延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第一章 随机事件及其概率 1.8 随机事件的独立性

第八节 随机事件的独立 性 两个事件的独立性 喝多个事件的独立性 独立性的性质及应用

第八节 随机事件的独立 性 两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的性质及应用

两事件的独立性 先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, 设事件A表示“第二次掷出6点” 事件B表示“第一次掷出6点” 显然已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率, P(4|B)=P(),这时称事件A对事件B是独立的

显然 已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率, 一、两事件的独立性 事件A表示“第二次掷出6点” 事件B表示“第一次掷出6点” 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设 P(A|B)= P(A)，这时称事件A对事件B是独立的

两事件的独立性 注意:如果事件A对事件B是独立的, 则事件B对事件A也是独立的 因为如果事件对事件B是独立的,即P(4B)=P(4) 则有P(AB)=P(4P(BA)=P(BP(4|B)可得P(BA=P(B) 因此随机事件的独立性是相互对称的性质,由此 定义如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的 概率,则称这两个事件是相互独立的,简称独立

一、两事件的独立性 注意：如果事件A对事件B是独立的， 则事件B对事件A也是独立的 因为 如果事件A对事件B是独立的， 即P(A|B)=P(A) 则有P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) 可得P(B|A)=P(B) 因此随机事件的独立性是相互对称的性质，由此 定义 如果两事件中任一事件的发生不影响另一事件的 概率，则称这两个事件是相互独立的，简称独立

P(AB)=P(ABP(B) 由乘法定理知,当事件A、B独立时,有 P(AB=P(A P(B) 定理1若两事件A、B独立,则有P(AB)=P(4)P(B)

由乘法定理知， P AB P A B P B ( ) = ( ) ( ) 当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 定理1 若两事件A、B独立，则有P(AB)= P(A) P(B)

性质2若两事件A、B独立,则A与B,A与B,A与B 也相互独立 证明仅证A与B独立 由全概率公式P(4)=P(4|B)P(B)+P(4|B)P(B) 若A,B相互独立则P(A|B)=P(4) P(4)=P(A4)P(B)+P(4B)P(B) 即P(4)1-P(B=P(4|B)P(B) 得P(4)=P(A|B)因此A与B独立

仅证A与 B 独立 性质2 若两事件A、B独立, 则 A与B, A与B, A与B 也相互独立. 证明 由全概率公式 P(A) = P(A| B)P(B)+ P(A| B)P(B) 若A,B相互独立,则P(A| B) = P(A) P(A) = P(A)P(B)+ P(A| B)P(B) 即P(A)[1− P(B)] = P(A| B)P(B) 得P(A) = P(A| B)， 因此A与 B 独立

注:在实际应用中,往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立 例如甲、乙两人向同一目标射击记A=“甲命中”, B=“乙命中”,A与B是否独立? 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率 故认为A、B独立

注：在实际应用中, 往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立. 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . 甲、乙两人向同一目标射击,记 A=“甲命中”, B=“乙命中”，A与B是否独立？ 例如

又如:一批产品共n件,从中抽取2件,设 A=“第i是合格品”i1,2 若抽取是有放回的,则A1与A2独立 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响 若抽取是无放回的,则41与42不独立 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响

一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai=“第i件是合格品” i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响. 又如： 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立

二、多个事件的独立性 两两独立:设A1,A4,…,A为n个事件如果其中任意 两个事件4,A都相互独立,则称A,A4,…,4两两独立 请注意对n(m>2)个事件 相互独立 两两独立

两两独立： 二、多个事件的独立性 A ,A , A n , 设 1 2 , n 为 个事件 如果其中任意 两个事件Ai ,Aj 都相互独立，则称 A1 ,A2 , , An 两两独立 请注意 相互独立 两两独立 对 n (n > 2)个事件 ?

例如,袋中有四个球,其中一个红球、一个白球、一个 黑球,还有一个是画着红、白、黑三种颜色的球,从袋 中任取一个球,设事件A、B、C分别表示取出的球上画 有红、白、黑色,则 P(4)=2P(4|6)=2P(4C2 P(6 P(BCksI 2 所以事件A、B、C是两两独立的,而

例如，袋中有四个球，其中一个红球、一个白球、一个 黑球，还有一个是画着红、白、黑三种颜色的球，从袋 中任取一个球，设事件A、B、C分别表示取出的球上画 有红、白、黑色，则 P(A) = 2 1 P(A| B) 2 1 = P(A|C) 2 1 = P(B) = 2 1 P(B |C) 2 1 = 所以事件A、B、C是两两独立的，而

例如,袋中有四个球,其中一个红球、一个白球、一个 黑球,还有一个是画着红、白、黑三种颜色的球,从袋 中任取一个球,设事件A、B、C分别表示取出的球上画 有红、白、黑色,则 所以事件A、B、C是两两独立的,而 P(AlBC)=1=P(BJAC)=P(CLAB) P(A)=P(B)=P(C)=2 所以事件A、B、C不是相互独立的

例如，袋中有四个球，其中一个红球、一个白球、一个 黑球，还有一个是画着红、白、黑三种颜色的球，从袋 中任取一个球，设事件A、B、C分别表示取出的球上画 有红、白、黑色，则 所以事件A、B、C是两两独立的，而 P(A| BC) = 1 = P(B | AC) = P(C | AB) 2 1 P(A) = P(B) = P(C) = 所以事件A、B、C不是相互独立的