延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第二章 随机变量及其分布 习题课二

习题课(二

习题课 (二)

内容小结 、离散随机变量的概率函数 2、常见的离散随机变量(0-1分布、二项分布、泊松 分布),泊松定理 3、分布函数 4、连续随机变量的概率密度 5、常见的连续随机变量 6、随机变量函数的分布 7、二维随机变量的联合分布与边缘分布 8、二维随机变量的条件分布 9、二维随机变量的独立性 10、二维随机变量函数的分布

1、离散随机变量的概率函数 2、常见的离散随机变量（0-1分布、二项分布、泊松 分布），泊松定理 3、分布函数 4、连续随机变量的概率密度 6、随机变量函数的分布 7、二维随机变量的联合分布与边缘分布 9、二维随机变量的独立性 10、二维随机变量函数的分布 一、内容小结 5、常见的连续随机变量 8、二维随机变量的条件分布

习题选讲 1、在一个袋子中有10个球,其中6个白球,4个红球从中任取 3个,求抽到红球数的概率分布 解:用X表示抽到的红球数,则X所有可能的取值为0,1,2,3 且取每一个值的概率分别为 P{X=0}=x3 P{X=1} 10 CCl 3 P{X=2} X=3} 10 30 X概率分布为 p(x) 30 习题课二

习题课二 3 6 3 10 1 { 0} , 6 C P X C = = = 2 1 4 6 3 10 3 { 2} , 10 C C P X C = = = 6 1 2 1 10 3 30 1 X 0 1 2 3 p(x) 1 2 4 6 3 10 1 { 1} 2 C C P X C = = = 3 4 3 10 1 { 3} 30 C P X C = = = 1、 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球.从中任取 3个，求抽到红球数的概率分布. 解：用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3, 且取每一个值的概率分别为 X概率分布为 二、习题选讲

2A 2、设随机变量X的概率函数为:p(k)9h 试确定常数A 解因为∑m(k)=∑ 2A 2A 9×==2A k=1 9 所以A= 习题课二

习题课二 2 2 : ( ) , 1, 2 , , 9 , 9 . A X p k k A 、设随机变量 的概率函数为 = = 试确定常数 解 9 9 1 1 2 ( ) k k 9 A p k = = 因为  = A A 2 9 2 = 9 = 1 2 所以A =

3、设每次射击命中目标的概率为0.01,现射击600次 求至少命中3次目标的概率(用泊松分布近似计算) 解:设X表示射击命中目标的次数,则X~B(60001 用 Poisson分布近似计算,取λ=600×0.01=6, P{X≥3}=1-P{X<3}=1-P{X=0}-PX=1}-P{X=2 ≈1-0.0025-0.0149-0.0446=0.938 0,x<1, 4、设连续随机变量X的分布函数为Fx(x)={lnx,1≤x<e, 1x≥e. 求(1)P{X2},P{0<X≤3};(2)求概率密度f(x) 习题课二

习题课二 3、设每次射击命中目标的概率为0.01，现射击600次， 求至少命中3次目标的概率（用泊松分布近似计算）． 设X表示射击命中目标的次数,则X B ~ 600,0.01 ( ) 用Poisson分布近似计算，取 =  = 600 0.01 6, 解： P X  3=1−PX  3=1−PX = 0−PX =1−PX = 2  − − − 1 0.0025 0.0149 0.0446 = 0.938 4、设连续随机变量 X 的分布函数为          = 1, . ln ,1 , 0, 1, ( ) x e x x e x F x X ， 求（1）P {X<2}, P {0<X≤3}；（2）求概率密度 fX (x)

0,x<1 4、设连续随机变量X的分布函数为F(x)={nx,1≤x<e, 1,x≥ 求(1)P{X<2},P{0<≤3};(2)求概率密度x(x) 解:P{X<2}=F(2)=ln2 P{0<X≤3}=F(3)-F(0)=1 ∫x(x)=Fx(x)=x ,1≤x<e, 0,其它 5、F(-∞)=imF(x)=0 F(+∞)=limF(x)=1 xX→)+0 习题课二

习题课二 5 ( ) lim ( ) ; x F F x →− 、 − = = ( ) lim ( ) x F F x →+ + = = 01 4、设连续随机变量 X 的分布函数为     = 1, . ln ,1 , 0, 1, ( ) x e x x e x F x X ， 求（1）P {X<2}, P {0<X≤3}；（2）求概率密度 fX (x). 解：P{X  2}= F(2)= ln2 P{0  X  3}= F(3) − F(0) = 1 f (x) X F (x) X =  1 ,1 , 0, x e x    =  其 它

0<x<1 6、设随机变量X的概率密度为(x)={A,1x2 其它 求(1)常数;(2)P0<X<3}; 2 解:()(x)=1得x+k=1解得A=2 220X<2=/(xk=x2+ 习题课二

习题课二 6、设随机变量X的概率密度为 2 , 0 1 ( ) , 1 2 0, x x f x A x     =      其它 求 (1)常数A; }; 2 3 (2)P{0  X  解: (1) f x dx ( ) 1, + − = 由 得    + = 1 0 2 1 2 x dx Adx 1 解得 2 3 A =    = 2 3 0 } ( ) 2 3 (2) P{0 X f x dx   = + = 1 0 2 3 1 2 3 2 3 2 x dx dx

7、设随机变量X在[2,8上服从均匀分布,求二次方 程y2+2Xy+9=0有实根的概率 解:方程有实根等价于4X2-36≥0,即X>3或X≤-3 由于X服从均匀分布,故X的概率密度为 f(x)=162≤xs8 0,其它 从而,P{y2+2Xy+9=0有实根}PX>3}+P{X≤-3} f(x)dx+.f(x)dx+ f(x)a dx+o 8 习题课二

习题课二 7、设随机变量X在[2，8]上服从均匀分布，求二次方 程 y 2+2Xy+9=0 有实根的概率. 解： 方程有实根等价于4X2−36≥0 , 即X≥3或X≤−3. 由于X服从均匀分布，故X的概率密度为        = 0, 其它 , 2 8 6 1 ( ) x f x 从而，P{y2+2Xy+9=0 有实根}=P{X≥3}+P{X≤−3} 3 8 3 8 f x dx f x dx f x dx ( ) ( ) ( ) − + − = + +    6 5 0 6 8 1 3 = + =  dx

8、已知X的概率分布为 X|-1012 5 p(x)0.30.1020.150.25 则FX的概率分布为 25 p0)0.10.3+0.2 0.150.25 习题课二

习题课二 8、已知X的概率分布为 X -1 0 1 2 5 p(x) 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25 则Y=X2 的概率分布为____________ Y 0 1 4 25 p(y) 0.1 0.3+0.2 0.15 0.25

9设随机变量X的概率密度函数为x(x)=1 丌(1+x (-∞<x<+0),求随机变量Y=1-3X的概率密度。 解:F1(y)=PY≤y}=P-≤y}=P(X2(1-y)} 15(y)-”,(x) 上式两端对求导,得 f(y)=刚)=f1(-y)3(1-y)2=3(1-y)2 [1+(1 例°(-∞<y<+0) 习题课二

习题课二 9、 求随机变量 的概率密度。 设随机变量 的概率密度函数为 3 2 ( ), 1 , (1 ) 1 ( ) x Y X x X fX x −   + = − + =  ( 3 ) 3 3 3 (1 ) ( ) { } {1 } { (1 ) } 1 ((1 ) ) ( ) Y X X y F y P Y y P X y P X y F y f x dx + − =  = −  =  − = − −  解： 或 上式两端对y求导，得 2 3 2 6 3(1 ) ( ) ( ) ((1 ) ) 3(1 ) , ( ) [1 (1 ) ] Y Y X y f y F y f y y y  y − = = −  − = −   +  + −