延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第三章 随机变量的数字特征 3.3 数学期望的性质

第三节数学期望的性质 ●数学期望的性质 ●数学期望性质的应用

第三节 数学期望的性质 数学期望的性质 数学期望性质的应用

、数学期望的性质 1.设C是常数,则E(O)=C; 2.若k是常数,则E(kX)=kE(X); 3.E(X+Y)=E(X)+E(Y); 推广:EC∑X1=∑E(X) i=1 4.设X、Y相互独立,则E(XY=E(XE(Y); 推广:E∏X=IE(X1)(诸X相互独立时)

一、数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C; 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);   = = = n i i n i E Xi E X 1 1 推广: [ ] ( )   = = = n i i n i E Xi E X 1 1 推广: [ ] ( ) （诸Xi相互独立时）

我们来证性质 2.若k是常数,则E(kX)=kE(X; 证当X为离散型E(X)→k以(x)∑xm(x)AE(xX) 当X为连续型:E(N)=j(x)d=k∫(x)t KE(X)

证 当X为离散型:E(kX) = 当X为连续型: ( ) i i i kx p x ( ) i i i = k x p x  = kE(X)  +  − kxf (x)dx  +  − E(kX) = = k xf (x)dx = kE(X) 我们来证性质 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X);

3. E(X+Y=E(X+E(r; 证二维离散型:E(X+Y)之∑(x+y)x,y) ∑∑xD(x,y)+∑∑y,p(x ∑xpx(x)+∑y1(y=E(X)+E( F维连续型E(x+)∫(x+y)(x,)dd Oo-oO =∫∫(x,y)d+∫∫(x,y)h jxx(x)dx+yf(dy=E(X)+E(Y)

证 二维离散型: 二维连续型: E(X +Y) = ( ) ( , ) i j i j i j   x y p x y + =  + j j Y j i i X i x p (x ) y p ( y )= E(X) + E(Y)   +  − +  − (x + y) f (x, y)dydx     +  − +  − +  − +  − = xf (x, y)dydx + yf (x, y)dydx E(X +Y) = = E(X) + E(Y) j i ( , ) ( , ) i i j j i j i j = +   x p x y y p x y   +  − +  − = xf x dx + yf y dy X Y ( ) ( ) 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y);

4.设X、Y相互独立,则E(XY=E(XE(Y; 证离散型:E(XY之∑∑xyp(x,y ∑∑x:Px(x)2(y) =∑xpx(x∑y(y)=E(X)·E() 连续型:E(XT∫xy(x,y)dd ∫x(x)、)=J(x)( E(X)·E(Y)

证 离散型: E(XY) = 连续型:E(XY) =  i j i j X i Y j x y p (x ) p ( y ) =   j j Y j i i X i x p (x ) y p ( y )= E(X) E(Y )   +  − +  − = xyf (x, y)dydx   +  − +  − = xf x dx yf y dy X Y ( ) ( ) = E(X) E(Y ) ( , ) i j i j i j  x y p x y   +  − +  − = xyf x f y dydx X Y ( ) ( ) 4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);

二、数学期望性质的应用(P146) 例1求二项分布的数学期望 若XB(n2D)则X表示独立试验序列中的“成功”次数 若设X 如第i次试验成功 0如第次试验失败 则X=X1+X2+…+Xn 因为PX=1}=P,P{X1=0}=1 E(XD=1·p+0·(1-p)=p 于是B(X)=∑X∑E(X)=m

二、数学期望性质的应用(P146) 例1 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)则，X表示独立试验序列中的“成功” 次数. 若设 则 X= X1+X2+…+Xn    = 如第 次试验失败 如第 次试验成功 i i Xi 0 1 i=1,2，…，n 因为 P{Xi =1}= p, P{Xi =0}= 1-p E(Xi )= 1 p + 0(1− p) = p 于是       = = n i E X E Xi 1 ( ) E X np n i =  i = =1 ( )

小结 ●数学期望的性质

小结 数学期望的性质