北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第7章 多速率信号处理 7.4 数字滤波器结构的多相分解

多速率信号处理基础为什么进行多速率信号处理多速率信号处理的基本单元抽取滤波器和内插滤波器数字滤波器结构的多相分解利用MATLAB实现多速率转换

多速率信号处理基础 ◆ 为什么进行多速率信号处理 ◆ 多速率信号处理的基本单元 ◆ 抽取滤波器和内插滤波器 ◆ 数字滤波器结构的多相分解 ◆ 利用MATLAB实现多速率转换

数字滤波器结构的多相分解数字滤波器I型多相分解数字滤波器II型多相分解多相分解实现抽取滤波器多相分解实现内插滤波器

◆ 数字滤波器 I型多相分解 ◆ 数字滤波器II型多相分解 ◆ 多相分解实现抽取滤波器 ◆ 多相分解实现内插滤波器 数字滤波器结构的多相分解

数字滤波器I型多相分解h[Kl为某离散系统的单位脉冲序列，H(z)是其系统函数n=0,1,,M-1若定义：e,[k]= h[kM +n], 则称e,[k]为h[k]的第n个多相分量。h[k]M=4时，h[K]多相分解0213eo[k]ei[k]e2[k]e3[k]k0123012301230123

h[k] 为某离散系统的单位脉冲序列，H(z)是其系统函数 [ ] [ ], 0,1, , 1 n e k h kM n n M = + = − 则称en [k]为h[k]的第n个多相分量。 数字滤波器I型多相分解 若定义： M=4时，h[k]多相分解 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 k 0 1 2 3 h[k] k 0 1 2 3 e0 [k] e1 [k] e2 [k] e3 [k]

数字滤波器I型多相分解h[K]为某离散系统的单位脉冲序列，H(z)是其系统函数e,[k]=h[kM +n], n=0,1,..., M-1若定义：则称en[k]为h[k]的第n个多相分量。若en[k]的z变换记为E,()则称E,()为H(-)第n个多相分量。H(）可以由M个多相分量E（）表示

h[k] 为某离散系统的单位脉冲序列，H(z)是其系统函数 [ ] [ ], 0,1, , 1 n e k h kM n n M = + = − 则称en [k]为h[k]的第n个多相分量。 H(z) 可以由M个多相分量En (z)表示 数字滤波器I型多相分解 若定义： 若en [k]的z变换记为En (z)， 则称En (z)为H(z)第n个多相分量

数字滤波器I型多相分解002h[k]-kH(2) =令k-rM+n，n=0,1,,M-1,reZk=-α80M-180Z2h[rM +n]--(rM+n)Ze,[r]--rM-nH(z) =n=0-0n=0-oEn(zM)岁H(2)=E,(=")2-" = E.(=")+2'E;(2")+L +2-(M-I)Em-(-")n=0H(2)= E(2) + z'E,(22)M=2H(z) = E(23)+ z'E,(23)+z-2E,(23)M=3

k k H z h k z −  =− ( ) =  [ ] 令k=rM+n, n=0,1,,M−1, rZ 1 ( ) 0 ( ) [ ] M rM n n r H z h rM n z −  − + = =− = +   1 0 [ ] M rM n n n r e r z z −  − − = =−   =       数字滤波器I型多相分解 1 0 ( ) ( ) M M n n n H z E z z − − = =  M=2 M=3 1 ( 1) 0 1 1 ( ) ( ) ( ) M M M M E z z E z z E z M − − − = + + + L − En (z M) 2 1 2 0 1 H z E z z E z ( ) ( ) ( ) − = + 3 1 3 2 3 0 1 2 H z E z z E z z E z ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + +

例：求下列7阶FIR数字滤波器M-2时对应的I型多相分解h[k]=(1 2 4 8 7 5 3 9; k=0,1,2,3,4,5,6,7)E(z) = 1+ 4z-l + 7z-2 +3z-3解:e[k]=(1 4 73]E,(2) = 2 +8z-1 + 5z-2 + 9z-3e[k] = (2 8 5 9]H(z) = E (22) + z'E,(22)=(1 + 4z-2 + 7z-4 + 3z-) + z-(2 +8z-2 +5z-4 +9z6)

例：求下列7阶FIR数字滤波器M=2时对应的I型多相分解。 h k k [ ] {1 2 4 8 7 5 3 9; =0,1,2,3,4,5,6 = ,7} 1 2 3 0 E z z z z ( ) 1 4 7 3 − − − 解： = + + + 2 1 2 0 1 H z E z z E z ( ) ( ) ( ) − = + 0 e k[ ] {1 4 7 3} = 1 e k[ ] {2 8 5 9} = 1 2 3 1 E z z z z ( ) 2 8 5 9 − − − = + + + 2 4 6 1 2 4 6 (1 4 7 3 ) (2 8 5 9 ) z z z z z z z − − − − − − − = + + + + + + +

例：求下列7阶FIR数字滤波器M=3时对应的I型多相分解h[k]=(1 2 4 8 7 5 3 9; k=0,1,2,3,4,5,6,7)E.(2) =1+8z-1 +3z-2解：eo[k] = [1 8 3]E,(2)= 2+ 7z-1 +9z-2e[k] = (2 7 9]ez[k]= (4 5]E,(2) = 4 + 5z-1H(2) = E.(2) +2'E;(2)+zE,(23)=1 + 8z-3 + 3z-6 + z-l(2 + 7z-3 + 9z-6) + z-2(4 + 5z-3)

例：求下列7阶FIR数字滤波器M=3时对应的I型多相分解。 h k k [ ] {1 2 4 8 7 5 3 9; =0,1,2,3,4,5,6 = ,7} 1 2 0 E z z z ( ) 1 8 3 − − 解： = + + 3 1 3 2 3 0 1 2 H z E z z E z z E z ( ) ( ) ( ) ( ) − − = + + 0 e k[ ] {1 8 3} = 1 e k[ ] {2 7 9} = 1 2 1 E z z z ( ) 2 7 9 − − = + + 2 e k[ ] {4 5} = 1 2 E z z ( ) 4 5 − = + 3 6 1 3 6 2 3 =1 8 3 2 7 9 4 5 z z z z z z z − − − − − − − + + + + + + + （ ） （ ）

例：已知某IIR数字滤波器的H(z)，求M-2时的I型多相分解(1-α) 1+z-1H(2) :1- 0z-12解:H(z)= E(z2) +z-'E;(22)(1-α) 1+z-1 (1-α) (1 + z-l)(1+ αz-l)分母化简为只有的H(z)=1-0z-12偶数次幂的形式2(1-αz-l)(1+oz-l)(1-α) 1+ αz-2 +z' (1+α) _ (1 -α) 1 + αz2-1 (1-α) (1+α)1-α,2+21-α2-221-α2z-2221 + oz-1(1-α)1+α(1-α)E,(2)=E(z)1-α2,-121-α?2-12

例：已知某IIR数字滤波器的H(z)，求 M=2时的I型多相分解。 1 1 1 1 2 (1 ) ( ) − − − − + = z z H z   (1 )(1 ) (1 )(1 ) 2 (1 ) 1 1 1 1 − − − − − + − + + = z z z z     2 2 2 1 1 1 (1 ) 2 (1 ) − − − − − + + + = z z z     2 1 1 0 1 1 2 (1 ) ( ) − − − − + = z z E z    1 2 1 1 1 2 (1 ) ( ) − − − + = z E z    1 1 1 1 2 (1 ) ( ) − − − − + = z z H z   2 1 2 0 1 H z E z z E z ( ) ( ) ( ) − 解： = + 分母化简为只有z的 偶数次幂的形式 2 1 2 2 2 2 (1 ) 1 (1 ) (1 ) 2 1 2 1 z z z z       − − − − − + − + = + − −

I型多相分解应用由型多项分解可以得到抽取滤波器的多项结构，相比于直接型结构，多相结构的计算效率更高。x[k]Eo(=M)y[k]y[k]x[k] -H(=)IM国Ei(2M)E2(=M)M-2M)z-nH(z) =E,(Mn=0EM-1(2M)

I型多相分解应用 由I型多项分解可以得到抽取滤波器的多项结构，相比于直接型结构，多相结构的计 算效率更高。 x[k] H(z)  M y[k] E0(zM) z −1 E1(zM) E2(zM) EM-1(zM)    z −1 z −1 x[k]  M y[k] 1 0 ( ) ( ) M M n n n H z E z z − − = = 

多相分解实现抽取滤波器H(2)-2E,(=M)z-y[k]x[k]H(=)IMn=0y2[k]IRx[k]x[k]H(=MH()+MIMEo(=M)[k]x[k]x[k]↓M+[k]E(a)MEi(zM)E,(2)E2(=M)E,(2)M271EM-I(=M)EM-()V

E0(zM) z −1 E1(zM) E2(zM) EM-1(zM)    z −1 z −1 x[k]  M y[k] E0(z M) z −1 E1(z M) E2(z M) EM-1(z M)    z −1 z −1 x[k]  M y[k]  M  M  M 多相分解实现抽取滤波器 E0(z) z−1 E1(z) E2(z) EM-1(z)    z−1 z−1 x[k]  M y[k]  M  M  M 1 0 ( ) ( ) M M n n n H z E z z − − = x[k] H(z)  M y[k] =  [ ] 1 x[k] y k ( ) H z( ) M H z x[k] [ ] 2 y k  M  M