s)=s2 +0.8275s+0.34233）用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器0.157 8+0.315 5z-1 +0.1578z-2H(z)= H(s)2 1--11-0.606 2z-1 +0.237 3z-2T 1+--1

解： [例] 利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标 Wp=0.2p rad, Ws=0.6p rad, Ap ≤2dB, As ≥15dB的数字低通滤波器。 (3) 用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 1 1 1 2 1 ( ) ( ) - - + - = = z z T s H z H s 1 2 1 2 1 0.606 2 0.237 3 0.157 8 0.315 5 0.157 8 - - - - - + + + = z z z z 2 0.342 3 ( ) 0.827 5 0.342 3 H s s s = + +