延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第二章 随机变量及其分布 2.11 二维随机变量的条件分布

第十一节二维随机变量的条件分布 √二维离散随机变量的条件分布 √二维连续随机变量的条件分布

第十一节 二维随机变量的条件分布 ✓二维离散随机变量的条件分布 ✓二维连续随机变量的条件分布

在第一章中,我们介绍了条件概率的概念 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 P(A B) P(AB P(B) 推广到随机变量 对于二维随机变量(X,Y,求其中任一随机变量 (设为X在另一随机变量即为取某个值(如y)的条 件下的概率分布,称为该随机变量(即X的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种 形式下的重复

在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 . ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率 推广到随机变量 对于二维随机变量 (X,Y),求其中任一随机变量 (设为X)在另一随机变量(即为Y) 取某个值(如yj )的条 件下的概率分布，称为该随机变量(即X)的条件分布 实际上是第一章讲过的条件概率概念在另一种 形式下的重复

、二维离散随类似定义在X=x1条件下 随机变量Y的条件分布 定义2设二维商散阳变里(x,联合祝率函数 为p(xnv),随机变量y的边缘概率函数 Py(y)>0(=1,2,,则称 PIX=xi lk=y=PIX=X, Y yi) p(xi,yi) P=y pr(yi) ·· 为在Y条件下随机变量X的条件概率函数记作px(x1 即px(x|y)= p(x,yi)

设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数 为 p(xi ,yj ) ， 随机变量 Y 的边缘概率函数 pY (yj )>0(j=1,2, …), 则称 为在 Y =yj条件下随机变量X的条件概率函数, i=1,2, … { , } { } i j j P X x Y y P Y y = = = ( , ) ( ) i j Y j p x y p y = 一、二维离散随机变量的条件分布 P{X= xi |Y= yj }= 记作pX|Y( xi | yj )， 即pX|Y( xi | yj ) ( , ) ( ) i j Y j p x y p y = 定义2 类似定义在 X= xi 条件下 随机变量Y 的条件分布

例1 10件产品中有3个二等品、5个二等品、2个三等品,从 其中任取4个产品,求其中一、二等品件数的联合概率 分布。 解:设XY分别表示取得一、二等品的个数, (X,Y)的所有可能取值为(i),=0,1,2,3:=0,1,2,3,4 PiX=LY-a ciCSc2ty 2≤i+j≤4 10 其中=0,2,3;广=01,2,3,4;2≤i+j≤4 (X,Y的联合概率分布如下

10件产品中有3个一等品、5个二等品、2个三等品，从 其中任取4个产品，求其中一、二等品件数的联合概率 分布。 解： (X,Y)的联合概率分布如下： 例1 (X,Y)的所有可能取值为(i,j),i=0,1,2,3;j=0,1,2,3,4 设X,Y分别表示取得一、二等品的个数

Y0 3 Pxxi X0123 0 10/21020/2105/21035/210 0 15/21060/21030/2100 105/210 3/21030/21030/2100 0 63/210 2/2105/2100 0 7/210 D(v)5/21050/21010021050/2105/210 Y的边缘分布为 0 2 3 py)5/21050/21010021050/2105/210

Y X 0 1 2 3 4 0 0 0 10/210 20/210 5/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 2 3/210 30/210 30/210 0 0 3 2/210 5/210 0 0 0 pY (yj ) 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210 pX(xi ) 35/210 105/210 63/210 7/210 Y的边缘分布为 Y 0 1 2 3 4 pY (yj ) 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210

Y0 3 Pxxi X0123 0 10/21020/2105/21035/210 0 15/21060/21030/2100 105/210 3/21030/21030/2100 0 63/210 2/2105/2100 0 7/210 D(v)5/21050/21010021050/2105/210 X的边缘分布为 0 2 3 px(x)35/21010521063/2107210

Y X 0 1 2 3 4 0 0 0 10/210 20/210 5/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 2 3/210 30/210 30/210 0 0 3 2/210 5/210 0 0 0 pY (yj ) 5/210 50/210 100/210 50/210 5/210 pX(xi ) 35/210 105/210 63/210 7/210 X的边缘分布为 X 0 1 2 3 pX(xi ) 35/210 105/210 63/210 7/210

例10件产品中有3个一等品、5个三等品、2个三等品, 从其中任取4个产品, (1)已知抽取的4件产品中有2件二等品,求一等品件数 的条件概率分布; 解:设X,Y分别表示取得一、二等品的个数, 则在Y=2条件下X的所有可能取值为0,1,2 则X在Y=2条件下的条件概率函数为

例1 10件产品中有3个一等品、5个二等品、2个三等品， 从其中任取4个产品， (1)已知抽取的4件产品中有2件二等品，求一等品件数 的条件概率分布； 解： 则在Y X = 2条件下 的所有可能取值为 设X,Y分别表示取得一、二等品的个数， 0,1, 2 则X Y 在 = 2条件下的条件概率函数为

Y|0 2 0 00 0 10/21020/2105/210 15/21060/21030/2100 3/21030/21030/2100 2/2105/2100 0 00 pm(012s(0,2)10/2101 p(2)10/2110

| (0 | 2) X Y p (0, 2) (2) Y p p = 10 / 210 1 10 / 21 10 = = Y X 0 1 2 3 4 0 0 0 10/210 20/210 5/210 1 0 15/210 60/210 30/210 0 2 3/210 30/210 30/210 0 0 3 2/210 5/210 0 0 0

解:设X,Y分别表示取得一、二等品的个数, 10 py(2) !X在Y=2条件下的条件概率函数为 Pxp(0|2)D(0,2)10/2101 p,(2)10/2110 Pn(1|2)=p(.2)60/2106 p(2)10/2110 Px(212)p(2,2)30/2103 p,(2)10/2110

| (2 | 2) X Y p (2, 2) (2) Y p p = 30 / 210 3 10 / 21 10 = = | (1 | 2) X Y p (1, 2) (2) Y p p = 60 / 210 6 10 / 21 10 = = 解： 10 (2) , 2 21 Y p X Y = = 则 在 条件下的条件概率函数为 | (0 | 2) X Y p (0, 2) (2) Y p p = 10 / 210 1 10 / 21 10 = = 设X,Y分别表示取得一、二等品的个数

因此一等品件数X在Y=2条件下的条件概率分布为 pxnx|2)1/106103/10

因此一等品件数X在Y=2条件下的条件概率分布为 X 0 1 2 pX|Y(xi |2) 1/10 6/10 3/10