延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第五章 数理统计的基本知识 5.2 样本函数与统计量

第二节样本函数与统计量 统计量 常用的统计量

第二节 样本函数与统计量 统计量 常用的统计量

、统计量 第十六讲数理统计的基本知识 1.统计量 设X1,X2,…,X是来自总体X的一个样本 g(X1,X2,…,Xn)是X12X2,…,X,的函数,若g 中不含未知参数,则g(X1,X2,,Xn)称是 个统计量 x是一个样本的观测值,则g(x1,x2,…x)他是分,, 请注意:设X1,2…X是来自总体X的一个样本 计量g(X1,H2,…n)的观测值

第十六讲 数理统计的基本知识 1. 统计量 一、统计量 . ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 个统计量 中不含未知参数，则 称是一 是 的函数，若 设 是来自总体 的一个样本， n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X     请注意 : ( , , ) . , ( , , ) , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计量 的观测值 是一个样本的观测值 则 也是统 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X X x g x x x X X X X x x    

第十六讲数理统计的基本知识 例1设总体X服从两点分布B(,p),其中p是未知参 数,X12…,X是来自X的简单随机样本试指出X1+X2 maxX2X5+2p,(X5-X1)之中哪些是统计量哪些 不是统计量,为什么? X1+X2,maxX1,(X5-X1)2都是统计量,但 1≤i5 X5+2p不是统计量(因为p是未知数)

第十六讲 数理统计的基本知识 1 5 1 2 2 5 5 1 1 5 1 (1, ) , , . ,max , 2 , ( ) , i i X B p p X X X X X X X p X X   + + − 例 设总体 服从两点分布 ，其中 是未知参 数， 是来自 的简单随机样本试指出 之中哪些是统计量 哪些 不是统计量，为什么？ 2 . ,max ,( ) 5 2 5 1 1 5 1 2 不是统计量（因为 是未知数） 都是统计量，但 X p p X X Xi X X i + + −  

2几个常见统计量及其观测值十或统针的基本知识 样本平均值(简称样本均值)x=1Sx 它的观测值记作x=∑x;

2.几个常见统计量及其观测值 第十六讲 数理统计的基本知识 样本平均值(简称样本均值) = = n i Xi n X 1 1 它的观测值记作 = = n i i x n x 1 ; 1

2几个常见统计量及其观测值十或统针的基本知识 样本方方021 n-1之(上 1 它的观测值记作S ∑(x,-x) 样本标准差S= ∑(X1-X 它的观测值记作s= ∑( (x;-x)

第十六讲 数理统计的基本知识 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 它的观测值记作 = − − = n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 2.几个常见统计量及其观测值 样本标准差  − − = = n i Xi X n S 1 2 ( ) 1 1 它的观测值记作 ( ) ; 1 1 1 2 = − − = n i xi x n s

2几个常见统计量及其观测值十或统针的基本知识 样本方差21 ∑ (X2-X)2 注:由2(x-)2=∑(x2+2-2x) ∑x2+2R2X∑X=∑x2-nx2 i=1 2 X.-nX

第十六讲 数理统计的基本知识 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 2 2 2 1 1 1 n i i S X nX n =    = −   −    注1： 2 1 ( ) n i i X X = 由 − 2 2 1 = ( 2 ) n i i i X X XX =  + − 2 2 1 1 1 = -2 n n n i i i i i X X X X = = =    + 2 2 1 = n i i X nX =  − 2.几个常见统计量及其观测值

几个常见统计量 第十六讲数理统计的基本知识 样本阶原点矩v=1yxk=1,2, 9●· 它的观测值记作n=∑xk=12… 它的观测值记作4=5Cx-1 样本阶中心矩Uk=∑ k k=1,2

几个常见统计量 第十六讲 数理统计的基本知识 = = n i k k Xi n V 1 1 样本k阶原点矩 k=1,2,… 它的观测值记作 1 1 1, 2, n k k i i v x k n = = =  样本k阶中心矩 = = − n i k k Xi X n U 1 ( ) 1 它的观测值记作 ( ) 1,2, 1 1 =  − = = x x k n u n i k k i

注1: 第十六讲数理统计的基本知识 所有的统计量都是随机变量,而它们的观测值是根据 样本观测值计算得到的数据,今后为了方便,把统计 量的观测值简称为该统计量 如样本均值XY的观测值简称为样本均值等等

第十六讲 数理统计的基本知识 所有的统计量都是随机变量，而它们的观测值是根据 样本观测值计算得到的数据，今后为了方便，把统计 量的观测值简称为该统计量 如样本均值X的观测值x简称为样本均值等等 注1：

注2: 第十六讲数理统计的基本知识 样本二阶中心矩。1 (X;-X)2与 样本方差S2 ∑(X-X)2之间的关系 2 S2我们把样本二阶中心矩的观测值记作2 ∑(x1-x2即a2="-12 n i=1 当样本容量充分大时,G2与2是近似相等的

第十六讲 数理统计的基本知识 样本二阶中心矩 = = − n i 2 Xi X n U 1 2 ( ) 1 与 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 之间的关系： 2 2 1 S n n U − = 我们把样本二阶中心矩的观测值记作 ~2  = = = − n i i x x n u 1 2 2 2 ( ) ~ 1 即 ~2 1 2 s n n − 即 = 当样本容量n充分大时， ~2 与s 2 是近似相等的 注2：

第十六讲数理统计的基本知识 例2°设捅样得到样本观测值如下: 19.120.021.218819.620.522.021.619420.3 计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值 解:样本均值x x.=20.25 10 ∑ 样本方差s21S ∑( x2-10x2|=1.165 样本二阶中心矩G2=∑(x1-x)2=10485 i=1

第十六讲 数理统计的基本知识 设抽样得到样本观测值如下： 19.1 20.0 21.2 18.8 19.6 20.5 22.0 21.6 19.4 20.3 例2 计算样本均值、样本方差及样本二阶中心矩的观测值 解： x 2 s 样本均值 样本方差 样本二阶中心矩 ( ) 1 0485 10 ~ 1 1 0 1 2 2 x x . i =  i − = =  10 2 1 1 ( ) 9 i i x x = = −  10 1 1 20 25 10 i i x . = = =  10 2 2 1 1 10 1 165 9 i i x x . =   = − =     