延安大学：《概率论与数理统计》课程PPT教学课件（理工类）第四章 正态分布 4.1 正态分布的概率密度与分布函数

第一节 正态分布的概率密度与分布函数

第一节 正态分布的概率密度与分布函数

正态分布( Normal distribution的概率密度与分布函数 若连续随机变量X的概率密度为 (x-p) f(x)=—e20,-00)都是常数,则称X服从参数为和σ 的正态分布或高斯分布.记作X~N(,2)

一、正态分布(Normal distribution)的概率密度与分布函数 若连续随机变量X 的概率密度为 = −     − − f x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )    记作 其中 和 ( >0 )都是常数, 则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布

f(x)具有下述性质: f(x 正态分布的概率密度曲线图: (1)曲线f(x)关于轴对称; 0 如果d定,改变的值,概率密度曲线的形状不变, 但能使曲线产生平移,即变化只改变随机变量的 集中位置,因此称为X的位置参数

正态分布的概率密度曲线图： (1) 曲线 f x( ) 关于  轴对称； 如果固定，改变的值，概率密度曲线的形状不变， 集中位置，因此 称 为 的位置参数 但能使曲线产生平移，即 的变化只改变随机变量的  X  1

正态分布的概率密度曲线图: f(x (x-p) f∫( y)= e 20 -0<x<0 2丌o (2)函数∫(x)在(∞川上单调增加,在|+∞)上 单调减少,在x=p取得最大值 这个值称为曲 √2丌σ线的峰值 如果固定改变σ,峰值 随o的增大而减 2丌6 o越大图形变得越平坦,o越小图形变得越尖 因此也称o为形状参数

正态分布的概率密度曲线图： (2) 函数 在 上单调增加,在 上 单调减少,在 取得最大值 这个值称为曲 线的峰值 = −     − − f x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )   

正态分布的概率密度曲线图: (x-p) f(r) e 20 -0<x<0 2丌o 0 (3)∫()以x轴为渐近线当x→∞时,/)→0

正态分布的概率密度曲线图： = −     − − f x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )    (3) f (x) 以 x 轴为渐近线 当x→ ∞时，f(x) → 0

正态分布由它的两个参数和σ唯一确定,当和 不同时,是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和 σ不同时，是不同的正态分布。 标准正态分布 下面我们介绍一种最重要的正态分布

2标准正态分布 =0,=1的正态分布称为标准正态分布 其密度函数和分布函数常用q(x)和Φ(x)表示 e ,-0<C<∞ 1 2丌 ①(x 2 dt

的正态分布称为标准正态分布. 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 2 标准正态分布

(x) 01x)∞(x)的图形关于轴对称 x①(x)=g()dr ()=1Jc2(a0时,x05x0:0)<05 (2)x∈R,(x)=1-(x)

 ( x ) 的性质 : -x Φ( -x) x1 -Φ(x)

般正态分布与标准正态分布的关系(P184) 标准正态分布的重要性在于,任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布 定理若X~N(a2,则z X-Pp~N(0,1)

定理 ~ ( , ), ~ (0,1) . 2 N X X N Z     − 若 则 = 一般正态分布与标准正态分布的关系(P184) 标准正态分布的重要性在于，任何一个一 般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准 正态分布

若x~N(,a2),则z=x-∠~N(0,) 证Z的分布函数为 z(x)=P{z≤x}=P =P{X≤+σx}=F(A+ax) 对上式两边求导:fz(x)=fx(1+ax) (+Ox- e 2 2丌0 2丌 =0(x) 故z X-N(0,1

证 Z的分布函数为 P Z x   = 对上式两边求导： 2 2 2 ( ) 2       + − − = x e X P x     −      =  + P X x     F ( x) = X  + FZ (x) = f Z (x) = f ( x)  X  + 2 2 2 1 x e − =  =(x) ~ N (0,1) . X Z  −  故 =