北京交通大学：《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）第6章 数字滤波器实现 6.3 有限字长效应

有限字长效应问题的提出截尾和舍入量化效应输入信号量化误差滤波器系数量化误差乘积运算量化误差

有限字长效应 ◆ 问题的提出 ◆ 截尾和舍入量化效应 ◆ 输入信号量化误差 ◆ 滤波器系数量化误差 ◆ 乘积运算量化误差

问题的提出数字系统，存储单元的字长有限。1H(z)1+az-x[K]x(t)y[k] = x[k]-ay[k -1](A/D)A/D转换量化误差乘积运算数字滤波器的量化误差系数量化误差

x[k] z -1  a - y[k] A/D x(t) 问题的提出 数字系统，存储单元的字长有限。 A/D转换 量化误差 数字滤波器的 系数量化误差 乘积运算 量化误差 = - - x k ay k [ ] [ 1] 1 ( ) 1+ H z az - =

截尾和舍入量化效应※定点二进制数的表示※数值量化及量化误差

截尾和舍入量化效应 ※ 定点二进制数的表示 ※ 数值量化及量化误差

定点二进制数的表示定点二进制数x有三种表示形式，若-1<x<1，则其原码、反码和补码分别定义为：0.X,X,L X,0≤x<1[x]原二[1.X,X,L X,-1≤x<0正数的原码、反码和[0.X,X,L X,0≤x<1补码均相同。[x]反=1.XiX,L X,-1≤x<00.X,X,L X,0≤x<1[x称 =1(XX2L X, +Q0L4B1) -1≤x<0b-1

定点二进制数的表示 定点二进制数x有三种表示形式， 若-1<x<1，则其原码、反码和补码分别定义为： 正数的原码、反码和 补码均相同。 1 2 1 2 1 0. 0 1 [ ] 1.( 00 01) 1 0 b b b X X X x x X X X x -     =  + -    L L L 1442 443 补 1 2 1 2 0. 0 1 [ ] 1. 1 0 b b X X X x x X X X x    =   -   L L 反 1 2 1 2 0. 0 1 [ ] 1. 1 0 b b X X X x x X X X x    =   -   L L 原

数值量化及量化误差理论上，任意十进制数x（-1<x<1)都可用无限位二进制数表示8ZB.2ox=n=l符号位有效数字位实际中，只能用（b+1)位有限位近似表示x，此过程称为量化当利用有限位二进制数近似表示需无限位二进制表示的数时，将会产生误差，此误差称为量化误差

数值量化及量化误差 理论上，任意十进制数x (-1<x<1)都可用无限位二进制数表示 实际中，只能用 (b+1)位有限位近似表示x，此过程称为量化。 当利用有限位二进制数近似表示需无限位二进制表示的数 时，将会产生误差，此误差称为量化误差。 符号位 有效数字位 0 1 2 n n n x    -  = = 

数值量化两种数值量化方式：截尾量化和舍入量化O[x]Q[x]b2β.2-Q[x] = β3q3qn=12q2qqqxq2q3q4q-4g-3q-2q-g2q3q4g4g-3gq-201-q-q = 2-b2q2q-3q3q补码4q-4q截尾量化舍入量化

数值量化 q -q 2q -2q 3q 4q -3q q 2q 3q -4q -4q -3q -2q -q x Q[x] q -q 2q -2q 3q 4q -3q q 2q 3q -4q -4q -3q -2q -q x Q[x] 两种数值量化方式：截尾量化和舍入量化 截尾量化 舍入量化 0 1 [ ] 2 b n n n Q x   -  = =  b q - = 2 补码

数值量化如下十进制数序列：d=[0.6250.573-0.8720.268-0.326q= 2-5 = 0.03125按照5bit截尾序列：0.625000.56250-0.843750.25000-0.31250[0.10100]b[1.11011]b[0.01000]b[0.10010]b[1.01010]bq=2- = 0.03125按照5bit舍入序列：0.625000.56250-0.875000.28125-0.31250[0.10100]b[0.10010]b[1.11100]b[0.01001]b[1.01010]b

数值量化 如下十进制数序列： d=[0.625 0.573 -0.872 0.268 -0.326] 0.62500 0.56250 -0.87500 0.28125 -0.31250 [0.10100]b [0.10010]b [1.11100]b [0.01001]b [1.01010]b 0.62500 0.56250 -0.84375 0.25000 -0.31250 [0.10100]b [0.10010]b [1.11011]b [0.01000]b [1.01010]b 按照5bit截尾序列： 按照5bit舍入序列： 5 q 2 0.03125 - = = 5 q 2 0.03125 - = =

量化误差e = Q[xl- x※截尾误差：-q<er≤0正数、负数补码截尾误差范围为q =2-b0≤er<q负数原码和反码截尾误差范围为※舍入误差：-q/2<er ≤q/2舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布

量化误差 ※ 截尾误差： e Q x x = - [ ] ※ 舍入误差： 正数、负数补码截尾误差范围为 负数原码和反码截尾误差范围为 舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。 b q - = 2 T -   q e 0 T 0   e q R -   q e q 2 2

量化误差量化误差(eR，er)统计分析：均匀分布的随机变量舍入误差eR：-q/2<eR≤q/2截尾误差eT：-q<er≤oA P(er)A P(e)1/ q1/ qeRer00-qq/2-q/2舍入误差概率密度函数曲线截尾误差概率密度函数曲线

量化误差 舍入误差eR： 截尾误差eT： 量化误差(eR , eT )统计分析：均匀分布的随机变量。 R -   q e q 2 2 T -   q e 0 Re R P e( ) 1 q -q 2 0 q 2 Te T P e( ) 1 q -q 0 舍入误差概率密度函数曲线 截尾误差概率密度函数曲线

量化误差4P(en)均值方差 (平均功率)1/qer-q/20q/2226q?MR =E(eR)=0oR =E(er -μr))舍入误差eR：1212截尾误差er:2260 =E(er -t))=%A P(er)μr =E(er)=-q/21/q1212e

量化误差   2 2 2 2 R R R 1 12 ( ) 2 2 b q   E e - 舍入误差e R R = = E e  0 = - = = R：   2 2 2 2 T R T 1 12 ( ) 2 2 b q   E e -   = - = = T T  = = E e -q / 2 截尾误差eT： 均值 方差（平均功率） Re R P e( ) 1 q -q 2 0 q 2 Te T P e( ) 1 q -q 0