《机械原理》课程教学资源（授课教案）11.2机械的等效动力学模型和机器运动方程式

课程名称：《机械原理》第22讲次第十一章机械的运转及其速度波动的调节S11-1概述授课题目811-2机械的等效动力学模型和机器运动方程式本讲目的要求及重点难点：[目的要求】通过本讲课的学习，了解机器运转的三个阶段，速度波动的种类，调节速度波动的目的和方法，等效动力学模型的三种形式，等效量的求法，机械运动方程式的四种形式及应用。[重点】等效动力学模型，速度波动的种类，调节目的和方法[难点]等效动力学模型内容

课程名称：《机械原理》 第 22 讲次 授课题目 第十一章 机械的运转及其速度波动的调节 §11-1 概述 §11-2 机械的等效动力学模型和机器运动方程式 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课的学习，了解机器运转的三个阶段，速度波动的种类，调节速度 波动的目的和方法，等效动力学模型的三种形式，等效量的求法，机械运动方程式的四 种形式及应用。 [重点] 等效动力学模型，速度波动的种类，调节目的和方法 [难点] 等效动力学模型 内 容

[本讲课程的引入]要研究研究机械在外力作用下的真实运动规律，要研究机械运动方程式及求解，针对整个系统建立方程式很复杂，对单自由度机械系统，若已知一个构件的运动，系统的运动便是确定的，故要研究如何将系统转化为一个构件去研究，这个构件就是等效构件，如何等效，怎样建立等效动力学模型，都是很值得探讨的问题。[本讲课程的内容]11-1概述一、本章研究的内容及目的以前对机构进行受力分析时，都假定机构的原动件为已知运动规律（匀速）的，而实际上原动件的运动与其所受的驱动力（力矩），机构中其他构件的质量、转动惯量及所受的阻力有关。这些往往都是时间的函数，所以原动件的运动也是机构位置的函数。本章的重点内容之一就是研究机械在外力作用下的真实运动规律。另外，由于上述原因，机械运动过程中速度会出现一些波动，引起附加动载荷和振动，从而降低机械的寿命和效率，所以，内容之二就是速度波动的调节。二、机器运转的三个阶段机器的运转可分为三个阶段：如图所示1、启动阶段2、稳定运转阶段3、停车阶段隐定送护内容

[本讲课程的引入] 要研究研究机械在外力作用下的真实运动规律，要研究机械运动方程式及求解，针 对整个系统建立方程式很复杂，对单自由度机械系统，若已知一个构件的运动，系统的 运动便是确定的，故要研究如何将系统转化为一个构件去研究，这个构件就是等效构件， 如何等效，怎样建立等效动力学模型，都是很值得探讨的问题。 [本讲课程的内容] 11-1 概 述 一、本章研究的内容及目的 以前对机构进行受力分析时，都假定机构的原动件为已知运动规律（匀速）的，而实际上原动件 的运动与其所受的驱动力（力矩），机构中其他构件的质量、转动惯量及所受的阻力有关。这些往往 都是时间的函数，所以原动件的运动也是机构位置的函数。本章的重点内容之一就是研究机械在外力 作用下的真实运动规律。 另外，由于上述原因，机械运动过程中速度会出现一些波动，引起附加动载荷和振动，从而降低 机械的寿命和效率，所以，内容之二就是速度波动的调节。 二、机器运转的三个阶段 机器的运转可分为三个阶段：如图所示 1、 启动阶段 2、 稳定运转阶段 3、 停车阶段 内 容

三、作用在机械上的驱动力和阻力对于一台机器，其外力作用下的运动规律可用其机械特性来表示，机械特性通常是指力（力矩）和运动学参数（位移、速度、时间等）之间的关系。机器的驱动力可以是常数（重锤驱动机器），可以是位移的函数（弹簧驱动件），可以是速度的函数（一般的交流电动机为转速的函数）。机器所受的阻力可以是常数（起重机，车床），也可以是执行构件位置的函数（活塞式压缩机，曲柄压力机），可以是执行构件速度的函数（鼓风机，离心泵等），可以是时间的函数（揉面机等）本章在讨论机械在外力作用下的运动问题时，认为外力是已知的。11-2机械的等效动力学模型和机器运动方程式对单自由度的机械系统，只要一个构件的运动确定后，整个机构的运动就是确定的，因此可将整个机构的运动问题转化为某一个构件的运动问题，但得保证转化后的运动和原机构的运动效应是一致的。这个构件就称为等效构件。等效构件的质量（转动惯量），力（力矩）称为等效质量（转动惯量），等效力（等效力矩）。等效的原则：等效前后机械的动力效应不变。其实，这个转化的过程就是建立等效动力学模型的过程。那么选什么样的构件为等效构件好？简化后的动力学模型又是怎样的呢？一、等效动力学模型我们以曲柄滑块为例说明等效动力学模型的建立方法，并将其推广为一般形式。如图11-3所示：已知：曲柄1为原动件，其上作用有驱动力矩M，，以等角速の0转动，其质心在O点，转动惯量为J，连杆2的质心在S，，对质?心S，的转动惯量为Js2，角速度为の，，滑块3的质量为m，其质图11-3心在B点，速度为V3，工作阻力为F3。1、等效构件的选取原则上可以随意选取，为使问题简化，常取连架杆为等效构件。可取：绕定轴转动的构件（M。、J。）或往复移动的构件（F。、m。）2、等效力矩，等效转动惯量，等效力，等效质量的求解求M。（F。）等效原则是转化前后系统的功（功率）不变；J。（m。）的等效原则是转化前后动能不变。即等效前后机构的运动不变

图 11-3 三、作用在机械上的驱动力和阻力 对于一台机器，其外力作用下的运动规律可用其机械特性来表示，机械特性通常是指力（力矩） 和运动学参数（位移、速度、时间等）之间的关系。 机器的驱动力可以是常数（重锤驱动机器），可以是位移的函数（弹簧驱动件），可以是速度的函 数（一般的交流电动机为转速的函数）。 机器所受的阻力可以是常数（起重机，车床），也可以是执行构件位置的函数（活塞式压缩机， 曲柄压力机），可以是执行构件速度的函数（鼓风机，离心泵等），可以是时间的函数（揉面机等） 本章在讨论机械在外力作用下的运动问题时，认为外力是已知的。 11-2机械的等效动力学模型和机器运动方程式 对单自由度的机械系统，只要一个构件的运动确定后，整个机构的运动就是确定的，因此可将整 个机构的运动问题转化为某一个构件的运动问题，但得保证转化后的运动和原机构的运动效应是一致 的。这个构件就称为等效构件。等效构件的质量（转动惯量），力（力矩）称为等效质量（转动惯量）， 等效力（等效力矩）。等效的原则：等效前后机械的动力效应不变。其实，这个转化的过程就是建立 等效动力学模型的过程。 那么选什么样的构件为等效构件好？简化后的动力学模型又是怎样的呢？ 一、等效动力学模型 我们以曲柄滑块为例说明等效动力学模型的建立方法，并将其推广为一般形式。 如图 11-3 所示： 已知：曲柄 1 为原动件，其上作用有驱动力矩 M1 ，以等角速 1 转动，其质心在 O 点，转动惯量为 1 J ，连杆 2 的质心在 2 S ，对质 心 2 S 的转动惯量为 S 2 J ，角速度为 2 ，滑块 3 的质量为 m3 ，其质 心在 B 点，速度为 V3 ，工作阻力为 F3。 1、 等效构件的选取 原则上可以随意选取，为使问题简化，常取连架杆为等效构件。可取：绕定轴转动的构件（ Me 、 e J ）或往复移动的构件（ Fe、 me ） 2、 等效力矩，等效转动惯量，等效力，等效质量的求解 求 Me （ Fe ）等效原则是转化前后系统的功（功率）不变； e J （ me ）的等效原则是转化前 后动能不变。即等效前后机构的运动不变

A）、选取曲柄1为等效构件（求解M.、J.）功率不变：M,o,=M,o,+FV,cosasV3有：M=M,-E-V.cosa,+m=ZF推广为一般式：M=台式中：n一一机器中活动构件的个数F、M,一一第i个构件上的力或力矩；の,一一第i个构件的角速度；V一一F,作用点的速度；α,——F,与V,之间的夹角。土一一作用在第i构件上的力矩与转速同向时，取正号根据等效前后系统动能不变，有：11111.0'=/ao2+mV2+m?J0+2222VLW(2) +m(二))2+m(有：J =J.+0O0V,J.-ZJ通式为：Zm.+(0)0i=li=lB)、选滑块3为等效构件（求解F、m。）根据转化前后功率不变原则有：FV,=M,の,+FVcos180°01-FF,= M,A11111m.V3:n+s2+m+m根据转化前后动能不变有：O2222(V2Q0得：m=+m,+mV.VVVn0M.通式：F=Fcosα,干VVi=li=l)+(e)1Lme=2mlVV

A）、选取曲柄 1 为等效构件（求解 Me 、 e J ） 功率不变： 1 1 1 3 3 3 Me = M  + F V cos 有： 1 3 1 3  V Me = M − F 推广为一般式：     i n i i i i n i e i M V M F  = = =  1 1 cos 式中：n——机器中活动构件的个数 Fi 、 Mi ——第 i 个构件上的力或力矩； i ——第 i 个构件的角速度； Vi —— Fi 作用点的速度；  i —— Fi 与 Vi 之间的夹角。  ——作用在第 i 构件上的力矩与转速同向时，取正号 根据等效前后系统动能不变，有： 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Je = J  + J s  + m Vs + m V 有： 2 1 3 3 2 1 2 2 2 1 1 2 ( ) ( ) ( )     V m V J J J m i s e = + s + + 通式为： 2 1 2 1   = =        +      = n i si i n i i e si V J J m    B）、选滑块 3 为等效构件（求解 Fe 、 me ） 根据转化前后功率不变原则有： = + cos180 FeV3 M11 F3V3 3 3 1 1 F V Fe = M −  根据转化前后动能不变有： 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 meV = J  + J S  + m Vs + m V 得： 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 1 m V V m V J V m J s e s +         +         +         =   通式：   = = = n i i i n i i i e i V M V V F F 1 1 cos    2 1 2 1        +      =   = = V J V V m m i n i Si n i i e i 

容内其等效动力学模型为：如图11-4所示b)a)图11-4思考：如果选构件1上A点作等效点，将成为一种怎样的模型？（m。，F）【例11-1】【例11-1】图示齿轮一连杆机构中，已知齿轮1的齿数z,=20，转动惯量为J,=0.1kg.m；齿轮2的齿数=,=60，质心在A点，对A轴的转动惯量为J,=0.9kg.m2，laB=120mm；滑块3的质量忽略不计：导杆4的质量为m，=0.4kg，质心S4位于BC的中点，对质心S4的转动惯量J,=0.16kg.m2；作用在齿轮1上的驱动力矩Mi=20Nm，作用在导杆4上的阻力矩M4=12N-m。若取曲柄1为等效构件，试求该机构在图示位置的等效力矩M.和等效转动惯量Jeb)图11-5结论：、F*EF,M.+M,m+m,J.+EJF(M。）不仅与F,（M）有关，m。（J。）不仅与m，（J,）有关，他们还与速比有关，因此可以随意假设原动件的速度，画速度多边形，用其多边形中线段比表示速比。。当F，M,，m，，J一定时，对连杆机构，机构的瞬时速比随机构位置而变化，所以F（M），m。（J。）是机构位置的函数；而对齿轮机构，速比不随机构位置变化，是常数。所以，F(M.)，m。（J）也是常数。内容

内 容 其等效动力学模型为：如图 11-4 所示 图 11-4 思考：如果选构件 1 上 A 点作等效点，将成为一种怎样的模型？（ me ， Fe ） 【例 11-1】【例 11-1】 图示齿轮—连杆机构中，已知齿轮 1 的齿数 1 z = 20 ，转动惯量为 2 1 J = 0.1kg.m ；齿轮 2 的齿数 2 z = 60 ，质心在 A 点，对 A 轴的转动惯量为 2 2 J = 0.9kg.m ，AB l = 120 mm； 滑块 3 的质量忽略不计；导杆 4 的质量为 4 m = 0.4kg ，质心 S4 位于 BC 的中点，对质心 S4 的转动惯量 2 4 J = 0.16kg.m ；作用在齿轮 1 上的驱动力矩 M1 = 20 N·m，作用在导杆 4 上的阻力矩 M4 = 12 N·m。 若取曲柄 1 为等效构件，试求该机构在图示位置的等效力矩 Me和等效转动惯量 Je 图 11-5 结论： ⚫ Fe  Fi ， Me  Mi ， me  mi ， e   i J J ( ) F Me e 不仅与 Fi （ Mi ）有关， me （ e J ）不仅与 mi （ i J ）有关，他们还与速比有关，因 此可以随意假设原动件的速度，画速度多边形，用其多边形中线段比表示速比。 ⚫ 当 Fi ，Mi ，mi ， i J 一定时，对连杆机构，机构的瞬时速比随机构位置而变化，所以 ( ) Fe Me ， me （ e J ）是机构位置的函数；而对齿轮机构，速比不随机构位置变化，是常数。所以， ( ) Fe Me ， me （ e J ）也是常数。 内 容

至此，我们得到了功与动能与实际机械完全等效的，只由一个可动构件与机架组成基本机构等效动力学模型。可见，研究这个基本机构的运动比研究整个机构简单得多一一这也是引入等效动力学模型的目的。系统转化为等效模型后，F（M.），m。（J。）为已知量，那么如何列等效模型的运动方程式，从而求解机械系统的运动规律呢？二、机器运动方程式常用的方程有四种，可以根据已知条件来选择不同的形式。第一种：针对等效构件为移动构件时的动能形式=1mv2-1(Fa-F,)ds=1、Wpa-WFr=mV，原理为：功=动能的变化量22式中：Wra一等效驱动力做功；W一一等效阻力做功；m,V一位移为S时刻的等效质量，等效构件的速度；mo,V。一一位移为So时刻的的等效质量和速度。第二种：针对等效构件为转动构件时的动能形式(Ma-M,)do=Jo2-I-原理为：功=动能的变化量2、WMa-WMr =J.o02第三、四种是对1，2两种形式的两端同时微分而来。(μmv)-0=d3、由于：:dsHds(ds(2V?1dvdmdvV2dm=mm2VF:22ds dtdsdt2dsdtdy如果m为常数，则有力形式的机器运动方程式：F=Fed-Fer=m=madta( Jo2)-0:4、（最重要的运动方程式）M..do二d@(210do力矩形式的机器运动方程式：M。=Med-M。= J。=J.0diα一一等效构件的角加速度

至此，我们得到了功与动能与实际机械完全等效的，只由一个可动构件与机架组成基本机构—— 等效动力学模型 。 可见，研究这个基本机构的运动比研究整个机构简单得多——这也是引入等效动力学模型的目 的。系统转化为等效模型后， ( ) Fe Me ， me （ e J ）为已知量，那么如何列等效模型的运动方程式， 从而求解机械系统的运动规律呢？ 二、机器运动方程式 常用的方程有四种，可以根据已知条件来选择不同的形式。 第一种：针对等效构件为移动构件时的动能形式 1、 ( ) 2 0 0 2 2 1 2 1 0 W W F F ds mV m V S S Fd − Fr = d − r = −  ，原理为：功=动能的变化量 式中： WFd ——等效驱动力做功； WFr ——等效阻力做功； mV, ——位移为 S 时刻的等效质量， 等效构件的速度； 0 0 m V, ——位移为 S0 时刻的的等效质量和速度。 第二种：针对等效构件为转动构件时的动能形式 2、 ( ) 2 0 0 2 2 1 2 1 0      W W M M d J J Md − Mr = d − r = −  原理为：功=动能的变化量 第三、四种是对 1，2 两种形式的两端同时微分而来。 3、由于： 0 2 1 2 0  −       =        mV ds d F ds ds d S S e  ds V dm dt dV m ds V dm dt dt ds dV Fe = m V +  = +  2 2 2 2 1 2 2 如果 m 为常数，则有力形式的机器运动方程式： ma dt dV Fe = Fed − Fer = m = 4、（最重要的运动方程式） 0 2 1 2 0  −       =              J d d M d d d e  力矩形式的机器运动方程式： e ed er e e d M M M J J dt  = − = =   ——等效构件的角加速度

机械运动方程式的求解（自学内容）【例11-2】图11-6所示齿轮机构中，已知齿数z=20，z,=40；转动惯量J,=0.01kg.m2，J,=0.04kg.m2；齿轮1上的驱动力矩M,=10N.m，齿轮2上的阻力矩M,=4N.m，求齿轮2的角速度从零等加速上升到100rad/s所需的时间t。图11-6.40解：选择齿轮2为等效构件，则等效力矩为M.=M,--M,=10x4=16N.m200240y +0.04=0.08kg.m2J=J(-)+J,=0.01x(等效转动惯量为2002M=16_100-0由式(11-20)得t=0.5s，即所需的时间为0.5秒。α=0.08Jt[本讲小结】今天我们讲了（1）机器运转的三个阶段；（2）速度波动的种类，调节速度波动的目的和方法；（3）等效动力学模型的三种形式，等效量的求法；（4）机械运动方程式的四种形式及应用[本讲作业184页11-2，11-3思考题：11-1，11-2

机械运动方程式的求解（自学内容） 【例 11-2】 图 11-6 所示齿轮机构中，已知齿数 1 z = 20 ， 2 z = 40 ；转动惯量 2 1 J = 0.01kg.m ， 2 2 J = 0.04kg.m ；齿轮 1 上的驱动力矩 1 M =10N.m ，齿轮 2 上的阻力矩 2 M = 4N.m ，求齿轮 2 的角速 度从零等加速上升到 100rad/s 所需的时间 t 。 图 11-6 解：选择齿轮 2 为等效构件，则等效力矩为 1 e 1 2 2 40 10 4 16N.m 20 M M M   = − =  − = 等效转动惯量为 1 2 2 2 e 1 2 2 40 ( ) 0 01 ( ) 0 04 0 08kg.m 20 J J J . . .   = + =  + = 由式(11-20) e e 16 100 0 0 08 M J . t  − = = = ，得 t=0.5s，即所需的时间为 0.5 秒。 [本讲小结] 今天我们讲了（1）机器运转的三个阶段;（2）速度波动的种类，调节速度 波动的目的和方法;（3）等效动力学模型的三种形式，等效量的求法;（4）机械运动方 程式的四种形式及应用。 [本讲作业] 184 页 11-2，11-3 思考题：11-1，11-2