延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第四章 正态分布 4.4 正态随机变量的线性函数的分布

第四节 正态随机变量的线性 函数的分布

第四节 正态随机变量的线性 函数的分布

我们把服从正态分布的随机变量简称为正态随机变量 定理1正态随机变量的线性函数仍服从正态分布 即若X~N(a2),则X的线性函数Y=a+bX (b≠0)也服从正态分布:Y~N(a+bu,b2a2)

定理1 也服从正态分布： 即 若 则 的线性函数 ( 0) ~ ( , ), 2  = + b X N   X Y a bX 我们把服从正态分布的随机变量简称为正态随机变量 正态随机变量的线性函数仍服从正态分布 ~ ( , ) 2 2 Y N a + b b 

定理2独立正态随机变量的和仍服从正态分布 即巧与Y独立,且X~N(2,a2)Y~N(1,a2 WZ=X+Y-N(u +u,, 0 +o 推广:设X1,X2…X相互独立,且X1~N(,a2 则它们的线性组令cX也服从正态分布 i=1 且有∑cxNC∑cA,∑c7a2

定理2 ~ ~ ( , ) ~ ( , ) 2 2 Z X Y X Y X N x x Y N y y 则 = + 即 与 独立，且   ，   独立正态随机变量的和仍服从正态分布 推广：设 , , 相互独立，且 ~ ( , )， 2 X1 X2 Xn Xi N i  i 且 有 ~ ( , )， 2 1 2 1 1 i n i i n i i i n i i i c X N c  c  = = = 则它们的线性组合 也服从正态分布， = n i i Xi c 1 ( , ) 2 2 N  x +  y  x + y

例1设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), y~N(3,4).试求Z=X-2H什+1的概率密度 解:XN1,2),YN(3,4),且X与Y独立, 故N(E(Z,D(Z) E(∠Z)=E(X-2E(Y+1=1-2×3+1=4 D(Z)=D(X)+4D()=2+4×4-182N-4,18) (二+4)2 故Z的概率密度是2(z) 36 9O<z<∞ 6√兀

例1 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(3,4). 试求Z=X-2Y+1的概率密度. 解: X~N(1,2),Y~N(3,4)，且X 与Y 独立, D(Z)=D(X)+4D(Y)=2+4×4=18 E(Z)=E(X)-2E(Y)+1=1-2×3+1=-4 故 Z~N(E(Z), D(Z)) Z~N(-4, 18) 故 Z 的概率密度是 2 ( 4) 36 1 ( ) , 6 z Z f z e  + − = −  z  