延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第三章 随机变量的数字特征 3.8 切比雪夫不等式与大数定律

§38切比雪夫不等式与大数定律 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律

§3.8 切比雪夫不等式与大数定律 切比雪夫不等式 切比雪夫大数定律 伯努利大数定律

、切比雪夫不等式 定理1设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X存在 则对于任意正数,有不等式 叫X-E(e]≤2(X 或PX-E(X)ka/≥1~D

一、切比雪夫不等式 或 2 ( ) [| ( ) | ] 1 D X P X E X   −   − 2 ( ) [| ( ) | ] D X P X E X   −   1 ( ) ( ) , X E X D X  定理 设随机变量 的数学期望 与方差 存在 则对于任意正数 ，有不等式

我们只就连续随机变量的情况来证明 证设X的概率密度为f(x),则有 x-E(X) X-E(X川≥e} f(x)a f(r)dx x-E(X ) PE x-E(X2E E ≤「(x-E(X)2f(x)b=2(

证 我们只就连续随机变量的情况来证明. 设X的概率密度为f (x)，则有 P X E X { ( ) } −  =  ( ) ( ) x E X f x dx −   2 2 ( ) ( ) ( ) x E X x E X f x dx   −  −   2 2 1 ( ( )) ( ) x E X f x dx  + −  −  2 D X( )  =

二、大数定律 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性概念的 系列定理统称为大数定律 Xn=∑ 两个主要结论:大量随机试验中 事件发生的频率稳定于事件的概率伯努利大数定律 测量值的算术平均值稳定于数学期望一切比雪夫大数定律

两个主要结论： 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性概念的 一系列定理统称为大数定律    事件发生的频率稳定于事件的概率 二、大数定律 = = n i n Xi n X 1 1 大量随机试验中 测量值的算术平均值稳定于数学期望 ——伯努利大数定律 —切比雪夫大数定律

定理2(切比雪夫大数定律) 设独立随机变量序列12X2…,Xn,…的数学期望 E(X1),E(X2)…,E(Xn), 和方差 D(X1),D(X2)…,D(Xn 都存在,并且方差是致有上界的,即存在某常数K 使得D(X1)<K,i=1,2,…,n,…,则对于任意的正数,有 mP∑X-∑E(X)<a 切比雪夫,Ⅱ几 切比雪夫

定理2(切比雪夫大数定律) ( ) 1 1 1 ( ) , , , , , , , ( ), ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ), , , 1 1 1 1 1 =         −   =   = = →   n i i n i i n i 2 n 2 n 2 n E X n X n lim P D X K i 1 2 n K D X D X D X E X E X E X X X X 使 得 则对于任意的正数， 有 都存在，并且方差是一致有上界的，即存在某一常数 ， 和方差 ，， 设独立随机变量序列 ，， 的数学期望         切比雪夫

mP∑X-∑E(X)<6=1 对切比雪夫定理的理解: 由于独立随机变量序殊1,X2”,X,的算数平均值 ∑X的数学期望(xn) ∑ E(X1) 所以如果方差是一致有界的,则 经过算数平均值后得到的随机变量X,的值将比较紧密 地聚集在它的数学期望(舶附近

对切比雪夫定理的理解： =  ( ) = = n n i n i 2 n X E X n X X X X 的数学期望 由于独立随机变量序列 ，， 的算数平均值 1 1 1 ,  = n i E Xi n 1 ( ) 1 所以如果方差是一致有上界的，则 地聚集在它的数学期望 ( )的附近 经过算数平均值后得到的随机变量 的值将比较紧密 n n E X X          −   = = →  n i i n i i n E X n X n limP 1 1 ( ) 1 1 = 1

证由于 Ex=∑E(X) ∑ X=∑D(X) 由切比雪夫不等式 叫1x-1E(x)<2 n 2a∑D(X) n i=1 n i=1 n e i= 因为方差是一致有上界的,所以∑D(X1)≤nK 由此得P∑x-∑E(x)<a21-k n n

证 =        = n i Xi n E 1 1 由于 = n i E Xi n 1 ( ) 1         = n i Xi n D 1 1 = = n i D Xi n 1 2 ( ) 1 由切比雪夫不等式          −   = =  n i i n i i E X n X n P 1 1 ( ) 1 1 =  − n i D Xi n 1 2 2 ( ) 1 1  D X nK, n i  i  =1 因为方差是一致有上界的，所以 ( )          −   = =  n i i n i i E X n X n P 1 1 ( ) 1 1 由此得 2 1 n K  −

证由此得川12x212mCx∞得 lim pli ∑X 1SE(X;)<6|≥1 但概率不能大孔,因此 nmP∑X-∑E(X)<a=1 n

证 上式中令 n →  得          −   = =  n i i n i i E X n X n P 1 1 ( ) 1 1 由此得 2 1 n K  −          −   = = →  n i i n i i n E X n X n limP 1 1 ( ) 1 1  1 但概率不能大于1，因此          −   = = →  n i i n i i n E X n X n limP 1 1 ( ) 1 1 = 1

推论(切比雪夫定理的特殊情况) 设随机变量X1,X2…,Xn,相互独立,且具有 相同的数学期望和方差 E(Xk)=,D(Xk)=σ(k=1,2,… 则对任意的>0,有 lim ∑Xk 团<E n k=1 实际应用中,对某一量a,在不变条件下重复测量n次,得 到观察值x…xn当m充分大时,可用∑x作为a的近似值

推论（切比雪夫定理的特殊情况） 则对任意的ε>0，有 相同的数学期望和方差： 设随机变量X1 , X2 ，，Xn ,相互独立，且具有 2 ( ) , ( ) ( , , ). 1 2 E X D X k k k = = =   1 1 lim 1 =          −  = →   n k k n X n P 实际应用中，对某一量a，在不变条件下重复测量n次，得 到观察值x1 ,…,xn， 1 1 n i i n x a n = 当 充分大时，可用  作为 的近似值

按概率收敛 定义若对于任意正数事件|Xn-a概率当n→>∞时 趋于: lim PiX-ake=1 n→0 则称随机变量当n→时按概率收敛于数 请注意:{Xn}依概率收敛于a,意味着对任意给定的E>0, 当n充分大时,事件Xn-<e的概率很大,接近于1 并不排除事件Xnd≥的发生,而只是说它发生的 可能性很小 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 弱些,它具有某种不确定性

按概率收敛 定义 趋 于 ： 若对于任意正数，事 件 的概率当 时 1  | Xn − a |  n →  lim {| − | } = 1 → P X a  n n 请注意 :   0 1 . n n n X a n X a X a     −  −  依概率收敛于 ，意味着对任意给定的 ， 当 充分大时，事件 的概率很大，接近于 ； 并不排除事件 的发生，而只是说它发生的 可能性很小 弱些，它具有某种不确定性. 依概率收敛比高等数学中的普通意义下的收敛 则称随机变量Xn 当n → 时按概率收敛于数a