《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案13

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年10月10日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 10 月 10 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础第二章间接平差授课章节$2.3误差方程（1）目的要求了解什么是误差方程，掌握误差方程的线性化。1.参数的选择；重点难点2.误差方程的列立。第二章间接平差$2.3误差方程（约15分钟）一、确定待定参数的个数在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数「，而且要求这「个参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这「个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下：（一）水准网（三角高程网）水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，则就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。（二）三角网三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍：当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。（三）测边网（包括测边、边角同测、导线网）当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍：当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。（四）GPS网当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数（有三参数、四参数、七参数等）：当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的三倍减去3。以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。（约20分钟）二、参数的选取重点讲授在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。在图2-1中，可选取P、P2点高程作为未知参数，也可以选取1，2或1，3高差平差值等作为参数，但不能选取例如1，4等高差平差值作为参数，因为，此时两个参数间函数相关。在平面控制网、GPS网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立性。第 13次第1页

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 第二章 间接平差 §2.3 误差方程(1) 目的要求 ，了解什么是误差方程，掌握误差方程的线性化。 重点难点 1. 参数的选择； 2. 误差方程的列立。 第二章 间接平差 §2.3 误差方程 一、确定待定参数的个数 在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数 ，而且要求这 个参数必 须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这 个参数的函数，而这种类型的函数式正 是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的 性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下： （一） 水准网（三角高程网） 水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有 高程已知的水准点，则 就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为 这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关 系。 （二） 三角网 三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或是值，当网中有两个或 两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点 时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去 4。 （三） 测边网（包括测边、边角同测、导线网） 当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当 网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去 3。 （四） GPS 网 当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上 WGS84 坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数（有三参数、四参数、七参数等）；当网中没有 足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的三倍减去 3。 以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。 二、参数的选取 在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意 参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。在图 2-1 中，可选 取 、 点高程作为未知参数，也可以选取 1，2 或 1，3 高差平差值等作为参数，但不 能选取例如 1，4 等高差平差值作为参数，因为，此时两个参数间函数相关。 在平面控制网、GPS 网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证 参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立 性。 （ （约 15 分钟） （约 20 分钟） 重点讲授 第 13 次 第 1 页 t t t t P1 P2

三、误差方程的组成例[2-1]已就水准网说明了误差方程的组成方法，观测量的平差值是参数的线性函数，对于GPS控制网，由于观测值为两点的坐标差，因此其误差方程也是线性的。而对于传统（约20分钟）的平面控制网，其误差方程一般是非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非线性函数时组成误差方程的方法。YR图2-2图2-3例如在图2-2中，不管选择怎样的一组参数，都将出现非线性形式的平差值方程。设V以D点坐标A1D和D为参数，由图知，第1个平差值方程为Y-Y.Y,-Y,L, = αpB -αpa = arctan -arctanXB-XDXA-XD式中，(X,Ya),（X,Ys）为已知点A和B的坐标。上式为非线性方程。<V又如对图2-3测边交会图形来说，若选择待定点D的坐标为参数，平差值为D、D由图可列出其中第1个平差值方程为L =V(x,-x) +(-a)它们也是非线性函数关系。（约45分钟）四、误差方程线性化重点内容取的充分近似值X°，是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将L,=L +V,=f.(X,X2,..X)- J(X +X,X+x2,.,X+)按台劳公式展开得af.af.+ -(2 -(x,. 0)V. =A(ax,)。(ax,ax(af.af.af.b, =1, =a,:(ax,)(axax.令 = L, - f.(X,X2,,XO)= L -L0式中为相应的函数的近似值，自由项"为观测值减去其近似值。由此（2-2-4）式为V,=a,,+b,x+.+t,x,-l的二次以上的各项。当“很需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的

三、误差方程的组成 例[2-1] 已就水准网说明了误差方程的组成方法，观测量的平差值是参数的线性函数， 对于 GPS 控制网，由于观测值为两点的坐标差，因此其误差方程也是线性的。而对于传统 的平面控制网，其误差方程一般是非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非线 性函数时组成误差方程的方法。 图 2-2 图 2-3 例如在图 2-2 中，不管选择怎样的一组参数，都将出现非线性形式的平差值方程。设 以 D 点坐标 和 为参数，由图知，第 1 个平差值方程为 式中， , 为已知点 和 的坐标。上式为非线性方程。 又如对图 2-3 测边交会图形来说，若选择待定点 D 的坐标为参数，平差值为 、 ， 由图可列出其中第 1 个平差值方程为 它们也是非线性函数关系。 四、误差方程线性化 取 的充分近似值 ， 是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以 上的项，而只取至一次项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将 = 按台劳公式展开得 令 ， ，.， 式中 为相应的函数的近似值，自由项 为观测值 减去其近似值 。由此（2-2-4）式 为 需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了 的二次以上的各项。当 很 小时，略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的 （约 20 分钟） （约 45 分钟） 重点内容 X D ˆ YD ˆ A D A D B D B D DB DA X X Y Y X X Y Y L ˆ ˆ arctan ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ arctan − − − − − =  −  = ( , ) XA YA ( , ) XB YB A B X D ˆ YD ˆ ( ) ( ) 2 2 1 ˆ ˆ ˆ L = X D − X A + YD − YA X ˆ 0 X x ˆ ( 1 2 ) ˆ ˆ ˆ ˆ , , L L V f X X X i i i i t = + = ( ˆ , ˆ , , ˆ ) 0 2 0 1 2 0 i 1 t t f X + x X + x  X + x ( ( )) 0 0 2 0 1 0 2 2 0 1 1 0 ˆ , , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ t i i t t i i i i x L f X X X X f x X f x X f v    − −          + +           +           = 1 0 ˆ           = X f a i i 2 0 ˆ           = X f b i i 0 ˆ           = t i i X f t ( ) 0 0 0 0 1 2 , , , i i i t i i l L f X X X L L = − = − 0 Li i l Li 0 Li i i i i t i v = a x ˆ + b x ˆ + + t x ˆ − l 1 2  ˆ j x ˆ j x

的近似值，即（12）都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应该说掌握一般方法，可以对一切非线性误差方程都可以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相应误差方程的线性本节小结：1.参数个数的确定；2．参数的选取；3.误差方程是的组成；4.线性化。第3页第13次

的近似值，即 都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把 第一次平差结果作为参数的近似值再进行一次平差。 上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应该说掌握一般方法，可以对一切非 线性误差方程都可以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相应误差方程的线性 化问题，可以总结一些规律，便于实际应用。 课堂教学小结： 1、测量平差概述； 2、间接平差的基础方程及其解； 3、计算步骤。 本节小结： 1. 参数个数的确定； 2. 参数的选取； 3. 误差方程是的组成； 4. 线性化。 第 13 次 第 3 页 x ˆ (1,2, ,t) j 