延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第二章 随机变量及其分布 2.9 二维随机变量的联合分布 2.10 二维随机变量的边缘分布

第九节二维随机变量的联合分布 第十节二维随机变量的边缘分布 二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 联合分布函数与边缘分布函数 二维连续随机变量的联合分布与边缘分布

1 第九节 二维随机变量的联合分布 二维离散随机变量的联合分布与边缘分布 联合分布函数与边缘分布函数 二维连续随机变量的联合分布与边缘分布 第十节 二维随机变量的边缘分布

到现在为止,我们只讨论了一维随机变量及其 分布.但有些随机现象用一个随机变量来描述还不 够,而需要用几个随机变量来描述 在打靶时,命中点的位置是 由一对随机变量(两个坐标来 确定的 飞机的重心在空中的位置是 由三个随机变量(三个坐标来确 定的等等

2 到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其 分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不 够，而需要用几个随机变量来描述. 在打靶时,命中点的位置是 由一对随机变量 (两个坐标)来 确定的. 飞机的重心在空中的位置是 由三个随机变量 (三个坐标)来确 定的等等

从本讲起,我们开始第九节的学习 它是前几节内容的推广 维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难,我们重点讨论二维随机变量

3 一维随机变量及其分布 多维随机变量及其分布 由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 . 从本讲起，我们开始第九节的学习. 它是前几节内容的推广

、n维随机变量 般地,设E是一个随机试验它的样本空间是 2={o},设X1=X1(O),X2=X2(aD,…,Xn=Xn(o) 是定义在Ω上的随机变量,由它们构成的一个n维向 量(X,X2,…,X")叫做n维随机向量或维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量 请注意与一维情形的对照

4 一般地, 设 E 是一个随机试验,它的样本空间是 设 由它们构成的一个 n 维向 量 ( X X X 1 2 , , , n ) 叫做 维随机向量或 维随机变 量. 以下重点讨论二维随机变量. 请注意与一维情形的对照 . 一、n维随机变量  = {}, 是定义在  上的随机变量, ( ), X1 = X1  () Xn Xn X2 = X2 (), , =

二、二维离散随机变量及其联合分布 定义2 如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同 的值是有限对或可列无限多对 则称(X)是二维离散随机变量

5 定义2 的值是有限对或可列无限多对, 则称 ( X Y, ) 是二维离散随机变量. 如果二维随机变量 ( X Y, ) 全部可能取到的不相同 二、二维离散随机变量及其联合分布

二、二维离散随机变量及其联合分布 设二维离散随机变量 维离散随机变 (Xr)可能取的值是(x,),量X的概率函数 i,=1,2,,记 p(x)=PiX=xi P(xi, yi)=PX=xir=y3 称之为二维离散随机变量(X,)以(x)20=12 的联合概率函数 ∑p(x)1 6

6 一维离散随机变 量X的概率函数 ( )  0, p xi  = i i p(x ) 1 i=1,2, …    设二维离散随机变量 ( X Y, ) 可能取的值是 ( x y i j , ,) i j , 1,2, , = 记 称之为二维离散随机变量 的联合概率函数 ( X Y, ) ( ) { } 1,2, i i p x P X x i = = = 二、二维离散随机变量及其联合分布

二维离散随机变量(X,y)的联合概率函数具 有性质 P(x,y1)≥0,i,=1,2, ∑∑p(x,y)=1

7 ( , ) 0, , 1,2, ( , ) 1 i j i j i j p x y i j p x y   =   =    二维离散随机变量 的联合概率函数具 有性质 ( X Y, )

也可用联合概率分布表来表示随机变量(X, 的联合概率函数 y p(xyu p(xl,n2).. p(xl.yi) p(x2, y1 p(x2,y2)..P(x2,yi) p(r,y1 p(;,y2..p(x, yi)

8 p(x1 ,y1 ) p(x1 ,y2 ) … p(x1 ,yj ) … p(x2 ,y1 ) p(x2 ,y2 ) … p(x2 ,yj ) … p(xi ,y1 ) p(xi ,y2 ) … p(xi ,yj )… … … x1 x2 xi y1 y2 … yj … X Y 也可用联合概率分布表来表示随机变量(X,Y) 的联合概率函数

例1 10件产品中有3个二等品、5个二等品、2个三等品,从 其中任取4个产品,求其中一、二等品件数的联合概率 分布。 解:设XY分别表示取得一、二等品的个数, (X,Y)的所有可能取值为(i),=0,1,2,3:=0,1,2,3,4 PiX=LY-a ciCSc2ty 2≤i+j≤4 10 其中=0,2,3;广=01,2,3,4;2≤i+j≤4 (X,Y)的联合概率分布如下:

9 10件产品中有3个一等品、5个二等品、2个三等品，从 其中任取4个产品，求其中一、二等品件数的联合概率 分布。 解： (X,Y)的联合概率分布如下： 例1 (X,Y)的所有可能取值为(i,j),i=0,1,2,3;j=0,1,2,3,4 设X,Y分别表示取得一、二等品的个数

Y 2 3 000 0 10/21020/2105/210 15/21060/21030/2100 2 3/21030/21030/2100 2/2105/2100 10

10 Y X 0 1 2 3 4 0 0 0 10/210 20/210 5/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 2 3/210 30/210 30/210 0 0 3 2/210 5/210 0 0 0