《机械工程测试技术》课程授课教案（讲稿）第2章 测试装置的基本特性（2/3）

机械工程测试技术2.3 测试装置的动态特性■动态特性：测试装置对随时间变化较快的输入所呈现出来的传输特性。■惯性元件及储能元件的存在使测试装置对变化快慢（频率）不同的输入产生不同的响应。■由于测试信号通常包含多种频率的谐波分量，因此测试装置的动态特性将直接影响信号的不失真传输。测试装置动态特性的描述方法：时间域一脉冲响应函数（微分方程隐含）频率域——频率响应函数复频域——传递函数2.3.1动态特性的时域描述一一微分方程（脉冲响应函数）在时域内，测试装置的动态特性可以用线性微分方程来描述，也可以用其中隐含的脉冲响应函数h()来描述。1.脉冲响应函数给测试装置输入一单位脉冲信号，所对应输出的时域表达函数称为脉冲响应函数，记为h(t)。2.测试装置对任意输入的响应在时域内，系统的输入x()、输出(t)及脉冲响应函数h(t)三者之间的关系为y(t)= h(t) * x(t)测试装置在任意输入下所产生的响应等于系统的脉冲响应函数与输入信号的卷积分。2.3.2动态特性的复频城描述一一传递函数利用拉普拉斯变换（LT)，可以将时域中由系统微分方程隐含的动态特性转换到复频域进行描述一一传递函数。■传递函数H(s)：输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换X(s)之比。即-Y(s)_b.s"+bm-s-"+..+b,s+boH(s)=X(s)a,s"+ans"- +.+as+aos=α+jo—算子α一反映测试装置的暂态特性jo——反映测试装置的稳态特性《机械工程测试技术》第05讲1 /7

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 1 / 7 2.3 测试装置的动态特性 ■ 动态特性：测试装置对随时间变化较快的输入所呈现出来的传输特性。 ■ 惯性元件及储能元件的存在使测试装置对变化快慢（频率）不同的输入产生不同的 响应。 ■ 由于测试信号通常包含多种频率的谐波分量，因此测试装置的动态特性将直接影响 信号的不失真传输。 测试装置动态特性的描述方法： 时间域——脉冲响应函数（微分方程隐含） 频率域——频率响应函数 复频域——传递函数 2.3.1 动态特性的时域描述——微分方程（脉冲响应函数） 在时域内，测试装置的动态特性可以用线性微分方程来描述，也可以用其中隐含的脉 冲响应函数 h(t) 来描述。 1. 脉冲响应函数 给测试装置输入一单位脉冲信号，所对应输出的时域表达函数称为脉冲响应函数，记 为 h(t) 。 2. 测试装置对任意输入的响应 在时域内，系统的输入 x(t) 、输出 y(t) 及脉冲响应函数 h(t) 三者之间的关系为 y(t) = h(t) * x(t) 测试装置在任意输入下所产生的响应等于系统的脉冲响应函数与输入信号的卷积分。 2.3.2 动态特性的复频域描述——传递函数 利用拉普拉斯变换（LT），可以将时域中由系统微分方程隐含的动态特性转换到复频域 进行描述——传递函数。 ■ 传递函数 H(s) ：输出信号的拉氏变换 Y(s) 与输入信号的拉氏变换 X(s) 之比。即 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) a s a s a s a b s b s b s b X s Y s H s n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − −   s = + j ——算子  ——反映测试装置的暂态特性 j ——反映测试装置的稳态特性

机械工程测试技术关于传递函数的儿点说明：●分母中s的最高幂次n称为系统的阶次，对于稳定的系统n≥m传递函数H(s）虽然由输入、输出信号定义，但其反映的是测试装置的特性，与输入、输出信号无关！●传递函数是一种反映测试装置动态特性的数学模型，因此不同的测试装置可能具有相同形式的传递函数。H(s)的分母和分子均为关于算子s的多项式，分母多项式的系数取决于系统的物理结构，而分子多项式的系数则取决于输入、输出点的位置。称传递函数分母多项式中的s的幂次n为系统的阶次。●由传递函数的定义可知：Y(s)=H(s)X(s)。因此，只要已知其中的两个要素就可确定出另一个。2.3.3动态特性的频描述一一频率响应函数利用傅立叶变换，可以将时域中由系统微分方程隐含的动态特性转换到频域进行描述一一频率响应函数。频率响应函数也可直接将传递函数中的s替换成jの而得到。■频率响应函数Hjの）：初始条件为零时输出信号的单边傅里叶变换与输入信号的单边傅里叶变换之比。即Y(jo)_ b.(jo)" +bm-(jo)"- +..+b,(jo)+boH(jo)=X(jo)a,(jo)"+an--(jo)"-l+.+a(jo)+ao一般情况下H(jo)为复数，因此可表示成H(j)= P(0) + jQ(0)或H(j0)= A(0)e/e(a)其中—一实频特性P()= Re[H(jo)]一一虚频特性Q(0) = Im[H(jo)]A(0)=|H(j0)|= / P2(0)+Q()—一幅频特性(0) = ZH(jo) = tan" ()一一相频特性P(α)■频率响应函数反映了测试装置对正弦输入的稳态正弦响应特性。幅频特性A(の）反映了测试装置在传输频率为的正弦信号时幅值的放大或衰减倍数，相频特性反映了测试装置在传输频率为の的正弦信号时相位的移动量。■频率特性曲线（波德图)：A(の)-の曲线称为幅频特性曲线，(の)-の曲线称为相频特性曲线【の按对数刻度，A(の）按分贝（dB）刻度]。2/7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 2 / 7 ■ 关于传递函数的几点说明： ● 分母中 s 的最高幂次 n 称为系统的阶次，对于稳定的系统 n≥m。 ● 传递函数 H(s) 虽然由输入、输出信号定义，但其反映的是测试装置的特性，与输入、 输出信号无关！ ● 传递函数是一种反映测试装置动态特性的数学模型，因此不同的测试装置可能具有 相同形式的传递函数。 ● H(s) 的分母和分子均为关于算子 s 的多项式，分母多项式的系数取决于系统的物理 结构，而分子多项式的系数则取决于输入、输出点的位置。称传递函数分母多项式中的 s 的 幂次 n 为系统的阶次。 ● 由传递函数的定义可知： Y(s) = H(s)X(s) 。因此，只要已知其中的两个要素就可确 定出另一个。 2.3.3 动态特性的频域描述——频率响应函数 利用傅立叶变换，可以将时域中由系统微分方程隐含的动态特性转换到频域进行描述— —频率响应函数。频率响应函数也可直接将传递函数中的 s 替换成 j 而得到。 ■ 频率响应函数 H( j) ：初始条件为零时输出信号的单边傅里叶变换与输入信号的单 边傅里叶变换之比。即 1 0 1 1 1 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a j a j a j a b j b j b j b X j Y j H j n n n n m m m m + + + + + + + + = = − − − −            一般情况下 H( j) 为复数，因此可表示成 H( j) = P() + jQ() 或 ( ) ( ) ( )e     j H j = A 其中 P() = Re[H( j)] ——实频特性 Q() = Im[H( j)] ——虚频特性 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 A  = H j = P  + Q  ——幅频特性 ( ) ( ) ( ) ( ) tan 1      P Q H j − =  = ——相频特性 ■ 频率响应函数反映了测试装置对正弦输入的稳态正弦响应特性。幅频特性 A() 反映 了测试装置在传输频率为  的正弦信号时幅值的放大或衰减倍数，相频特性反映了测试装置 在传输频率为  的正弦信号时相位的移动量。 ■ 频率特性曲线（波德图）： A() − 曲线称为幅频特性曲线， () − 曲线称为相 频特性曲线 [  按对数刻度， A() 按分贝（dB）刻度]

机械工程测试技术幅A(0)1o频(dB)特10性曲20线10-11d010i10t100)相40频特-80性120曲160线180°1d1d1d10100频率特性曲线（波德图）【例 2-1】求输入信号()=20si1001 经过图示一阶系统后所得到的稳态响应。x(1) +AA10.005s+1解：1H(s)=0.005s+1110.0050H(jo)=J0.0050+1"1+(0.0050)+J(1+(0.005)2A(0)= /P2(0)+Q'(0) =J1+ (0.005@)2(0)= tan = tan'(0.00)P(0)将信号频率の=100rad/s代入，得A(0=100)=0.8944P(0=100)=-26.6根据线性系统的频率保持性，装置的稳态输出y(）也是频率の=100rad/s的正弦信号，但幅值变化了A(@=100)倍，相位移动了(①=100)。因此装置的稳态输出为y(t)= 20 . A( =100) ·sin[100t + p(=100))=20×0.8944× sin[100t+(-26.6°)]=17.888sin(100t-26.6°)3/7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 3 / 7 频率特性曲线（波德图） 【例 2-1】求输入信号 x(t) = 20sin100t 经过图示一阶系统后所得到的稳态响应。 x(t) 0.005 1 1 o s + t ? 2 0 解： 0.005 1 1 ( ) + = s H s ) 1 (0.005 ) 0.005 ( 1 (0.005 ) 1 0.005 1 1 ( ) 2 2      + + − + = + = j j H j 2 2 2 1 (0.005 ) 1 ( ) ( ) ( )     + A = P + Q = tan (0.005 ) ( ) ( ) ( ) tan 1 1      − − = = P Q 将信号频率  =100rad / s 代入，得 A( =100) = 0.8944 ( =100) = −26.6 根据线性系统的频率保持性，装置的稳态输出 y(t) 也是频率  =100rad / s 的正弦信号， 但幅值变化了 A( =100) 倍，相位移动了 ( =100) 。因此装置的稳态输出为 y(t) = 20  A( =100)sin[100t +( =100)] 20 0.8944 sin[100 ( 26.6 )]  =   t + − 17.888sin(100 26.6 )  = t −

机械工程测试技术x(t)y(t)42020×0.894410.005s+1-26.6测试装置的动态特性在不同域中的描述及相互关系：M输出测试装置输入XH(jo)三Y(jw)频率域X(jo)I7y(t)=h(t)时间域x(t)*I-复频域X(s)x=Y(s)H(s)2.3.4各种测试装量的动态特性1.零阶系统比例环节微分方程y(t) = Sx(0)传递函数H(s)=S频响函数H(jo)=S幅频特性A(0)=S相频特性p(0)=0■常见的零阶系统有：变阻器、齿轮传动装置等。2.一阶系统惯性环节dy(t)微分方程+aoy()=b,x(t)ardt1传递函数H(s)=S.-TS +1式中S=bo/ao阶系统的静态灵敏度；一阶系统的时间常数。t=a,/ao归一化处理（设S=1）后：1传递函数H(s)=TS+14/7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 4 / 7 x(t) 0.005 1 1 o s + t 2 0 20 0.8944 o t y(t)  − 26.6 测试装置的动态特性在不同域中的描述及相互关系： 频率域 输 入 测试装置 输 出 复频域 时间域 y(t) X(s) H(s) Y(s) h(t) X( j) H( j) Y( j) x(t)   = =  = 2.3.4 各种测试装置的动态特性 1. 零阶系统——比例环节 微分方程 y(t) = Sx(t) 传递函数 H(s) = S 频响函数 H( j) = S 幅频特性 A() = S 相频特性 () = 0 ■ 常见的零阶系统有：变阻器、齿轮传动装置等。 2. 一阶系统——惯性环节 微分方程 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 a y t b x t dt dy t a + = 传递函数 1 1 ( ) + =  s H s S  式中 S = b0 a0 ——一阶系统的静态灵敏度； = a1 a0  ——一阶系统的时间常数。 归一化处理（设 S =1 ）后： 传递函数 1 1 ( ) + = s H s 

机械工程测试技术1频响函数H(jo)=jot+11幅频特性A(0)=Vi +(ot)?相频特性p(o)=-tan-'(ot)100.11TrC2100.1(m)s17Y一阶系统的频率特性曲线一阶系统的动态特性的特点：一阶系统的动态特性只与时间常数T有关。●当の=1/时，A()=1/V/2，9(0)=-45：当0>1/t时，()→-90，A(の)以-20dB/十倍频程的速率衰减。因此，上述的一阶系统具有“低通”的特性。■常见的一阶系统有液体温度计、忽略质量的单自由度振动系统、RC低通滤波器等。3.二阶系统一一振荡环节d'yo).dy(t)微分方程+aoy(t)=b,x(t)02adt?dto,传递函数H(s)= S.2+250.+0式中S=b/ao二阶系统的静态灵敏度：O,=ya/a,二阶系统的固有频率：a,S二阶系统的阻尼比。2Jaoa2归一化处理后：o传递函数H(s)=$?+250,s+0.5/7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 5 / 7 频响函数 1 1 ( ) + =   j H j 幅频特性 2 1 ( ) 1 ( )   + A = 相频特性 ( ) tan ( ) 1    − = − 一阶系统的频率特性曲线 ■ 一阶系统的动态特性的特点： ● 一阶系统的动态特性只与时间常数  有关。 ● 当  =1/ 时， A() =1/ 2 ，  () = −45 ；当  1/ 时， A() 1，()  − ； 当  1/ 时，  () →−90 ， A() 以-20dB/十倍频程的速率衰减。因此，上述的一阶系统 具有“低通”的特性。 ■ 常见的一阶系统有液体温度计、忽略质量的单自由度振动系统、RC 低通滤波器等。 3. 二阶系统——振荡环节 微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2 2 a y t b x t dt dy t a dt d y t a + = 传递函数 2 2 2 2 ( ) n n n s s H s S    + + =  式中 S = b0 a0 ——二阶系统的静态灵敏度； n = a0 a2 ——二阶系统的固有频率； 0 2 1 2 a a a  = ——二阶系统的阻尼比。 归一化处理后： 传递函数 2 2 2 2 ( ) n n n s s H s    + + =

机械工程测试技术I频响函数H(jo)=2 +j·25001幅频特性A(0) =Va1-r3)2 +(25)2625r相频特性p(o)= - tanTa-00式中频率比，车r=输入信号的频率与系统固有频率之比值。Q.0P/()3102E=0.8/20=1.0400.10.20.51.0o=0.2=0.44.=0.8=0.6(0)d90-135180二阶系统的频率特性曲线1二阶系统的动态特性的特点：面二阶系统的动态特性受固有频率，和阻尼比的共同影响。O●阻尼比的大小影响系统的工作状态：无阻尼（5=0）、过阻尼（>1）、欠阻尼(0>0,时，9(の)-→-180°，A()以-40dB/十倍频程的速率衰减。因此，上述的二阶系统也6/7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 6 / 7 频响函数 r j r j H j n n        1 2 1 1 2 1 ( ) 2 2 − +  =         +          − = 幅频特性 2 2 2 2 2 2 (1 ) (2 ) 1 1 2 1 ( ) r r A n n        − + =                 +                 − = 相频特性 2 1 2 1 1 2 tan 1 2 ( ) tan r r n n − = −         −         = − − −         式中 n r   = ——频率比，输入信号的频率与系统固有频率之比值。 二阶系统的频率特性曲线 ■ 二阶系统的动态特性的特点： ● 二阶系统的动态特性受固有频率  n 和阻尼比  的共同影响。 ● 阻尼比  的大小影响系统的工作状态：无阻尼（  = 0 ）、过阻尼（  1 ）、欠阻尼 （ 0   1 ）、临界阻尼（  =1 ）。 ● 当  = 0.707 且  4 n  0. 时， A() 1，() 基本上与输入信号的频率成正比。当  n 时，  () →−180 ，A() 以-40dB/十倍频程的速率衰减。因此，上述的二阶系统也

机械工程测试技术具有“低通”的特性。●二阶系统的共振现象幅值共振：共振频率0,=0,/1-2g2（当0<<0.707时）相位共振：当0=0,时，必有(0=0）=-90°。■典型的二阶系统有压电式加速度计、磁电式速度计、应变式切削测力仪、光线示波器振子、笔式记录仪的记录头、膜片式压力传感器、质量-弹簧-阻尼系统等。4.高阶系统动态特性简介高阶系统可以看成是由若干个零、一、二阶系统经过串联、并联或反馈组成。·多个环节串联H(s)=H(s)·多个环节并联H(s)=H,(s)?存在反馈H.(s)（正反馈时取负，负反馈时取正）H(s)=1±H,(s)HiX(s)Y(s)Ho(s)Y()X(s)HoOH2()H2(S)H(s)c)b)a)高阶系统的传递函数7 / 7《机械工程测试技术》第05讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 05 讲 7 / 7 具有“低通”的特性。 ● 二阶系统的共振现象 幅值共振：共振频率 2 r =n 1− 2 （当 0    0.707 时） 相位共振：当  = n 时，必有  ( =n ) = −90 。 ■ 典型的二阶系统有压电式加速度计、磁电式速度计、应变式切削测力仪、光线示波 器振子、笔式记录仪的记录头、膜片式压力传感器、质量-弹簧-阻尼系统等。 4. 高阶系统动态特性简介 高阶系统可以看成是由若干个零、一、二阶系统经过串联、并联或反馈组成。 ● 多个环节串联 = = n i i H s H s 1 ( ) ( ) ● 多个环节并联 = = n i i H s H s 1 ( ) ( ) ● 存在反馈 1 ( ) ( ) ( ) H s H s H s f o  = （正反馈时取负，负反馈时取正） 高阶系统的传递函数