《机械原理》课程教学资源（授课教案）7.3渐开线圆柱齿轮基本参数和尺寸计算及啮合传动

第15讲次课程名称：《机械原理》第七章齿轮机构及其设计授课题目$7-3渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算$7-4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动本讲目的要求及重点难点：[目的要求】通过本讲课的学习，掌握标准直齿圆柱齿轮各部分名称及几何尺寸计算公式，掌握直齿圆柱齿轮的正确啮合条件，连续传动条件。[重点]】直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算，正确啮合条件，连续传动条件。[难点]正确齿合，连续传动内容[本讲课程的引入】设计计算直齿圆柱齿轮的几何尺寸是以后经常用到的，一对齿轮不一定能够正确啮合，也不一定能连续传动，衡量标准是什么呢？[本讲课程的内容]7-3渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算一、各部分名称除了齿轮的齿数、齿轮的宽度b以外，还有4个圆（齿顶圆、齿根圆、分度圆、基圆），3个高（齿顶高、齿根高、全齿高）和4个弧段（齿厚、齿槽宽、齿距、基圆齿距），现分别介绍。（1）齿顶圆如齿顶圆半径r。、直径d。（2）齿根圆如齿根圆半径、直径d（3）分度圆齿轮上作为尺寸计算基准的圆，称为分度圆，其上的所有参数没有下标，如分度圆半径用r、直径用d表示。（4）基圆渐开线起始点所在的圆，，如基圆半径r、直径d（5）齿顶高轮齿介于分度圆与齿顶圆之间的部分称为齿顶，其径向高度为齿顶高h（6）齿根高轮齿介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其径向高度为齿根高h（7）全齿高齿顶圆与齿根圆之间的径向距离称为全齿高h=h。+h。（8）齿厚任一半径为r的圆周上，一个轮齿两侧齿廓间的弧线长度称为该圆周上的齿厚s（9）齿槽宽任一半径为r的圆周上，相邻两轮齿之间的轮槽弧线长度称为该圆周上的齿槽宽e（10）齿距任一半径为r的圆周上，相邻两齿同侧齿廓之间的弧线长度称为该圆周上的齿距P,=s,+e

课程名称：《机械原理》 第 15 讲次 授课题目 第七章 齿轮机构及其设计 §7-3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算 §7-4 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课的学习，掌握标准直齿圆柱齿轮各部分名称及几何尺寸计算公式，掌 握直齿圆柱齿轮的正确啮合条件，连续传动条件。 [重点] 直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算，正确啮合条件，连续传动条件。 [难点] 正确啮合，连续传动 内 容 [本讲课程的引入] 设计计算直齿圆柱齿轮的几何尺寸是以后经常用到的，一对齿轮不一定 能够正确啮合，也不一定能连续传动，衡量标准是什么呢？ [本讲课程的内容] 7-3 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和尺寸计算 一、各部分名称 除了齿轮的齿数 z 、齿轮的宽度 b 以外，还有 4 个圆（齿顶圆、齿根圆、分度圆、基圆），3 个高（齿 顶高、齿根高、全齿高）和 4 个弧段（齿厚、齿槽宽、齿距、基圆齿距），现分别介绍。 （1）齿顶圆 如齿顶圆半径 a r 、直径 a d （2）齿根圆 如齿根圆半径 f r 、直径 f d （3）分度圆 齿轮上作为尺寸计算基准的圆，称为分度圆，其上的所有参数没有下标，如分度圆半径用 r 、 直径用 d 表示。 （4）基圆 渐开线起始点所在的圆，,如基圆半径 b r 、直径 b d （5）齿顶高 轮齿介于分度圆与齿顶圆之间的部分称为齿顶，其径向高度为齿顶高 a h （6）齿根高 轮齿介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其径向高度为齿根高 f h （7）全齿高 齿顶圆与齿根圆之间的径向距离称为全齿高 a f h h h = + 。 （8）齿厚 任一半径为 i r 的圆周上，一个轮齿两侧齿廓间的弧线长度称为该圆周上的齿厚 i s （9）齿槽宽 任一半径为 i r 的圆周上，相邻两轮齿之间的轮槽弧线长度称为该圆周上的齿槽宽 i e （10）齿距 任一半径为 i r 的圆周上，相邻两齿同侧齿廓之间的弧线长度称为该圆周上的齿距 i i i p s e = +

（11）法向齿距相邻两齿同侧齿廊之间在法线方向上的距离称为法向齿距，以p.表示。根据渐开线的性质可知，法向齿距总等于基圆齿距，即p=Ps。二、标准直齿圆柱齿轮的五个基本参数（1)齿数=，齿轮的大小和渐开线齿廓的形状均与2有关。（2）模数分度圆周长=元d=p，于是d=zp/元，人为地规定分度圆齿距P与元的比值只能取一个有理数列，用m表示，称为模数，单位是mm，即m=P元则d=mz模数增大，齿轮各部分尺寸都相应增大，所以模数是决定齿轮大小的一个基本参数表7-2为标准模数系列。（3）分度圆压力角α（简称压力角）分度圆上的压力角为标准值，α=20分度圆是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。任一个齿轮都有一个且只有一个分度圆。（4）齿顶高系数hh=hm。（5）顶隙系数c两齿轮啮合时，一个齿轮的齿顶圆和另一个齿轮的齿根圆之间的径向间隙称为顶隙，用c表示，c=cm。齿根高h,=(h+c)m。我国规定了齿顶高系数和项隙系数的标准值：正常齿制当m≥lmm时，h=1，c=0.25短齿制h,=0.8,c=0.3上述五个参数z、m、α、h、c确定后，齿轮各个部分的尺寸就完全确定下来了，因此称z、m、α、h、c为标准直齿圆柱齿轮的五个基本参数。如果m、α、h、c均为标准值，且满足以下两个条件：（1）分度圆齿厚等于齿槽宽，即s=e=p/2=元m/2（2）具有标准的齿顶高和齿根高，即 h,=h,m，h,=(h +c)m这样的齿轮称为标准齿轮，否则称为非标准齿轮。三、标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算渐开线外啮合标准直齿圆柱齿轮传动的几何尺寸计算公式见表7-3两个高：齿顶高ha=hm，齿根高h，=（ha+c")m熟记四个圆：分度圆直径d=m·z齿顶圆直径：d。=d+2h。=m(=+2)公式齿根圆直径：d=d-2h,=m(z-2.5)基圆直径d,=dcosα

（11）法向齿距 相邻两齿同侧齿廓之间在法线方向上 的距离称为法向齿距，以 n p 表示。根据渐开线的性质可 知，法向齿距总等于基圆齿距，即 n b p p = 。 二、标准直齿圆柱齿轮的五个基本参数 （1）齿数 z ，齿轮的大小和渐开线齿廓的形状均与 z 有关。 （2）模数 分度圆周长 =  = d zp ，于是 d zp / =  ， 人为地规定分度圆齿距 P 与  的比值只能取一个有理数 列，用 m 表示，称为模数，单位是 mm ，即 p m π = 则 d mz = 模数增大，齿轮各部分尺寸都相应增大，所以模数是决定齿轮大小的一个基本参数。 表 7-2 为标准模数系列。 （3）分度圆压力角  (简称压力角) 分度圆上的压力角为标准值， 20 = 分度圆是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆。任一个齿轮都有一个且只有一个分度圆。 （4）齿顶高系数 a h  * a a h h m = 。 （5）顶隙系数 c  两齿轮啮合时，一个齿轮的齿顶圆和另一个齿轮的齿根圆之间的径向 间隙称为顶隙，用 c 表示， * c c m = 。齿根高 ( ) * * f a h h c m = + 。 我国规定了齿顶高系数和顶隙系数的标准值： 正常齿制 当 m mm 1 时， 1 * a h = ， 0 25 * c . = 短齿制 08 * a h . = ， 03 * c . = 上述五个参数 z、 m 、  、 a h  、 c  确定后，齿轮各个部分的尺寸就完全确定下来了，因 此称 z、 m 、  、 a h  、 c  为标准直齿圆柱齿轮的五个基本参数。 如果 m 、  、 a h  、 c  均为标准值，且满足以下两个条件： （1）分度圆齿厚等于齿槽宽，即 s e p / m / = = =  2 2 （2）具有标准的齿顶高和齿根高，即 * a a h h m = ， ( ) * * f a h h c m = + 这样的齿轮称为标准齿轮，否则称为非标准齿轮。 三、标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算 渐开线外啮合标准直齿圆柱齿轮传动的几何尺寸计算公式见表 7-3。 两个高：齿顶高 ha ham  = ，齿根高 h f ＝(ha c )m   + 四个圆：分度圆直径 d = mz 齿顶圆直径： d = d + 2h = m(z + 2) a a 齿根圆直径： d = d − 2h = m(z − 2.5) f f 基圆直径 db = d cos 熟记 公式

内容四个弧长：分度圆上的齿距p=元·m=s+e：齿厚和齿槽宽s=e=元·m/2基圆齿距p,=pcosα=元mcosα，等于法向齿距p标准中心距：a=(d+d)/2=m(z+z2)/2上述公式，要求必须掌握。有时，需要计算任意圆周上的齿厚。如图7-15所示的几何关系知而:s, =rp=ZBOB-2ZBOC==-2(0,-0)=-2(ivα,-inva), 得:sr -2r,(imva, -inva)S,=P四、齿条1.每条与齿顶平行的线上齿距都相等，但只有一条线上齿厚等于齿槽宽，称为分度线（齿条中线）2.每条与齿顶平行的线上的压力角都相等，都等于20度，也等于齿形角。7-4渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动、直齿圆柱齿轮传动的正确啮合条件无论有几对轮齿同时啮合，相邻的几对轮齿的啮合点一定都在啮合线上。为了保证依次啮合的两对轮齿能够在啮合线上接触，既不发生分离，也不出现干涉，应使两齿轮的法向齿距相等，法向齿距=基圆齿距，Pbl=P2=m,cosα,=m,cosαm,=m,=m[α,=α,=α故一对渐开线直齿轮传动的正确啮合条件是：两轮的模数和压力角分别相等。二、渐开线齿轮传动的连续传动条件是不是一对能正确啮合的齿轮就能连续传动呢？

内 容 四个弧长：分度圆上的齿距 p m s e =  = +  ；齿厚和齿槽宽 s = e = m/ 2 基圆齿距 cos cos p p b = =  α m α ，等于法向齿距 n p 标准中心距： a = (d1 + d2 )/ 2 = m(z1 + z2 )/ 2 上述公式，要求必须掌握。 有时，需要计算任意圆周上的齿厚。如图 7-15 所示的几何关系， 知 ： si = ri ， 而  (  ) (inv inv) r s r s = BOB − 2BOC = − 2 i − = − 2 i − ，得： r (inv inv) r sr s i i i i = − 2 − 四、齿条 1. 每条与齿顶平行的线上齿距都相等，但只有一条线上齿厚等于齿槽宽，称为分度线（齿条中线） 2. 每条与齿顶平行的线上的压力角都相等，都等于 20 度，也等于齿形角。 7-4 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动 一、直齿圆柱齿轮传动的正确啮合条件 无论有几对轮齿同时啮合，相邻的几对轮齿的啮合点一定 都在啮合线上。为了保证依次啮合的两对轮齿能够在啮合线上 接触，既不发生分离，也不出现干涉，应使两齿轮的法向齿距 相等， 法向齿距=基圆齿距， 1 2 1 1 2 2 pb = pb = m cos = m cos  1 2 1 2 m m m     = =   = = 故一对渐开线直齿轮传动的正确啮合条件是：两轮的模数和压 力角分别相等。 二、渐开线齿轮传动的连续传动条件 是不是一对能正确啮合的齿轮就能连续传动呢？

内容如图7-21为一对满足正确啮合条件的渐开线直齿圆柱齿轮传动。显然，当前一对齿在没有退出啮合时，后一对轮齿已经进入啮合，这样的一对齿轮才能连续传动，且传动才能平稳。否则，当前一对轮齿退出啮合时，后一对轮齿还没有进入啮合，则两轮就有一段时间完全脱离，传动中断。1.一对轮齿的啮合过程：一对轮齿的啮合是主动轮的齿根部分推动从动轮的齿项部分开始的。到主动轮的齿顶尖角与从动轮的齿根部分接触时，两轮齿即将脱离啮合。B,一一啮合的起始点，是从动轮齿顶圆与啮合线交点；B,一一啮合的终止点，主动轮的齿顶圆与啮合线的交点。N,N一一理论啮合线段，Ni、N2为啮合极限点；B,B,一一实际啮合线段，实际啮合点的轨迹。图7-22可见，要想两轮能连续的传动，必须保证在前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿就要进入啮合。如图7-22所示，要想使齿轮能够连续传动，必须使实际啮合线段长大于或等于齿轮的法向齿距：B,B，≥PbB,B，即 齿轮违续传动的条件；6。≥11、重合度的定义及计算：8α=Pb重合度的定计算式：义式、意义、影响参数B,B2PB, +PB21[zi(tgαal -tgα')+z2(tgαa2 -tgα')]Gα=2元元mcosaPb设计时，应使≥[ε】（许用重合度)，[8]的推荐值见表7-4。2、重合度的含义一一单双齿啮合区（如图7-16所示）a)若8。=1，即B,B,=Pb，一对轮齿在B,点即将分离时，右边一对轮齿正好在B,点开始进入接触，即始终保持有一对轮齿处于啮合状态，因此整个啮合线段B,B,段都是单齿啮合区。b)若6=1.45，即B,B,=1.45p，所以I——II，III—IV（0.45p,），这两段内总有两对齿在同时啮合，为双齿啮合区；II—一III（0.55p,）段内，只有一对齿在啮合，为单齿啮合区重合度越大，同时啮合的齿对数越多，承载能力越大，传动越平稳

图 7-22 内 容 如图 7-21 为一对满足正确啮合条件的渐开线直齿圆柱齿轮传动。 显然，当前一对齿在没有退出啮合时，后一对轮齿已经进入啮合，这样的一对齿轮才能连 续传动，且传动才能平稳。否则，当前一对轮齿退出啮合时，后一对轮齿还没有进入啮合， 则两轮就有一段时间完全脱离，传动中断。 1. 一对轮齿的啮合过程： 一对轮齿的啮合是主动轮的齿根部分推动从动轮的齿顶部分 开始的。到主动轮的齿顶尖角与从动轮的齿根部分接触时，两轮 齿即将脱离啮合。 B2——啮合的起始点，是从动轮齿顶圆与啮合线交点； B1——啮合的终止点，主动轮的齿顶圆与啮合线的交点。 N1N2——理论啮合线段， N1、 N2 为啮合极限点； B1B2——实际啮合线段，实际啮合点的轨迹。 可见，要想两轮能连续的传动，必须保证在前一对轮齿尚未 脱离啮合时，后一对轮齿就要进入啮合。如图 7-22 所示，要想使齿轮能够连续传动，必 须使实际啮合线段长大于或等于齿轮的法向齿距： B1B2  pb 1、重合度的定义及计算： Pb B1B2   = ，即 齿轮连续传动的条件：   ≥１ 计算式： 1 2 1 2 1 1 2 2 1 [ ( ) ( )] cos 2 a a b B B PB PB z tg tg z tg tg p m          + = = = − + −   设计时，应使    [ ]   （许用重合度），[ ]   的推荐值见表 7-4。 2、重合度的含义——单双齿啮合区（如图 7-16 所示） a)若   = 1 ，即 B1B2 = pb ，一对轮齿在 B1 点即将分离时，右边一对轮齿正好在 B2 点 开始进入接触，即始终保持有一对轮齿处于啮合状态，因此整个啮合线段 B1B2 段都是单齿 啮合区。 b)若   = 1.45，即 B B 45pb 1. 1 2 = ，所以 I——II，III——IV（ 45pb 0. ），这两段 内总有两对齿在同时啮合，为双齿啮合区； II——III（ 55pb 0. ）段内，只有一对齿在啮合，为单齿啮合区 重合度越大，同时啮合的齿对数越多，承载能力越大，传动越平稳。 重合度的定 义式、意义、 影响参数

内容3、影响参数1）齿数越多，重合度越大。2）啮合角越大，重合度越小（啮合角大相当于齿轮中心向外拉）3）重合度大小与模激无关：cosα。=≤=m=cosα/2zcOsaz+h.mE+hara24）齿顶高系数h，越大，α越大，重合度越大，标准直齿轮的重合度最大可达1.981。为什么呢？请证明三、渐开线齿轮传动的标准安装与非标准安装标准中心距a：一对啮合齿轮分度圆相切时的中心距a=r+rz安装（实际）中心距：两个齿轮的节圆半径之和。a=r+r齿轮侧隙：当两轮工作侧齿廊接触时，非工作侧齿廊间出现的间隙称为侧隙，圆周侧隙=e,-s,=e -s2。齿轮的顶隙：一对齿轮啮合时，一个轮的齿顶圆与另一个轮的齿根圆之间的间隙。确定标准外啮合齿轮传动的中心距时应满足以下两个要求：1）保证两个轮的齿侧间隙为零实际考虑齿廓润滑和热膨胀的原因，应留有一定的侧隙；但这个间隙又不能太大，否则会产生很大的冲击和振动。所以一般设计时都按“无侧隙啮合条件”设计，但是在加工时用齿厚的负偏差来实现这个间隙。2）保证两轮的顶隙为标准值原因：避免一轮的齿顶与另一轮的齿槽底部及齿根过渡曲线部分相干涉：同时，保证齿轮传动润滑条件，应留有一定的间隙来存贮润滑油。那么标准齿轮如何能满足无侧隙同时还是标准顶隙呢？由于标准齿轮的分度圆上的齿厚等于齿槽宽，所以当分度圆作节圆时，就能满足上述要求。1.标准安装一一两轮分度圆相切的安装称为标准安装。图a为标准安装一对标准齿轮按标准中心距安装时满足a=a=r+r则：i=字=。且节圆上的压力角等于分度圆上的压力角α=α。rr标准安装的特征：节圆=分度圆；α=α，顶隙为标准值c*m，侧隙为零

内 容 3、影响参数 1）齿数越多，重合度越大。 2）啮合角越大，重合度越小（啮合角大相当于齿轮中心向外拉） 3）重合度大小与模数无关： * * cos 2 cos / 2 cos a a a b a z h z h mz mz r r + = + = =    4）齿顶高系数 * a h 越大，  a 越大，重合度越大。 标准直齿轮的重合度最大可达 1.981。为什么呢？请证明 三、渐开线齿轮传动的标准安装与非标准安装 标准中心距 a：一对啮合齿轮分度圆相切时的中心距 1 2 a = r + r 安装（实际）中心距：两个齿轮的节圆半径之和。 ' 2 ' 1 a = r + r 齿轮侧隙：当两轮工作侧齿廓接触时，非工作侧齿廓间出现的间隙称为侧隙， 圆周侧隙= ' 2 ' 1 ' 1 ' 2 e − s = e − s 。 齿轮的顶隙：一对齿轮啮合时，一个轮的齿顶圆与另一个轮的齿根圆之间的间隙。 确定标准外啮合齿轮传动的中心距时应满足以下两个要求： 1）保证两个轮的齿侧间隙为零 实际考虑齿廓润滑和热膨胀的原因，应留有一定的侧隙；但这个间隙又不能太大，否则会 产生很大的冲击和振动。所以一般设计时都按“无侧隙啮合条件”设计，但是在加工时用齿厚 的负偏差来实现这个间隙。 2）保证两轮的顶隙为标准值 原因：避免一轮的齿顶与另一轮的齿槽底部及齿根过渡曲线部分相干涉；同时，保证齿轮 传动润滑条件，应留有一定的间隙来存贮润滑油。 那么标准齿轮如何能满足无侧隙同时还是标准顶隙呢？由于标准齿轮的分度圆上的齿厚等于齿 槽宽，所以当分度圆作节圆时，就能满足上述要求。 1. 标准安装——两轮分度圆相切的安装称为标准安装。 图 a 为标准安装 一对标准齿轮按标准中心距安装时满足 1 2 ' a = a = r + r 则： 1 2 ' 1 ' 2 r r r r i = = 。且节圆上的压力角等于分度圆上的压力角  =  ' 。 标准安装的特征：节圆≡分度圆；  =  ' ，顶隙为标准值 c m  ，侧隙为零

2.非标准安装（如图b)实际中心距α大于标准中心距α（不可能小于），两轮的分度圆不再相切，而是相互分离，此时，有：r+rb2=(i+r)cosα=(i+r)cosα，于是得到齿轮中心距与啮合角的关系：acosα=acosα3.齿轮齿条传动特点：（如下图）1）不论是否为标准安装，齿轮的节圆恒与其分度圆重合；2)α=α;3)非标准安装时，齿条的节线与其分度线不再重合：【例7-1】已知一对外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮的参数：z=22，=，=33，α=20°，m=2mm，h=1。试计算：（1）按标准中心距安装时，重合度6。。（2）若将中心距增大1mm，重合度e。[本讲小结】今天我们主要讲了（1）标准直齿圆柱齿轮各部分名称及几何尺寸计算公式；（2）直齿圆柱齿轮的正确齿合条件：（3）标准安装和非标准安装的特征；（4）连续传动条件；（5）重合度的定义，影响参数，计算方法。[本讲作业17-4，7-6，7-7，复习掌握几何尺寸计算公式，正确啮合条件，连续传动条件

2. 非标准安装(如图 b) 实际中心距 a  大于标准中心距 a （不可能小于），两轮的分度圆不再相切，而是相互分离， 此时， 有： ( ) ( ) ' ' 2 ' 1 2 1 2 1 rb + rb = r + r cos = r + r cos ，于是得到齿轮中心距与啮合角的关系： cos cos ' ' a = a 3. 齿轮齿条传动特点：（如下图） 1) 不论是否为标准安装，齿轮的节圆恒与其分度圆重合； 2)    ' ； 3)非标准安装时，齿条的节线与其分度线不再重合； 【例 7-1】 已知一对外啮合渐开线标准直齿圆柱齿轮的 参数： 1 z = 22 ， 2 z = 33， α =  20 ，m mm = 2 ， 1 * a h = 。试计 算：（1）按标准中心距安装时，重合度   。 （2）若将中心距增大 1mm，重合度 ε  。 [本讲小结] 今天我们主要讲了（1）标准直齿圆柱齿轮各部分名称及几何尺寸计算 公式；（2）直齿圆柱齿轮的正确啮合条件；（3）标准安装和非标准安装的特征；（4） 连续传动条件；（5）重合度的定义，影响参数，计算方法。 [本讲作业] 7-4，7-6，7-7，复习掌握几何尺寸计算公式，正确啮合条件，连续传动 条件