北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 FIR数字滤波器设计 5.4 线性相位FIR滤波器的优化设计

线性相位FIR滤波器的优化设计线性相位FIRDF优化设计的基本原理利用积分加权平方误差准则设计FIRDF利用最大最小误差准则设计FIRDR

◆ 线性相位 FIR DF优化设计的基本原理 ◆ 利用积分加权平方误差准则设计FIR DF ◆ 利用最大最小误差准则设计FIR DF 线性相位FIR滤波器的优化设计

优化设计的基本原理优化设计的概念：在一定的误差准则下，使得所设计的FIR滤波器的频率响应H(ej)与给定滤波器的频率响应Ha(ej?)的误差最小。1.最大最小误差准则（MinimaxCriterion/Chebyshev准则）2.积分加权平方误差准则

优化设计的基本原理 优化设计的概念： 在一定的误差准则下，使得所设计的FIR滤波器的频率响应 H(ejW )与给定滤波器的频率响应Hd (ejW )的误差ε 最小。 1. 最大最小误差准则(Minimax Criterion/Chebyshev准则) 2. 积分加权平方误差准则

优化设计的基本原理最大最小误差准则（MinimaxCriterion/Chebyshev准则）加权误差函数W(2)[A(2)-D(2))8 =max可用E②表示Qc1设计所得滤波给定滤波器W(2)≥0，是由设计者定义的加权函数器的幅度函数的幅度函数I：滤波器在0≤元范围内各频带区间的集合。如低通滤波器I-[0,2,]U[2s, 元]。A(②)应具有I型或I型或Ⅲ型或IV型线性相位滤波器的幅度函数形式

优化设计的基本原理 最大最小误差准则(Minimax Criterion/Chebyshev准则) 加权误差函数 可用E(W)表示 I：滤波器在0Wp范围内各频带区间的集合。如低通滤波器 I=[0,Wp ][Ws , p]。 A(W) 应具有I型或II型或III型或IV型线性相位滤波器的幅度函数形式 W(W)0，是由设计者 定义的加权函数 设计所得滤波 器的幅度函数 给定滤波器 的幅度函数 max ( )[ ( ) ( )] W A D W   W W W  = −

优化设计的基本原理积分加权平方误差准则d2W(2)[A(2)-D(2)])二设计所得滤波给定滤波器W(2)≥0, 是由设计者定义的加权函数器的幅度函数的幅度函数

优化设计的基本原理 积分加权平方误差准则   2 ( )[ ( ) ( )] d I  W W W W = −  W A D W(W)0，是由设计者 定义的加权函数 设计所得滤波 器的幅度函数 给定滤波器 的幅度函数

优化设计的基本原理四种类型线性相位滤波器的幅度函数形式M/2A(2)=h[M /2]+Z 2I型2h[M /2-k]cos(k.2)k=0(M-1)/2ZI型A(2)=2h[M / 2 - k]cos[(k +0.5)2]k=0M/2III型ZA(2)= 2h[M /2-k]sin(k2)k=0(M-1)/2ZIV型A(2)=2h[(M -1) / 2 - k]sin[(k +0.5)2]k=0四种类型线性相位滤波器统一表示为A(2) = Q(2)G(2)

优化设计的基本原理 I型 / 2 0 ( ) [ / 2] 2 [ / 2 ]cos( ) M k A h M h M k k W W = = + −  II型 ( 1)/2 0 ( ) 2 [ / 2 ]cos[( 0.5) ] M k A h M k k W W − = = − +  III型 / 2 0 ( ) 2 [ / 2 ]sin( ) M k A h M k k W W = = −  IV型 ( 1)/2 0 ( ) 2 [( 1) / 2 ]sin[( 0.5) ] M k A h M k k W W − = = − − +  四种类型线性相位滤波器的幅度函数形式 四种类型线性相位滤波器统一表示为 A Q G ( ) ( ) ( ) W W W =

优化设计的基本原理>基本原理：A(2) =Q(2)G(2)根据一定的误差准则，计算g[k]使得该误差准则定义的误差8在0≤Q≤元最小，由g[k]确定FIR滤波器的系数h[k]对于积分加权平方误差准则，就是计算FIR滤波器的系数g[k]使得误差=「[E(2]}’d2 最小，再由g[K]确定h[K] 。对于最大最小误差准则，就是计算FIR滤波器的系数g[kl，使得误差 =maxE(2) 最小，再由g[k]确定h[k]2c

根据一定的误差准则，计算g[k]使得该误差准则定义的误差ε 在 最小，由g[k]确定FIR滤波器的系数h[k]。 ➢基本原理： 优化设计的基本原理 0  W  p 对于积分加权平方误差准则，就是计算FIR滤波器的系数g[k]， 使得误差 最小，再由g[k]确定h[k] 。 max ( ) E W   W  =   2 ( ) d I  W W = E  对于最大最小误差准则，就是计算FIR滤波器的系数g[k]，使得 误差 最小，再由g[k]确定h[k] 。 A Q G ( ) ( ) ( ) W W W =

利用积分加权平方误差准则设计FIRDF根据积分加权平方误差准则设计滤波器就是计算g[kl使得误差=[,[ W(2)[Q(2)G(2)- D(2)] ]'d2 最小，再由g[K]确定h[]。如何计算g[K]?对g[k]的导数等于0，可得到误差最小时的系数g[k]。该方法可利用MATLAB提供的函数firls实现

根据积分加权平方误差准则设计滤波器就是计算g[k]使得误差 最小，再由g[k]确定h[k] 。 利用积分加权平方误差准则设计FIR DF   2 ( )[ ( ) ( ) ( )] d I  W W W W W = −  W Q G D 该方法可利用MATLAB提供的函数firls实现。  对g[k]的导数等于0，可得到误差最小时的系数g[k]。 如何计算g[k]？

利用积分加权平方误差准则设计FIRDFMATLAB实现h = firls(M,f,a,w)f归一化频带值。如FIR滤波器的B个频带为元f,≤f2，元fj≤f4，...，元f2B-1≤f2BM:滤波器的阶数则堤一个有2B个元素的向量，其值为f-[fi, f2,, f2B-1, f2B]a：幅度值，表示滤波器在上述各频带边界的幅度，与的维数相同。W：各频带的加权值

MATLAB实现 w: 各频带的加权值 h = firls(M,f,a,w) M: 滤波器的阶数 f: 归一化频带值。如FIR滤波器的B个频带为 则f是一个有2B个元素的向量，其值为 f=[f1 , f2 , , f2B-1 , f2B] a: 幅度值，表示滤波器在上述各频带边界的幅度，与f的维数相同。 pf1Wpf2， pf3Wpf4， ， pf2B-1Wpf2B 利用积分加权平方误差准则设计FIR DF

例：根据积分加权平方误差准则设计M-63(I型)，2=0.5元rad，2=0.6元rad的线性相位FIR低通数字滤波器。分析：利用MATLAB函数firls实现，调用形式为h = firls(M,f,a,w)调用参数：M=63；%阶数f-[0FpFs1l；%低通滤波器频带(其中通带频率Fp=0.5,阻带频率Fs=0.6)a=[1100]；%滤波器在f中各频带边界频率处的幅度w为各频带的加权值相同，可缺省。即 h=firls(M,[0 Fp Fs 1],[1 1 0 0D);

例：根据积分加权平方误差准则设计M=63 (II型)，Wp=0.5p rad， Ws=0.6p rad的线性相位FIR低通数字滤波器。 分析： 调用参数： M=63；%阶数 f=[0 Fp Fs 1]；%低通滤波器频带(其中通带频率Fp=0.5,阻带频率Fs=0.6) a=[1 1 0 0] ； % 滤波器在 f 中各频带边界频率处的幅度 w为各频带的加权值相同，可缺省。 利用MATLAB函数firls实现，调用形式为 即 h=firls(M,[0 Fp Fs 1],[1 1 0 0]); h = firls(M,f,a,w)

例：根据积分加权平方误差准则设计M-63(I型)，2=0.5元rad，Q=0.6元rad的线性相位FIR低通数字滤波器。解：MATLAB程序如下%根据积分加权平方误差准则设计FIR滤波器M=63;Fp=0.5;Fs=0.6；%定义滤波器参数h=firls(M[0FpFs1l[1100D,%低通滤波w-linspace(0,pi,1000);mag-freqz(h,[1],w);%求频率响应plot(w/pi,abs(mag)，'LineWidth',2);gridon%画幅度响应xlabel(Normalized frequency');ylabel(A(IOmega)");figure;plot(w/pi,20*log10(abs(mag))，LineWidth',2);gridon;%画增益响应xlabel(Normalized frequency');ylabel(Gain,db'):axis([0 1 -100 10]);

解：MATLAB程序如下 %根据积分加权平方误差准则设计FIR滤波器 M=63;Fp=0.5;Fs=0.6; %定义滤波器参数 h=firls(M,[0 Fp Fs 1],[1 1 0 0]); %低通滤波 w=linspace(0,pi,1000); mag=freqz(h,[1],w); %求频率响应 plot(w/pi,abs(mag), 'LineWidth',2);grid on; %画幅度响应 xlabel('Normalized frequency');ylabel('A(\Omega)'); figure; plot(w/pi,20*log10(abs(mag)), 'LineWidth',2);grid on; %画增益响应 xlabel('Normalized frequency');ylabel('Gain,db'); axis([0 1 -100 10]); 例：根据积分加权平方误差准则设计M=63 (II型)，Wp=0.5p rad， Ws=0.6p rad的线性相位FIR低通数字滤波器