《误差理论及测量平差基础》课程教学资源（授课教案）教案12

?成金娜内素古科技大学INNERMONGOLIAUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY教案课程名称测量平差基础总学时数80学时使用班级测绘专 2013-1、2任课学期2014/2015学年第一学期任课教师燕志明编制时间2014年10月8日

教 案 课程名称 测量平差基础 总学时数 80 学 时 使用班级 测绘专 2013-1、2 任课学期 2014/2015 学年第一学期 任课教师 燕志明 编制时间 2014 年 10 月 8 日

内蒙古科技大学教案课程名称：测量平差基础第二章间接平差授课章节82.1测量平差概述；82.2间接平差基础方程目的要求了解间接平差数学模型和随机模型，掌握间接平差的原理间接平差的原理重点难点第二章间接平差（约30分钟）32.1测量平差概述一、测量平差的观测值二、必要观测于多余观测三、测量平差的数学模型$2.2间接平差基础方程（约60分钟）设平差问题中有 n 个观测值 L,已知其协因数阵 Q=P-1,，必要观测数为t，选定t个独立参数，其近似值为=X°+，观测值与改正数V之和=L+，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n个平差值方程为L,+v, =a, Xi+b, X2+...+t,Xt+d(i=1,2,3，，n)(2-1-10)令=[2L..LJYi=[vV...J-[X, ...XJd =[d.d,..d,Jn.1[ab..ta2b2..2B=n,....Lanbn.tn则平差值方程的矩阵形式为L+V=BX+d(2-1-11)令X=X+I= L-(BX° +d)(2-1-12)式中X°为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为V= Bx-1(2-1-13)第 12 次第1页

内蒙古科技大学教案 课程名称：测量平差基础 授课章节 第二章 间接平差 §2.1 测量平差概述；§2.2 间接平差基础方程 目的要求 ，了解间接平差数学模型和随机模型，掌握间接平差的原理 重点难点 间接平差的原理 第二章 间接平差 §2.1 测量平差概述 一、测量平差的观测值 二、必要观测于多余观测 三、测量平差的数学模型 §2.2 间接平差基础方程 设平差问题中有 n 个观测值 L，已知其协因数阵 ，必要观测数为 t，选定 t 个独立参数 ，其近似值为 ，观测值 L 与改正数 V 之和 ，称为观 测量的平差值。按具体平差问题，可列出 n 个平差值方程为 （i=1，2，3，.，n） （2-1-10） 令 则平差值方程的矩阵形式为 （2-1-11） 令 （2-1-12） 式中 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为 （2-1-13） 按最小二乘原理，上式的 必须满足 的要求，因为 t 个参数为独立量， 故可按数学上求函数自由极值的方法，得 （ （约 30 分钟） （约 60 分钟） 第 12 次 第 1 页 −1 Q = P X ˆ X X x ˆ ˆ 0 = + L = L +V  i t Li + vi = ai X + bi X + + t i X + d    1 2          T n n T t t T n n T n n d d d d X X X X V V V V L L L L     1 2 ,1 1 2 ,1 1 2 ,1 1 2 ,1 ˆ ˆ ˆ ˆ = = = =             = n n n n t a b t a b t a b t B        2 2 2 1 1 1 , L +V = BX ˆ + d ( ) ˆ ˆ 0 0 l L BX d X X x = − + = + 0 X V = Bx ˆ − l

2VTpVavTPv-VIPB=0aax转置后得BTPV=0(2-1-14)以上所得的（2-1-13）和（2-1-14）式中的待求量是n个V和1个，而方程个数也是n+t个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。解此基础方程，一般是将（2-1-13）式代入（2-1-14）式，以便先消去V，得B'PBX-BP=0(2-1-15)令Nb =B'PB, W=BPIt,1t,上式可简写成Nhx-W=0(2-1-16)NNb为满秩矩阵，即R(Ns）=1，又有唯一解，上式称为间接平差的法方程。式中系数阵解之，得X=NBW(2-1-17)或=(BTPB)-"BTPI(2-1-18)将求出的×代入误差方程（2-1-13），即可求得改正数V，从而平差结果为L=L+V,X=X°+x(2-1-19)特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（2-1-16）的纯量形式为[paa]x, +[pab]x2+.+[pat]x,=[pal][pab],+[pbb]x,+..+[pbt]x,=[pb]][pat]x,+[pbt]x?+.+[ptt]x,=[pt]](2-1-20)课堂教学小结：1、测量平差概述；2、间接平差的基础方程及其解；3、计算步骤。第12次第2页

转置后得 （2-1-14） 以上所得的（2-1-13）和（2-1-14）式中的待求量是 个 和 个 ，而方程个数也 是 个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。 解此基础方程，一般是将（2-1-13）式代入（2-1-14）式，以便先消去 ，得 （2-1-15） 令 上式可简写成 （2-1-16） 式中系数阵 为满秩矩阵，即 ， 有唯一解，上式称为间接平差的法方程。 解之，得 （2-1-17） 或 （2-1-18） 将求出的 代入误差方程（2-1-13），即可求得改正数 V，从而平差结果为 （2-1-19） 特别地，当 P 为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（2-1-16）的纯量形式 为 （2-1-20） 课堂教学小结： 1、测量平差概述； 2、间接平差的基础方程及其解； 3、计算步骤。 第 12 次 第 2 页 0 ˆ 2 ˆ = =   =   V PB x V V P x V PV T T T B PV = 0 T n V t x ˆ n + t V B PBx ˆ − B Pl = 0 T T N B PB W B Pl T t T t t bb = = ,1 , , Nbb x ˆ −W = 0 Nbb R N t ( bb ) = x ˆ x NbbW 1 ˆ − = x B PB B Pl T 1 T ˆ ( ) − = x ˆ L L V X X x ˆ ˆ , 0 = + = +         + + + = + + + = + + + = [ ]ˆ [ ]ˆ [ ]ˆ [ ] [ ]ˆ [ ]ˆ [ ]ˆ [ ] [ ]ˆ [ ]ˆ [ ]ˆ [ ] 1 2 1 2 1 2 pat x pbt x ptt x ptl pab x pbb x pbt x pbl paa x pab x pat x pal t t t    