延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第三章 随机变量的数字特征 3.2 随机变量函数的数学期望

第二节随机变量函数的数学期望 维离散随机变量函数的数学期望 维连续随机变量函数的数学期望 ●二维离散随机变量函数的数学期望 ●二维连续随机变量函数的数学期望

第二节 随机变量函数的数学期望 一维离散随机变量函数的数学期望 一维连续随机变量函数的数学期望 二维离散随机变量函数的数学期望 二维连续随机变量函数的数学期望

1.问题的提出: 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X 的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望 那么应该如何计算呢? 一种方法是,因为g(X也是随机变量,故应有概 率分布,它的分布可以由已知的X的分布求出来.一旦 我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把 E|g(X)计算出来

1. 问题的提出： 设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X 的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？ 一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概 率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来

使用这种方法必须先求出随机变量函数g(Ⅺ的 分布,一般是比较复杂的 那么是否可以不先求g(X的分布而只根据X的 分布求得E(X呢? 下面的定理指出,答案是肯定的

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的 分布求得E[g(X)]呢？ 下面的定理指出，答案是肯定的. 使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布，一般是比较复杂的

定理设Y是随机变量X的函数Fg(X(g是连续函数) (1)当X为离散型时,它的概率函数为p(xk)=P{X=xk}; (k=1,2…若∑g(x)(x)绝对收敛,则有 k=1 E(Y)=(X=∑g(x)P(x)

(1) 当X为离散型时,它的概率函数为p(xk )=P{X= xk }; 若 绝对收敛，则有  = = 1 ( 1,2, ), ( ) ( ) k k k k  g x p x 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)

例1设随机变量X的概率函数为 2 0 2 p(x)0.0.20.250.20.250.1 求随机变量￥X3的数学期望 解:E(Y)=E(X3) =(-2)301+(-1)3.0.2+03.0.25+13.0.2+23:0,25+30.1=39

设随机变量X的概率函数为 求随机变量Y= X 3的数学期望 例1 3 E Y E X ( ) ( ) = 3 3 3 3 3 3 = −  + −  +  +  +  +  = ( 2) 0.1 ( 1) 0.2 0 0.25 1 0.2 2 0.25 3 0.1 3.9 解： X -2 -1 0 1 2 3 p(xi ) 0.1 0.2 0.25 0.2 0.25 0.1

定理设Y是随机变量X的函数Fg(X(g是连续函数) (1)当X为离散型时,它的概率函数为px=P{X=xk}; (k=1,2…若∑g(x)(x)绝对收敛,则有 k=1 E(Y)=(X=∑g(x)P(x) (2)当X为连续型时,它的密度函数为八x).若 +0 ∫g(x)∫(x)绝对收敛,则有 E()=EIg(X)]=g(x)f(x)ds

(1) 当X为离散型时,它的概率函数为p(xk )=P{X= xk }; 若 绝对收敛，则有  = = 1 ( 1,2, ), ( ) ( ) k k k k  g x p x (2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若  绝对收敛，则有 + − g(x) f (x)dx 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数)

∑g(x)p(x),X离散型 E(Y)=E[8(X)={k 8(x)(x)x,X连续型 该公式的重要性在于:当我们求Eg(X时,不必 知道g(X的分布,而只需知道X的分布就可以了 这给求随机变量函数的期望带来很大方便

     = =    −  = 连续型 离散型 g x f x dx X g x p x X E Y E g X k k k ( ) ( ) , ( ) ( ), ( ) [ ( )] 1 该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便

例2设随机变量X在区间0,上服从均匀分布,求随机变 量 Y=sinX的数学期望 解X的概率密度为 0≤x≤丌 f(x)=T 0其它 E(Y)=E(Sin X)=sin xf(x)de sin x dx COS X

例2 设随机变量X在区间[0,p]上服从均匀分布，求随机变 量Y=sinX的数学期望        = 0 其它 0 1 ( ) p p x f x 解 E(Y ) =  + − sin xf (x)dx= =  p 0 p d 1 E(sin X ) = sin x x X的概率密度为 p p p 2 cos 1 0 − x =

上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变 量的函数的情况。 设Z是随机变量Y,Y的函数Z=8(X,)(g是连续函数 z是一维随机变量,则 (1)若(X,Y)是二维连续型概率密度为f(x,y,则有 ∞+ E(∠)=Elg(X,=∫』8(x,y)f(x,)h

上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变 量的函数的情况。 设Z是随机变量X,Y的函数Z = g(X,Y)(g是连续函数) Z是一维随机变量,则 (1)若(X,Y )是二维连续型,概率密度为f (x, y),则有

(2)若(X,y)是二维离散型,概率分布为 P{X=x1,y=y1}=p(x,y,)(,j=1,2…,则有 E(Z)=E(X,Y)=∑∑g(x,y)p(x,y) 1i=1 这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛

这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛. (2) ( , ) , { , } ( , )( , 1,2 ) i j i j X Y P X x Y y p x y i j = = = = 若 是二维离散型 概率分布为 则有