延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第六章 参数估计 6.2 衡量点估计量好坏的标准

§62衡量点估计量好坏的标准 无偏性 有效性 致性

§6.2 衡量点估计量好坏的标准 •无偏性 •有效性 •一致性

、无偏性 估计量是随机变量,对于不同的样本值会得到 不同的估计值.我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动,而它的期望值等于未知参数的真值这就 导致无偏性这个标准 设6(X1…,Xn)是未知参数日的估计量,若 E()=6 则称为6的无偏估计量

估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到 不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附 近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就 导致无偏性这个标准 . 一、无偏性  ) =  ˆ E( 则称  ˆ 为  的无偏估计 ( , , ) ˆ 设  X1  Xn 是未知参数  的估计量，若 量

因为E(X)=E|∑xF∑Ex nE(X=E(X) 因此 样本均值=∑X是总体期望E(X无偏估计量

因为 E(X) 因此 1 1 ( ) n i i X X E X n = 样本均值 =  是总体期望 的无偏估计量 1 1 n i i E X n =   =      1 1 n i i EX n = =  1 nE X E X ( ) ( ) n =  =

E(S 2=E ∑X2-n ∑E(X2)-mE(X2) ∑{(x)+[E(x)}-nD(x+[E(x) n-12p(X)+E(I)-n D(X)/ n+[E(X))=D(X) 因此 样本方差S2=-1 ∑(X1-)是总体方差D(X)的 无偏估计量

( ) 2 E S = D X( ) 因此 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 n i i S X X D X n = = − 样本方差 −  是总体方差 的 无偏估计量

例1若给定的a1,2,,a,满足∑a1= 则∑aX是总体期望E(x)的无偏估计 E2x∑aE(x)=∑aE(X =E(x)∑a=E(x) 因此同一参数的无偏量不唯

, , , 1 1 1 2  = = n i 若给定的   n ，满足 i 例1 1 ( ) n i i i  X E X = 则 是总体期望 的无偏估计         = i n i E i X 1  ( )i n i  i E X = = 1  E(X ) n i  i = = 1  E(X ) E(X ) n i =  i = =1  因此同一参数的无偏估计量不唯一

若和都是参数9的无偏估计量,我们可以 比较E(1-0)和E(O2-0)的大小来决定二者谁更优 由于D(6)=E(01-0)2 D(02)=E(2-0) 所以无偏估计以方差小者为好,这就引进了有效性这 概念

2 ˆ 1  ˆ 若  和 都是参数  的无偏估计量， 的大小来决定二者谁更优 . 2 1 ) ˆ 比较 E( − 和 2 2 ) ˆ E( − 我们可以 所以无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一 概念 . 2 1 1 ) ˆ ) ( ˆ 由于 D( = E  − 2 2 2 ) ˆ ) ( ˆ D( = E  −

二、有效性 设日=日(X1…Xn和的2=日2(X1…Xn) 都是参数的无偏估计量,如果D(0)<D() 则称比日有效 设(x1,…,X,)是参数的无偏估计量,如果对给定的 样本容量,)的方差D(O)最小,则称是有效估计量

二、有效性 则称 比 有效 . 2 ˆ 1  ˆ  ( , , ) ˆ 1 X1  Xn ( , , ) ˆ ˆ 1 = 2 =2 X1  Xn ˆ 设  和 D( ) <D( ) 2 ˆ 1  ˆ 都是参数  的无偏估计量，如果  设 ˆ (X1 ,  , Xn )是参数的无偏估计量，如果对于给定的 样本容量n, ˆ的方差D( ˆ )最小，则称 ˆ是的有效估计量

例2 设总体X有E(X)=a,D(X)=b:X1,X2,X为样本 试比较n的两个估计量1=2X1+X2+X3 5 5 5 X1+X2+X3的有效性 9 3 9 解:E()=E(x1)+E(x2)+E(x)=a E(a2)=E(x1)+E(X2)+E(X3)=a 因此a1和a2都是n的无偏估计

设总体X有E(X) = a, D(X) = b;X1 , X2 , X3 为样本 例2 1 1 2 3 5 2 5 1 5 2 试比较a的两个估计量a ˆ = X + X + X 2 1 2 3 的有效性 9 5 3 1 9 1 a ˆ = X + X + X ( )1 解：E a ˆ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 5 2 5 1 5 2 = E X + E X + E X = a ( ) 2 E a ˆ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) = a 9 5 3 1 9 1 = E X + E X + E X 因此a ˆ 1 和a ˆ 2 都是a的无偏估计

例2 设总体X有E(X)=a,D(X)=b:X1,X2,X为样本 试比较n的两个估计量1=2X1+X2+=X3 5 5 5 5 X1+X2+X3的有效性 3 9 (1)=2D(X)+D(x2)+D(X 0.36b 25 25 25 ) 25 D D(X1)+D(X,)+D(X2)=0.43b 81 9 81 D(a)<D(a2)因此估计量比a有效

设总体X有E(X) = a, D(X) = b;X1 , X2 , X3 为样本 例2 1 1 2 3 5 2 5 1 5 2 试比较a的两个估计量a ˆ = X + X + X 2 1 2 3 的有效性 9 5 3 1 9 1 a ˆ = X + X + X ( ) 1 D a ˆ ( ) ( ) ( ) 1 2 3 25 4 25 1 25 4 = D X + D X + D X = 0.36b ( ) 2 D a ˆ ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) = 0.43b 81 25 9 1 81 1 = D X + D X + D X ( ) ( ) 1 2 D a ˆ  D a ˆ 因此估计量a ˆ 1 比a ˆ 2 有效

计量0(X1,,Xn)是与样本容量有关的,我们当然希望当 n越大时对θ的估计越精确,于是引进点估计的第三个标准

1 ( , , ) n θ X X n θ 估 量 是与 本容量有 的，我 然希望 越大 的估 越精确，于是引 估 的第三 准： 计 样 关 们当 当 时对 计 进点 计 个标