北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第5章 FIR数字滤波器设计 5.2 窗函数法设计线性相位FIR滤波器

窗函数法设计线性相位FIR滤波器设计原理设计方法窗口选择设计举例

窗函数法设计线性相位FIR滤波器 ◆ 设计原理 ◆ 设计方法 ◆ 窗口选择 ◆ 设计举例

设计原理IIR数字滤波器设计：通过设计模拟滤波器而实现；模拟滤波器是通过设计三个模板低通滤波器而实现；滤波器指标是给定边界频率及其衰耗；最终得到H(z)。窗函数法设计FIR数字滤波器：在时域逼近理想滤波器的单位脉冲响应，最终得到hkl

窗函数法设计FIR数字滤波器： 在时域逼近理想滤波器的单位脉冲响应，最终得到h[k]。 设计原理 IIR数字滤波器设计： 通过设计模拟滤波器而实现； 模拟滤波器是通过设计三个模板低通滤波器而实现； 滤波器指标是给定边界频率及其衰耗； 最终得到H(z)

设计原理Hdeo时域逼近思想：-2根据给定的Ha(ej?），利用IDTFT求解其单位脉冲响应ha[K]。H,(ej?)ejk?d?h,[k] =2元ha[k]一般情况下是非因果的无限长序列，加窗截短ha[kl，使之成为因果的有限长序列h[kl，其是ha[kl的时域逼近为保证线性相位，需要根据给定的指标构建具有线性相位的Ha（ej2）

π j j d d π 1 [ ] (e )e d 2π Ω k h k H   − =  hd [k]一般情况下是非因果的无限长序列， 加窗截短hd [k]，使之成为因果的有限长序列h[k]，其是hd [k]的时域逼近。 时域逼近思想： 根据给定的Hd (ej )，利用IDTFT求解其单位脉冲响应hd [k]。 设计原理 为保证线性相位，需要根据给定的指标构建具有线性相位的Hd (ej ) 。 Hd(e j )  − −c c  

设计方法1：由H.(ej)确定FIRDF的类型和幅度函数A(Q2.根据类型确定线性相位FIR滤波器的相位Pa(2)Pd(2)=-0.5M2+β(βB=0或元/2)3．根据Aa(②)和βa(2)通过IDTFT求解ha[因)h[k]=_[", A(2)ejoa(0)eikad4．加窗截短ha[]，得到有限长因果序列h[k]h[k]=ha[k]wn[k]

1．由Hd (ej )确定FIR DF的类型和幅度函数Ad () 2．根据类型确定线性相位FIR滤波器的相位d () d ()= −0.5M +b(b=0或 /2) 3．根据Ad ()和d ()通过IDTFT求解hd [k] d π j ( ) j d d π 1 [ ] ( )e e d 2π k h k A      − =  4．加窗截短hd [k]，得到有限长因果序列h[k] h[k]= hd [k]wN[k] 设计方法

例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率2=0.5元rad的低通滤波器H.(ej?)的线性相位FIR滤波器Hdein)解：（1)由Ha(ej2)确定线性相位FIR滤波器类型：低通滤波器可用I型或I型，本题选用I型2由H.(ej?)确定幅度函数A.(2)：一元-2.元[2|≤2A(2others0(2)根据类型确定线性相位FIR滤波器的相位?(2)：I型线性相位的Pa(2)为P(2)=-0.5M2

例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率c=0.5rad的 低通滤波器Hd (ej )的线性相位FIR滤波器。 (1) 由Hd (ej )确定线性相位FIR滤波器类型： 低通滤波器可用I型或II型，本题选用I型 (2) 根据类型确定线性相位FIR滤波器的相位d ()： c d 1 ( ) 0 others A      =   d ()= −0.5M 解： 由Hd (ej )确定幅度函数Ad ()： I型线性相位的d ()为 Hd(e j )  − −c c  

例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率Q2=0.5元rad的低通滤波器H.(ej?)的线性相位FIR滤波器。Hdejin)解：(3)根据Aa(2)和βa(2)通过IDTFT求解ha[K)A (2)ejga(2)eik2d2h.[k] 2元2一元-2元12eia(k-0.5M)d = & Sa[Q(k -0.5 M)]2元-2.-元(4）加窗截短ha[k]，得到有限长因果序列h[k长度为N的窗函数h[k] = h. [k] w[K](N=M+1)

Hd(e j )  − −c c   解： d π j ( ) j d d π 1 [ ] ( )e e d 2π k h k A      − =  (3) 根据Ad ()和d ()通过IDTFT求解hd [k] c c 1 j ( 0.5 ) e d 2π k M     − − =  c Sa[ ( 0.5 )] c π k M  = −  (4) 加窗截短hd [k]，得到有限长因果序列h[k] d [ ] [ ] [ ] N h k h k w k = 长度为N的窗函数 (N=M+1) 例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率c=0.5rad的 低通滤波器Hd (ej )的线性相位FIR滤波器

窗口选择矩形窗※ X加权窗可调窗※

窗口选择 ※ 矩形窗 ※ 加权窗 ※ 可调窗

矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器矩形窗0<k<Mw~[k]h[k] = h.[k]w~[k]其他W[k]k101020

矩形窗 1 0 [ ] 0 N k M w k    =   其他 [ ] [ ] [ ] d h k h k w k = N 0 1 k wN[k] 10 20 . . 矩形窗函数设计线性相位FIR滤波器

例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率2=0.5元rad的低通滤波器H.(ej?)的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短。+w.[K]0≤k≤Mw~[k]-矩形窗其他010h,[K]h[K]=sa[2(k-0.5M)]元Mk]h[k] = h,[k]·W[k]N=M+1

矩形窗 k  c  d h k[ ] c d c [ ] Sa[ ( 0.5 )] π h k k M  = −  d [ ] [ ] [ ] N h k h k W k =  k c  h k[ ] N=M+1 k 1 [ ] w k N 0 10 20 例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率c=0.5rad的 低通滤波器Hd (ej )的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短。 1 0 [ ] 0 N k M w k    =   其他

例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率2=0.5元rad的低通滤波器H.(ej?)的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短。解:M-14M-30Mwl8-0,=0.090=0,=0.091+8p1+8p1-8p1-6p019996ao.040302Q/m0OpOO所设计数字滤波器的幅度函数在通带和阳阻带都呈现出振荡现象且最大波纹大约为幅度跳变值的9%，这个现象称为吉伯斯现象

A() A() 解： M=14 M=30 所设计数字滤波器的幅度函数在通带和阻带都呈现出振荡现象， 且最大波纹大约为幅度跳变值的9%，这个现象称为吉伯斯现象。 dp=ds =0.09 例：利用窗函数法设计一个幅度响应能逼近截止频率c=0.5rad的 低通滤波器Hd (ej )的线性相位FIR滤波器。采用矩形窗截短。 dp=ds =0.09