《机械工程测试技术》课程授课教案（讲稿）第1章 信号及其描述（2/3）

机械工程测试技术第1章信号及其描述1.2信号的频域描述说明信号频域描述的方法、目的，频谱的概念，频域描述与时域描述的关系等问题。1.2.1周期信号与离频谱1.周期信号频谱的三角函数形式展开式周期信号是由一系列频率互不相同的谐波（正弦信号）叠加而成的，这些谐波分量的幅值、初相位与谐波频率之间的关系就是周期信号的频谱。●进行周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶级数。■满足狄里赫利（Dirichlet）条件的周期信号x(t），其频谱可由下面三角函数形式的傅里叶级数得到：【狄氏条件：（1）函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（左、右极限均存在）：(2）在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。】x(t)=ag +E(a, cosnost+b, sinnoot)(n= 1,2,3, ..)n=l《机械工程测试技术》第02讲1/5

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 02 讲 1 / 5 第 1 章 信号及其描述 1.2 信号的频域描述 说明信号频域描述的方法、目的，频谱的概念，频域描述与时域描述的关系等问题。 1.2.1 周期信号与离散频谱 1. 周期信号频谱的三角函数形式展开式 ● 周期信号是由一系列频率互不相同的谐波（正弦信号）叠加而成的，这些谐波分量 的幅值、初相位与谐波频率之间的关系就是周期信号的频谱。 ● 进行周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶级数。 ■ 满足狄里赫利（Dirichlet）条件的周期信号 x(t) ，其频谱可由下面三角函数形式的 傅里叶级数得到： [ 狄氏条件： ⑴ 函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（左、右极限均存在）； ⑵ 在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。 ] ( ) ( cos sin ) ( 1,2,3, ) 1 = 0 + 0 + 0 =   = x t a a n t b n t n n n  n 

机械工程测试技术T01x0dta.T。22式中一傅里叶系数a.=x(t)cosnotdtTJ12元b, = (0)si nagada式中一x(t)的周期T。=2元/T。——x(1)的角频率（基频）一谐波次数2一次谐波n=1n=2二次谐波n>2高次谐波更为直观的频谱表达式x(t)= A +ZA, sin(no.t+p.)(n=1,2,3,.)ral式中常值分量或直流分量；即信号的均值；Ag=ao-一Asin(not+e.)一一第n次谐波分量：A,=a,+b一一第n次谐波分量的幅值（幅值谱）；P.=tan-(a/b,）一一第n次谐波分量的初相位（相位谱）。周期信号是由其直流分量和频率为基频整数倍的正弦谐波分量叠加而成的，各次谐波分量的频率、幅值、初相位一般是不同的。A.tPntw.20,30.40,5001a00.20.30,40,50.0相位谱幅值谱三角函数形式的频谱图（单边频谱图）【例1-1】求周期方波的频谱。2 /5《机械工程测试技术》第02讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 02 讲 2 / 5 式中            = = =    − − − 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 ( )sin 2 ( )cos 2 ( ) 1 T n T T n T T T x t n tdt T b x t n tdt T a x t dt T a   ——傅里叶系数 式中 T0 —— x(t) 的周期 0 = 2π T0 —— x(t) 的角频率（基频） n ——谐波次数 n = 1 —— 一次谐波 n = 2 —— 二次谐波 n  2 —— 高次谐波 更为直观的频谱表达式 ( ) sin( ) ( 1,2,3, ) 1 = 0 + 0 + =   = x t A A n t n n n   n 式中 A0 = a0 ——常值分量或直流分量；即信号的均值； sin( ) n 0 n A n t +  ——第 n 次谐波分量； 2 2 An = an + bn ——第 n 次谐波分量的幅值（幅值谱）； tan ( / ) 1 n an bn −  = ——第 n 次谐波分量的初相位（相位谱）。 周期信号是由其直流分量和频率为基频整数倍的正弦谐波分量叠加而成的，各次谐波 分量的频率、幅值、初相位一般是不同的。  An  n 0 20 30 40 幅值谱  0 20 3 0 50 o o 相位谱 50 40 三角函数形式的频谱图（单边频谱图） 【例 1-1】求周期方波的频谱

机械工程测试技术x(t) t-T-2T.2-1周期方波T.1≤1<0)2解：信号的时域函数表达式为x（t)=，因此其傅里叶系数为(0≤1<F)-21112x(t)dt=0a.= AgT.J27--a,=34o2(n=1,3,5,...)b,=(1-cosn元)=mn元[o(n= 2,4,6...)周期方波只包含奇次谐波分量，各次谐波分量的幅值以1/n的规律衰减，初相位均为0。Anf1fn tT.4443元5元7元.1003005a030050o70070ob)a)周期方波的频谱图a)幅值谱b)相位谱（对照周期方波的频谱图对频谱的概念加以进一步的说明）■周期信号频谱的特点●离散性。周期信号的频谱是离散的，由一系列离散的谱线组成，每条谱线对应于一个谐波分量。●谐波性。每条谱线只出现在基频的整数倍上，不存在基频非整数倍的频率分量。衰减性。工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增加而减小的。为了简化设计、分析处理，通常可忽略较高次谐波的影响。2.周期信号频谱的复指数形式展开式欧拉（Euler）公式：3 /5《机械工程测试技术》第02讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 02 讲 3 / 5 o 1 -1 x(t) 2 T0 − 2 T0 t 周期方波 解：信号的时域函数表达式为          − −   = ) 2 1 (0 0) 2 1 ( ( ) 0 0 T t t T x t ，因此其傅里叶系数为 ( ) 0 1 2 0 2 0 0 0 0 = = = − T T x t dt T a A ( )cos 0 2 2 2 0 0 0 0 = = − T n T x t n tdt T a       = = = = − = − 0 ( 2,4,6 ) ( 1,3,5, ) π 4 (1 cos ) 2 ( )sin 2 2 2 0 0 0 0   n n n n n x t n tdt T b T n T    周期方波只包含奇次谐波分量，各次谐波分量的幅值以 1 n 的规律衰减，初相位均为 0。 周期方波的频谱图 a) 幅值谱 b) 相位谱 （对照周期方波的频谱图对频谱的概念加以进一步的说明） ■ 周期信号频谱的特点 ● 离散性。周期信号的频谱是离散的，由一系列离散的谱线组成，每条谱线对应于一 个谐波分量。 ● 谐波性。每条谱线只出现在基频的整数倍上，不存在基频非整数倍的频率分量。 ● 衰减性。工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增加而减小 的。为了简化设计、分析处理，通常可忽略较高次谐波的影响。 2. 周期信号频谱的复指数形式展开式 欧拉（Euler）公式：

机械工程测试技术e+jan=cosot±sinot从而有cosot=(e-jar+ejar)sinot:-ejor)将它们代入x(t)=ao +(a, cosnot+b, sin not)(n=1,2,3,.-)n=l后，得到t(a, + jb,)e-m +(a, - jb,)erm)x(t)=a. +2=2令c, =(an - jb,),C-n==(a, + jb,)Co=ao,2则me +Cheme'](n=1,2,3,..)x(t)=CoZc,emey或x(t)=(n =±1,+2,±3, ..)=上面两式称为复指数形式的傅立叶级数。根据c的定义不难得到J序 x(t)e-me' dtc, ==(an - jb,)=(n =±1,±2,±3,...)2T一般情况下c，为一个复数，因此可以表示成C,=CmR + jcm =cJeJ9式中Ck—一c,的实部；c——c,的虚部;e.——c,的模， le,|= om+c=49——c,的辐角（相角），,=tan-CCnRc,与c-,为一对共轭复数，即c,=c,或c-n=c，因此c=c-n，P,=-P-n。●由于复指数表示一个向量（正弦分量），因此周期信号也可以看成是无穷多个向量的叠加。复指数形式展开式中负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际的物理意义。●以频率nの.为横坐标，以c，为纵坐标作图，得到如下形式的双边频谱图。4/5《机械工程测试技术》第02讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 02 讲 4 / 5 e t t j t    = cos  sin  从而有 ( ) 2 1 cos j t j t t e e    = + − ( ) 2 1 sin j t j t t j e e    = − − 将它们代入 ( ) ( cos sin ) ( 1,2,3, ) 1 = 0 + 0 + 0 =   = x t a a n t b n t n n n  n  后，得到   = − = + + + − 1 0 ( ) ] 2 1 ( ) 2 1 ( ) [ 0 0 n jn t n n jn t n n x t a a jb e a jb e   令 ( ) 2 1 ( ), 2 1 , 0 0 n n n n n n c = a c = a − jb c− = a + jb 则 ( ) [ ] ( 1,2,3, ) 1 0 = +  0 + 0 =   = − x t c c− e c e n n jn t n jn t n   或 ( ) ( 1, 2, 3, ) =  0 =      =− x t c e n n jn t n  上面两式称为复指数形式的傅立叶级数。根据 n c 的定义不难得到 ( ) ( 1, 2, 3, ) 1 ( ) 2 1 2 2 = − =  x t e − 0 dt n =     T c a jb T T jn t n n n  一般情况下 n c 为一个复数，因此可以表示成 n j n nR nI n c c jc c e  = + = 式中 nR c —— n c 的实部； nI c —— n c 的虚部； n c —— n c 的模， 2 2 2 n n nR nI A c = c + c = ；  n —— n c 的辐角（相角）， nR nI n c c 1 tan −  = 。 n c 与 n c− 为一对共轭复数，即 * * n n n n c = c c = c − 或 − ，因此 n n c c = − ， n = − −n 。 ● 由于复指数表示一个向量（正弦分量），因此周期信号也可以看成是无穷多个向量的 叠加。 ● 复指数形式展开式中负频率的出现，仅仅是数学推导的结果，并无实际的物理意义。 ● 以频率  0 n 为横坐标，以 n c 为纵坐标作图，得到如下形式的双边频谱图

机械工程测试技术Ic.21212222个元223元3元TT5元5元7元7元11450.@-70,-50-30-0,0030e700【例1-1】周期方波复指数形式的频谱图（双边频谱图）与下图比较：A.元4X43元5元7元1.0030.5070W.正、余弦信号（单频信号）的单、双边频谱：A.1x(t) x(t)=sinw,t000单边频谱图Ic,l +x(t)tx(t)=coso,t:00-0。0双边频谱图5/5《机械工程测试技术》第02讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 02 讲 5 / 5  Cn 0 3 0 50 7 0 π 2 3π 2 5π 2 7π 2 o π 2 3π 2 5π 2 7π 2 − 70 − 50 − 30 −0 【例 1-1】周期方波复指数形式的频谱图（双边频谱图） 与下图比较：  An 0 3 0 50 7 0 π 4 3π 4 5π 4 7π 4 o 正、余弦信号（单频信号）的单、双边频谱： x(t) t x t t 0 ( ) = sin x(t) t x t t0 ( ) = cos 单边频谱图 o 0  An o o 双边频谱图 o 0  n c −0