延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第六章 参数估计 6.3 正态总体参数的区间估计

第三节正态总体参数的区间估计 ◇置信区间定义 ◇置信区间的求法 ◇单正态总体参数的区间估计

第三节 正态总体参数的区间估计 置信区间定义 置信区间的求法 单正态总体参数的区间估计

引言 前面,我们讨论了参数点估计.它是用样本算 得的一个值去估计未知参数.但是,点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似 值的误差范围,在实际问题中,我们不仅需要求出 参数的近似值,还需要大致估计这个近似值的精确 度与可靠性,区间估计正好能够解决点估计不能解 决的这个问题

引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，在实际问题中，我们不仅需要求出 参数的近似值，还需要大致估计这个近似值的精确 度与可靠性，区间估计正好能够解决点估计不能解 决的这个问题

譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们 根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估 计为1000条 实际上,N的真值可能大于1000条,也可 能小于1000条 若我们能给出一个区间,在此区间内我们 合理地相信N的真值位于其中.这样对鱼数的 估计就有把握多了

譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估 计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们 合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的 估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可 能小于1000条

也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 湖中鱼数的真值 《 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信水平 习惯上把置信水平记作1-c,这里a是一个 很小的正数

也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ，这里  是一个 很小的正数

置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如,通常可取置信水平1-G0.95或09等 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间(O,O2),使 P{61<6<62}=1-a 称区间(,02)为6的置信水平为1-a的 置信区间

置信水平的大小是根据实际需要选定的. 例如，通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 们求出一个尽可能 小的区间 ( ˆ 1 , ˆ 2 ) ，使 P{ ˆ 1     ˆ 2 } = 1− 置信区间. 称区间 ( ˆ 1 , ˆ 2 ) 为  的置信水平为 1− 的

置信区问定义 设b是一个待估参数,给定c>0.若由样本 X1,X2Yn确定的两个统计量 61=B1(X1,X2,…,Xnb 62=2(X1,X2,…,Xn (61<62) 满足 P6 61<6<23=1-a 则称区间(61,62是的置信水平为1-a的置信区间 6和6分别称为置信下限和置信上限

一、 置信区间定义 满足 X1 ,X2 ,…Xn确定的两个统计量 设  是 一个待估参数，给定   0, 若由样本  ˆ 1 =  ˆ 1 (X1 , X2 ,  , Xn )，  ˆ 2 =  ˆ 2 (X1 , X2 ,  , Xn )， P{ ˆ 1     ˆ 2 } = 1− 则称区间 ) 是  的置信水平为 1− 的置信区间. ˆ , ˆ (1  2 1 和 分别称为置信下限和置信上限. ˆ  2 ˆ  ) ˆ ˆ (1   2

置信区间的意义可以解释如下: 如果进行N次抽样,第k次得到的样本观测值记为 (xk,x,…,xm,k=1,2,…,N则我们随机地得到N个区间 (64<a3),k=12…,N这N个区间中,有的包含教O 有的不包含,则当P{1<0<2}=1-a时,这些区间中, 包含参数真值的区间大约占001-a)%

置信区间的意义可以解释如下： (x1k , x2k ,  , xnk ), k = 1,2,  , N 有的不包含，则当 时，这些区间中， 则我们随机地得到N个区间 k , N 这N个区间中，有的包含参数 k k ), 1 2, , ˆ ˆ (1   2 =  如果进行N次抽样，第k次得到的样本观测值记为 P{ ˆ 1     ˆ 2 } = 1− 包含参数的真值的区间大约占100(1−)%

二、单个正态总体均值p的区间估计 02为已知 X~N(A,a2)并设X,…,Xn为来自总体的 样本,X,S2分别为样本均值和样本方差.σ=o已知 求参数的置信水平为-c的置信区间 (1)选μ的统计量 X-N(0,1) 对于给定的置信水平,根据u的分布,确定一 个区间,使得u取值于该区间的概率为置信水平

二、单个正态总体均值m的区间估计 1. 2 σ 为已知 并设 X X 1 , , n 为来自总体的 样本 , 2 X S, 分别为样本均值和样本方差 . ~ ( , ) 2 X N m  ,  =  0 已知 求参数 m 的置信水平为 1− 的置信区间. 0 - ~ (0,1) X u N n m  (1) 选 m 的统计量 = 对于给定的置信水平, 根据u的分布，确定一 个区间, 使得u取值于该区间的概率为置信水平. (2)

标准正态分布的上侧a分位数 设U~N(0,1),若数2满条件 P(x) P{>la}=a,0<a<1 则称点l为标准正态分布的上侧Q分位数

标准正态分布的上侧分位数 设 U N~ 0,1 , ( ) 若数 u 满足条件 则称点 u 为标准正态分布的上侧 α 分位数. (x)  u P{U  uα } =,0  1

(2)对于给定的置信水平,根据的分布,确定 个区间,使得取值于该区间的概率为置信水平 对给定的置信水平1-c,查正态分布表得la2, 使P{-2< < (3)P{X u<u<x+ 可得到u的置信水平为1-a的置信区间为 2,xX+=la2) 12

对给定的置信水平 1−, 查正态分布表得 , u 2 2 2 0 { } 1 X P u u n   m   − 使 −   = − 对于给定的置信水平, 根据u的分布，确定一 个区间, 使得u取值于该区间的概率为置信水平. (2) 0 0 2 2 P X u X u { } 1 n n     −   + = − m  0 0 2 2 ( , ) X u X u n n     − + (3) 可得到 m 的置信水平为 1− α 的置信区间为