重庆大学数学与统计学院：《数值分析 Numerical Analysis》课程教学讲义_05_ch01 数值计算中的误差

会A误差 第1章数值计算 中的误差 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 第1章 数值计算 中的误差 11 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

会(误差) 运用数值计算方法解决科学研究或工程技术问 题,一般的途径为: 实际问题 模型设计 算法设计 问题的解 上机计算 程序设计 数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解 法.主要包含了线性方程组的解法,非线性方程的解法 等,数值逼近,数值微分与数值积分,常微分方程数值 解法等.它的基本理论和研究方法是建立在数学理论 基础之上,研究对象是数学问题,是数学的分支之一 2 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 运用数值计算方法解决科学研究或工程技术问 题, 一般的途径为: 实际问题 模型设计 算法设计 问题的解 上机计算 程序设计 数值分析课程研究常见的基本数学问题的数值解 法. 主要包含了线性方程组的解法, 非线性方程的解法 等, 数值逼近, 数值微分与数值积分, 常微分方程数值 解法等. 它的基本理论和研究方法是建立在数学理论 基础之上, 研究对象是数学问题, 是数学的分支之一. 22 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

(误差 §1算法 解决某类数学问题的数值方法称为算法.为使算法能 在计算机上实现,它必须将一个数学问题分解为有限次 的+,-,×,÷运算和一些简单的基本函数运算 算法的表述形式 算法的表述形式是多种多样的 1.用数学公式和文字说明描述,这种方式符合人们的理 解习惯,与算法的推证相衔接,易于学习接受,但离计算 机应用的距离还远 2.用框图描述,这种方式描述计算过程流向较清楚,特 别易于编制程序,但对初学者来说有一个习惯过程.此 外框图描述格式不统一,难以掌握 3 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 33 解决某类数学问题的数值方法称为算法. 为使算法能 在计算机上实现, 它必须将一个数学问题分解为有限次 的+, -, ´, ÷运算和一些简单的基本函数运算. §1算法 一、算法的表述形式 2. 用框图描述, 这种方式描述计算过程流向较清楚, 特 别易于编制程序, 但对初学者来说有一个习惯过程. 此 外框图描述格式不统一 , 难以掌握. 算法的表述形式是多种多样的 1. 用数学公式和文字说明描述, 这种方式符合人们的理 解习惯, 与算法的推证相衔接, 易于学习接受, 但离计算 机应用的距离还远. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

会A误差 3.算法描述语言,它是表述算法的一种通用语言,有特 定的表述程序和语句.可以很容易地转化为某种计算 机语言,同时也具有一定的可读性 4.算法程序,即用计算机语言描述的算法,它是面对计 算机的算法.以后讨论的算法,都有现成的程序文本 或软件可供利用.但从学习算法的角度看,这种描述方 式并不有利 算法的基本特点 1算法常表现为一个无穷过程的截断 2.算法常表现为一个连续过程的离散化 3.算法常表现为“选代”形式 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 44 4. 算法程序, 即用计算机语言描述的算法, 它是面对计 算机的算法. 以后讨论的算法, 都有现成的程序文本 或软件可供利用. 但从学习算法的角度看, 这种描述方 式并不有利. 3. 算法描述语言, 它是表述算法的一种通用语言, 有特 定的表述程序和语句. 可以很容易地转化为某种计算 机语言, 同时也具有一定的可读性. 二、算法的基本特点 1.算法常表现为一个无穷过程的截断 2. 算法常表现为一个连续过程的离散化 3. 算法常表现为“迭代”形式 PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

会A误差 2误差的来源 误差的来源 固有误差/模型误差 观测误差 误差 截断误差 计算左合入误差 固有误差是由求解工程问题的数学模型本身所具 有的误差,是无法避免的 计算误差是用数值方法求得的近似解与准确解之 间的误差,它可以通过选择好的数学模型,选择好的 计算方法来加以控制 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 55 2 误差的来源 一 、 误差的来源 ì ì ï í ï î í ï ì í ï î î 模型误差 固有误差 观测误差 误差 截断误差 计算误差 舍入误差 固有误差是由求解工程问题的数学模型本身所具 有的误差, 是无法避免的. 计算误差是用数值方法求得的近似解与准确解之 间的误差. 它可以通过选择好的数学模型, 选择好的 计算方法来加以控制. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

(误差) 数值分析就是选择较好计算公式,编制较好的算法和 程序,使求解工程应用问题的计算误差被控制在最小的 围内. 误差的基本概念 定义设x是准确值(一般是不知道的,x是它的一个近 似值,称E=xx*为近似值x的绝对误差 E x-x 定义称 为x的相对误差,记作RE 注1.绝对误差一般无法准确计算,只能估计出它的绝对 值的一个上限,这个上限称为近似值x的绝对误差限,常 记为,[x-x,其意义是:x-8≤x≤x+,在工程应用中常 记为:x=x+8 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 66 数值分析就是选择较好计算公式, 编制较好的算法和 程序, 使求解工程应用问题的计算误差被控制在最小的 范围内. 二、 误差的基本概念 定义 设 x *是准确值(一般是不知道的), x是它的一个近 似值, 称 E = x -x * 为近似值x的绝对误差. 定义 称 为 x 的相对误差, 记作RE. * E x x x x * * - = 注1. 绝对误差一般无法准确计算, 只能估计出它的绝对 值的一个上限, 这个上限称为近似值x的绝对误差限, 常 记为e, |x-x * |£ e, 其意义是:x*-e£x£x*+e, 在工程应用中常 记为: x= x *±e PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

C(误差 注2.相对误差常用百分比表示,无量纲单位,也不能准 确计算,用相对误差限E,来估计 注3.实际上由于x*不知道,常用x代x作分母,此时 8 定义如果近似值x的误差限是它某一位数字的半个单 位,就说x准确到该位数字.且从这一位数字起直到前面 第一个非零数字为止的所有数字称为x的有效数字 即我们通常所说的n位有效数字是指从左端第一位 非零数字开始,往右数至第n+1位数字,并对第n+1位 数字进行四舍五入而得的近似数 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 77 注2. 相对误差常用百分比表示, 无量纲单位. 也不能准 确计算, 用相对误差限e r 来估计. 注3. 实际上由于x *不知道, 常用x代 x *作分母, 此时 | | r x e e = 定义 如果近似值x的误差限e是它某一位数字的半个单 位, 就说x准确到该位数字. 且从这一位数字起直到前面 第一个非零数字为止的所有数字称为x 的有效数字. 即我们通常所说的n位有效数字是指从左端第一位 非零数字开始, 往右数至第 n+1 位数字, 并对第n+1位 数字进行四舍五入而得的近似数. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com

会会(误差) §3数值计算时应注意的问题 避免相近数作减法运算 相近的数作减法运算将会严重损失有效数字,从而 导致很大的相对误差 二、避免分式中分母的绝对值远小于分子的绝对值 若<<x则运算xy中,当分子有误差时,整个分式的 相对误差将扩大很多 、防止大数“吃掉”小数 在大量数据的累加运算中,由于加法必须进行对位, 有可能出现大数“吃掉”小数 四、简化计算量 减少算术运算的次数以减少误差的积累效应 PDF檔案使用"pdfFactoryPro"試用版本建立www.pdffactory.com

误差 88 §3 数值计算时应注意的问题 一、避免相近数作减法运算 相近的数作减法运算将会严重损失有效数字, 从而 导致很大的相对误差. 三、防止大数“吃掉”小数 二、避免分式中分母的绝对值远小于分子的绝对值 若|y|<<|x|则运算x/y中, 当分子有误差时, 整个分式的 相对误差将扩大很多. 在大量数据的累加运算中, 由于加法必须进行对位, 有可能出现大数“吃掉”小数. 四、简化计算量 减少算术运算的次数以减少误差的积累效应. PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 www.pdffactory.com