延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第二章 随机变量及其分布 2.12 随机变量的独立性

第十二节随机变量的独立性 √离散随机变量的相互独立 √连续随机变量的相互独立

1 ✓离散随机变量的相互独立 ✓连续随机变量的相互独立 第十二节 随机变量的独立性

离散随机变量的相互独立 若(X,Y是离散随机变量,如果对(XY的所有可能 取值(xpy),有 PX=X,r=y=PX=x, par=y 则称X和Y相互独立

2 若 (X,Y)是离散随机变量 ， 则称 X 和Y 相互独立. 如果对(X,Y)的所有可能 一、离散随机变量的相互独立 取值(xi , yj ),有

二、连续随机变量的相互独立 设(X,是连续随机变量,若对任意的xy,有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y 则称X和Y相互独立 用分布函数表示,即 设X,Y是两个随机变量,若对任意的x,有 F(x,y)=Fx(x)Fr(y) 则称X和Y相互独立

3 设 (X,Y)是连续随机变量，若对任意的x,y,有 则称 X 和 Y 相互独立 . 二、连续随机变量的相互独立 用分布函数表示,即 设 X,Y是两个随机变量，若对任意的x,y,有 则称 X 和 Y 相互独立

F(x,y)=Fx(x)Fr(y) 上述独立性的定义等价于: 对任意的x,y,有 f(x,y)=x(f(y 则称X和Y相互独立 其中f(x,y)是X和Y的联合密度Jx(x),f(y) 分别是X的边缘密度和Y的边缘密度

4 其中 f (x, y) 是X和Y的联合密度， 则称 X 和 Y 相互独立 . 对任意的 x, y, 有 上述独立性的定义等价于： 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 . f (x), f ( y) X Y

例1P118:36 批产品中有a件合格品和b件次品,每次从这批产品中任 取一件产品,共取两次,抽样方式是:(1)放回抽样;(2) 不放回抽样设随机变量X及Y分别表示第一次及第二次取 出的次品数,写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的 联合概率分布及边缘概率分布,并说明X与Y是否独立

5 例1 P118：36 一批产品中有a件合格品和b件次品，每次从这批产品中任 取一件产品，共取两次，抽样方式是：(1)放回抽样；(2) 不放回抽样.设随机变量X及Y分别表示第一次及第二次取 出的次品数，写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的 联合概率分布及边缘概率分布，并说明X与Y是否独立

XY)的联合概率分布如下表为: Y 0 0 tb a+b (a+b2(a+b)2 0 tb b b (a+b)(a+b)2 th a+ 因为 P{X=i,y=}=P{X=1}P{Y=},其中i=0,;j=0,1 因此X与Y相互独立

6 (X,Y) 2 2 (a b) a + 2 (a b) ab + 2 2 (a b) b + 的联合概率分布如下表为： 0 1 0 1 X Y 2 (a b) ab + a b a + a b b + 0 1 pX (xi ) X 0 1 pY (yj ) Y a b a + a b b + 因为 P X i Y j P X i P Y j i j { , } { } { }, 0 1 0,1 = = = =  = = = 其中 ，； 因此X与Y相互独立

P18:36(2)(X)Y)的联合概率分布如下表为 Y 0 0 b +b)a+b-1)a+b+b-1 b b(b-1) 1+b+b-D)+b+b- 01 Y 01 Puxi) b pry) a+b tb 因为P{X=0,y=0}≠P{X=0}·P{Y=0} 因此X与Y不相互独立

7 (a b)(a b - 1) a(a - 1) + + 0 1 0 1 X Y (a b)(a b - 1) b(b - 1) + + (a b)(a b - 1) ab + + (a b)(a b - 1) ab + + P118：36(2) (X,Y)的联合概率分布如下表为： a b a + a b b + 0 1 pX (xi ) X 0 1 pY (yj ) Y a b a + a b b + 因为 P X Y P X P Y { 0, 0} { 0} { 0} = =  =  = 因此X与Y不相互独立

例2设(X,Y)的概率密度为 -(x+2y) ∫(x,y)= X,Y是否独立? 其它 解边缘密度为fx(x)=f(x,y) 当x≤0时,f6x)=0 当x>0时,()=”23)=2ce2dy -e"·e e f∫x(x)= 0其它同理,=e3 x>0 J少>0 其它 因为f(x,y)=f1(x)f(y),所以X,Y独立

8 例2 ( , ) X Y X Y, ( , ) ( ) ( ) X Y f x y f x f y =  X Y, 设 的概率密度为 是否独立？ 因为 ，所以 独立.      = − + 0 其 它 2e x 0 y 0 f x y x 2 y , ( , ) ( ) 解 边缘密度为  + − f x = f x y dy X ( ) ( , ) 当x  0时，f X (x) = 0 当x  0时，   + − + + = = 0 2 0 ( 2 ) f (x) 2e dy 2e e dy - x y x - y X     = − 0 其 它 e x 0 f x x X ( )     = − 其 它 同 理 0 2e y 0 f y 2y Y ( ) + − =  0 x -2 y -e e x e − =

小结 离散随机变量的独立性 ●连续随机变量的独立性

9 小结 • 离散随机变量的独立性 • 连续随机变量的独立性