《机械原理》课程教学资源（授课教案）3.3平面机构运动分析的矢量方程图解法

第5讲次课程名称：《机械原理》第三章平面机构的运动分析授课题目3-3平面机构运动分析的矢量方程图解法本讲目的要求及重点难点：[目的要求】通过本讲课的学习，学会用失量方程图解法进行机构的速度加速度分析[重点]】同一构件上两点间的速度、加速度关系[难点]速度多边形，加速度多边形的绘制方法，哥氏加速度内容

课程名称：《机械原理》 第 5 讲次 授课题目 第三章 平面机构的运动分析 3-3 平面机构运动分析的矢量方程图解法 本讲目的要求及重点难点： 目的要求] 通过本讲课的学习，学会用矢量方程图解法进行机构的速度加速度分析 [重点] 同一构件上两点间的速度、加速度关系 [难点] 速度多边形，加速度多边形的绘制方法，哥氏加速度 内 容

[本讲课程的引入]在现场，要进行位置或轨迹的分析一一以确定构件在运动时所需的最大工作空间，判断各构件间是否会干涉；要进行速度分析一一验证速度的变化规律是否满足工作要求，另外，速度分析是加速度分析的前提；要进行加速度分析一一是研究机械动力性能的前提。对比较复杂的机构，尤其是要进行加速度分析时用速度瞬心法很难解决，而要用到相对运动图解法。[本讲课程的内容]3-3矢量方程图解法作机构的速度加速度分析复习：理论力学中运动合成原理矢量方程图解法（相对运动图解法）：利用理论力学的运动合成原理，列出构件上各点之间的相对运动关系（速度、加速度）矢量方程式，然后按比例尺，根据方程式作矢量多边形求解的方法。根据不同的相对运动情况，分为两类问题：一、同一构件上两点间的速度、加速度关系由运动合成原理：构件AB上A点的速度、加速度已知时，B点的运动可以看作是随A点的平动（牵连运动）与绕基点A的转动（相对运动）的合成，则B点的速度为：VB=VA+VBA式中：VBA一一B点相对于A点的相对速度，其大小等于构件AB的角速度与AB两点间实际距离的乘积，即VBA=のlBA，而方向与AB的连线垂直，指向与の转向一致。B点的加速度为：aB=aA+aBA=aA+aBA+aBA式中：αBA，αBA一一分别是B点相对于A点的相对法向加速度和相对切向加速度。aB=の"1BA，方向由B-A；αBA=αlAB，方向垂直于AB，指向与构件的角加速度α转向一致

[本讲课程的引入] 在现场，要进行位置或轨迹的分析——以确定构件在运动时所需的最大工作空间， 判断各构件间是否会干涉；要进行速度分析——验证速度的变化规律是否满足工作要 求，另外，速度分析是加速度分析的前提；要进行加速度分析——是研究机械动力性能 的前提。对比较复杂的机构，尤其是要进行加速度分析时用速度瞬心法很难解决，而要 用到相对运动图解法。 [本讲课程的内容] 3-3 矢量方程图解法作机构的速度加速度分析 复习：理论力学中运动合成原理 矢量方程图解法（相对运动图解法）：利用理论力学的运动合成原理，列出构件上各点之间的相 对运动关系（速度、加速度）矢量方程式，然后按比例尺，根据方程式作矢量多边形求解的方法。 根据不同的相对运动情况，分为两类问题： 一、同一构件上两点间的速度、加速度关系 由运动合成原理：构件 AB 上 A 点的速度、加速度已知时，B 点的运动可以看作是随 A 点的平 动（牵连运动）与绕基点 A 的转动（相对运动）的合成，则 B 点的速度为： VB =VA +VBA 式中： VBA——B 点相对于 A 点的相对速度，其大小等于构件 AB 的角速度与 AB 两点间实际距 离的乘积，即 BA BA V =l ，而方向与 AB 的连线垂直，指向与  转向一致。 B 点的加速度为： t BA n aB = aA + aBA = aA + aBA + a 式中： n BA a ， t BA a ——分别是 B 点相对于 A 点的相对法向加速度和相对切向加速度。 BA n BA a l 2 =  ，方向由 B→A； AB t BA a = l ，方向垂直于 AB，指向与构件的角加速度  转向一致

内容【例3-4】如图3-7a所示的六杆机构，已知各构件尺寸，原动件1的角速度为の、角加速度为α。求图示位置时，构件2的角速度の，、角加速度α，及构件2上C点、D点的速度vc、Vp和加速度acap2°D(D4,Ds)ec图3-7解：先作准确的机构位置图。构件1的运动参数已知，则B点的速度、加速度可求。VB=O,LAB;aB=a"+aB=OLAB+α,LAB利用同一构件上两点间的公式，可以求C点的速度、加速度。1.速度分析Ve= Vg +VcB方向：xxABBC大小：?IaBO,?若一个矢量方程式中，有两个未知量时则可以求解。画速度多边形：任选一点P作为速度极点（V,=0），选比例尺μ,，VcB作速度多边形，交于C点，则の2（逆时针）。IBC

内 容 【例3-4】 如图 3-7a 所示的六杆机构，已知各构件尺寸，原动件 1 的角速度为 1 、角 加速度为 1 。求图示位置时，构件 2 的角速度 2 、角加速度  2 及构件 2 上 C 点、 D 点的速度 C v 、 D2 v 和加速度 C a 、 D2 a 。 图 3-7 解：先作准确的机构位置图。构件 1 的运动参数已知，则 B 点的速度、加速度 可求。 VB =1LAB ； AB AB t B n aB aB a L 1L 2 = + =1 + 。 利用同一构件上两点间的公式，可以求Ｃ点的速度、加速度。 1．速度分析 VC =VB +VCB 方向： ║xx ┴AB ┴BC 大小： ？ AB1 l ？ 若一个矢量方程式中，有两个未知量时则可以求解。 画速度多边形：任选一点 P 作 为速度极点（ VP = 0 ），选比例尺  v ， 作速度多边形，交于 C 点，则 2 （逆时针）。 CB BC V l  =

ac=ag+acB=a+agXαcB+acB1BC方向：//xxB-→AIBAC→B?大小：？IceO?IABOTABO)作加速度多边形：任选加速度极点p（a=0），作加速度多边形ac，转向与dce的方向p→b→n-→c（加速度分量用虚线表示），有：αz1Bc一致。求D点的速度、加速度：根据同一构件上两点间的关系，可以列出D与B和D与C之间的速度、加速度关系，再用图解法求解。V, = V. +Vpr = Vc +VDc速度多边形中分别过点b、c作VpB和VDc的方向线bd和cd，两者的交点为d，则pd即代表D点的速度。由图可见△bcd与△BCD的对应边相互垂直，所以两者相似，且其角标字母的顺序方向也一致，我们把图形bcd称为位置图图形BCD的速度影像。小结：速度、加速度多边形中分别为速度、加速度的极点（零点）；p,p由p指向任意一个小写字母的向量代表该点的绝对速度，由p指向任意带“，”的向量表示该点的绝对加速度；连接p以外任意两个点的小写字母的向量代表该两点的相对速度，速度的指向与下角标相反，如：b→c代表VcB；连接p以外任意两个带‘的小写字母的向量代表该两点的相对加速度，加速度的指向与下角标相同。如：b'→c代表acB影像定理：同一构件上各点的位置多边形相似于这些点的速度多边形和加速度多边形，而且字母绕行的方向一致。当已知一个构件上两点的速度、加速度时，则构件上其他任一点的速度、加速度便可利用影像原理求出，而不需再列方程式求解

C B CB a a a = + = n B a + t B a + n CB a + t CB a 方向：∥ xx B →A ⊥ BA C → B ⊥ BC 大小： ？ 2 AB 1 l  AB 1 l  2 CB2 l ？ 作加速 度多 边形 ：任 选加 速度 极点 ' p （ a p = 0 ），作 加速 度多 边形 ' p → ' b → ' n → ' c （加速度分量用虚线表示），有： BC t CB l a  2 = ，转向与 t CB a 的方向 一致。 求 D 点的速度、加速度： 根据同一构件上两点间的关系，可以列出 D 与 B 和 D 与 C 之间的速度、加速度关系， 再用图解法求解。 VD =VB +VDB =VC +VDC 速度多边形中分别过点 b 、c 作 VDB 和 VDC 的方向线 bd 和 cd ，两者的交点为 d ，则 pd 即代表 D 点的速度。 由图可见 bcd 与 BCD 的对应边相互垂直，所以两者相似，且其角标字母的顺序方 向也一致，我们把图形 bcd 称为位置图图形 BCD 的速度影像。 小结：速度、加速度多边形中 ⚫ p ， ' p ——分别为速度、加速度的极点（零点）； ⚫ 由 p 指向任意一个小写字母的向量代表该点的绝对速度， 由 ' p 指向任意带“’”的向量表示该点的绝对加速度； ⚫ 连接 p 以外任意两个点的小写字母的向量代表该两点的相对速度，速度 的指向与下角标相反，如： b →c 代表 VCB ； ⚫ 连接 ' p 以外任意两个带‘的小写字母的向量代表该两点的相对加速度， 加速度的指向与下角标相同。如： ' b → ' c 代表 aCB 。 影像定理： 同一构件上各点的位置多边形相似于这些点的速度多边形和加速度多边 形，而且字母绕行的方向一致。 当已知一个构件上两点的速度、加速度时，则构件上其他任一点的速度、加速度便可 利用影像原理求出，而不需再列方程式求解

内容二、组成移动副的两构件重合点间的速度、加速度关系【例3-5】求图3-7a六杆机构中构件5的角速度の,和角加速度αs。构件4、5组成移动副，并且导路是运动的情况，就存在组成移动副的两构件重合点间的关系问题。选择D点作为4和5的重合点。1.速度分析VDs=Vp4+VDSD4方向：DF已知（由上例）//EF2大小：？已知（由上例）在例3-4的图3-7b中，过点d（d,)作vpspa的方向线，过点p作vps的方向线，两者的交点即为d，所以α==-，由的方向，得α,为顺时针。且α=0。IDFloF2.加速度分析apsD4dpsD4aps= αs + dps = D4?大小：20,VDSD4？已知 (由上例)lDros方向：将vpspa沿转90°EFD→F1DF已知（由上例）式中，dpsD4为D,相对于D,的哥氏加速度，其大小为apsD4=20,VDsD4，方向为将相对速度VDsD4的方向沿牵连角速度の,方向转90%在例3-4图3-7c中，过点d作d,k代表a，过点k作a..的方向线；再过点p作png代表a's，过点n作ap,的方向线，两者的交点即为d。故=-兰，将代表dbs的向量平移到D,点，得α,为顺时针。IDFIDF说明：解题时可将杆件扩大到平面内任一点，作为构件4和5的重合点，但选择未知量最少的点求解最方便

内 容 二、组成移动副的两构件重合点间的速度、加速度关系 【例 3-5】 求图 3-7a 六杆机构中构件 5 的角速度 5 和角加速度  5 。 构件 4、5 组成移动副，并且导路是运动的情况，就存在组成移动副的两构件重合点 间的关系问题。选择 D 点作为 4 和 5 的重合点。 1. 速度分析 D5 v = D4 v + D D5 4 v 方向： ⊥ DF 已知（由上例） ∥EF 大小： ？ 已知（由上例） ？ 在例 3-4 的图 3-7b 中，过点 2 d ( 4 d )作 D D5 4 v 的方向线，过点 p 作 D5 v 的方向线，两者的 交点即为 5 d ，所以 5 5 5 D v DF DF v pd l l    = = ，由 D5 v 的方向，得 5 为顺时针。且   5 4 = 。 2. 加速度分析 D5 a = 5 n D a + 5 t D a = D4 a + 5 4 k D D a + 5 4 r D D a 大小： 2 DF 5 l  ？ 已知（由上例） 5 5 4 2 D D  v ？ 方向： D → F ⊥ DF 已知（由上例） 将 D D5 4 v 沿 5 转 90° ∥ EF 式中， 5 4 k D D a 为 D5 相对于 D4 的哥氏加速度，其大小为 5 4 5 5 4 2 k D D D D a v =  ，方向为将相对 速度 D5D4 v 的方向沿牵连角速度 5 方向转 90°。 在例 3-4 图 3-7c 中，过点 2 d 作 2 d k  代表 D D4 5 K a ，过点 k  作 D D4 5 r a 的方向线；再过点 p  作 5 pn   代表 5 n D a ，过点 5 n  作 5 t D a 的方向线，两者的交点即为 5 d 。故 5 5 5 5 t D a DF DF a n d l l      = = ，将代表 t D a 5 的向量 5 5 nd  平移到 D5 点，得 5 为顺时针。 说明： 解题时可将杆件扩大到平面内任一点，作为构件 4 和 5 的重合点，但选择未知 量最少的点求解最方便

内容当机构复杂时，可用瞬心法和相对运动图解法结合使用，可使问题简化。如可用瞬心法找到某构件的绝对瞬心，从而就知道了其上点的绝对速度方向再进行求解。思考：在什么情况下存在哥氏加速度？本讲小结]本讲课主要讲了：（1）同一构件上两点间的速度、加速度关系（2）不同构件重点间的速度、加速度关系（3）速度多边形、加速度多边形的绘制及应用（4）影像原理思考题3-6[本讲课程的作业]3-9

内 容 当机构复杂时，可用瞬心法和相对运动图解法结合使用，可使问题简化。 如可用瞬心法找到某构件的绝对瞬心，从而就知道了其上点的绝对速度方向， 再进行求解。 思考：在什么情况下存在哥氏加速度？ [本讲小结] 本讲课主要讲了： （1）同一构件上两点间的速度、加速度关系 （2）不同构件重点间的速度、加速度关系 （3）速度多边形、加速度多边形的绘制及应用 （4）影像原理 [本讲课程的作业] 3-9 思考题 3-6