《机械工程测试技术》课程授课教案（讲稿）第1章 信号及其描述（3/3）

机械工程测试技术1.2.2非周期信号的频谐●非周期信号也是由一系列频率互不相同的谐波（正弦信号）叠加而成的。●进行非周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶变换。注：非周期信号可视为周期T→的周期信号。谱线间隔△の=の=2元/T→d0，谐波频率nの。→の（连续变化），因此非周期信号的频谱是连续的。X(J)=x(t)e-12 dt[x(e2 dfx(0)=/称X()为信号x()的傅里叶变换（FT)，x(t)为X()的傅里叶逆（反）变换（IFT)，两者组成傅里叶变换对，记为FT=X)x(0)IFT一般情况下X(）是关于频率f的复函数，故可表示为X(f)= Re[X(f)]+ j Im[X()]=|X()leJe()式中Re[X()]——X()的实部；Im[X()]—一X()的虚部：X(f)=/Re[X(f)])+Im[X(f)]——X()的模，幅值谱（密度函数）() = tan- Im[X()X（）的辐角，相位谱（密度函数）Re[X(f)]■非周期信号频谱的特点?进行非周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶变换，非周期信号x(t)的傅里叶变换X()就是它的频谱。非周期信号的频谱是连续的，其中包括有所有频率的谐波成分。●X()具有“单位频率宽度上的幅值”的含义，故非周期信号的频谱严格上应称为频谱密度函数（简称频谱）。X()称为幅值谱密度函数（简称为幅值谱）；β(f)称为相位谱密度函数（简称为相位谱）。非周期信号的谱密度X(f)为有限值，但各谐波分量的幅值X(f)df为无穷小。●傅里叶变换具有比例叠加、时移、频移、时间尺度改变、微积分、卷积分等性质。fo(t0)1 /1 4《机械工程测试技术》第03讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 03 讲 1 / 4 1.2.2 非周期信号的频谱 ● 非周期信号也是由一系列频率互不相同的谐波（正弦信号）叠加而成的。 ● 进行非周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶变换。 注：非周期信号可视为周期 T →  的周期信号。谱线间隔  =0 = 2π /T → d ，谐 波频率 n 0 → （连续变化），因此非周期信号的频谱是连续的。   − − X f = x t dt j2ft ( ) ( )e   − x t = X f df j2ft ( ) ( )e 称 X( f ) 为信号 x(t) 的傅里叶变换（FT）， x(t) 为 X( f ) 的傅里叶逆（反）变换（IFT）， 两者组成傅里叶变换对，记为 x(t) X( f ) FT IFT 一般情况下 X( f ) 是关于频率 f 的复函数，故可表示为 ( ) ( ) Re[ ( )] Im[ ( )] ( ) j f X f X f j X f X f e  = + = 式中 Re[X( f )]—— X( f ) 的实部； Im[X( f )]—— X( f ) 的虚部； ( ) Re [ ( )] Im [ ( )] 2 2 X f = X f + X f —— X( f ) 的模，幅值谱（密度函数） Re[ ( )] Im[ ( )] ( ) tan 1 X f X f f −  = —— X( f ) 的辐角，相位谱（密度函数） ■ 非周期信号频谱的特点 ● 进行非周期信号频谱分析的数学工具是傅里叶变换，非周期信号 x(t) 的傅里叶变换 X( f ) 就是它的频谱。 ● 非周期信号的频谱是连续的，其中包括有所有频率的谐波成分。 ● X( f ) 具有“单位频率宽度上的幅值”的含义，故非周期信号的频谱严格上应称为 频谱密度函数（简称频谱）。 X( f ) 称为幅值谱密度函数（简称为幅值谱）； ( f ) 称为相位 谱密度函数（简称为相位谱）。 ● 非周期信号的谱密度 X( f ) 为有限值，但各谐波分量的幅值 X ( f )df 为无穷小。 ● 傅里叶变换具有比例叠加、时移、频移、时间尺度改变、微积分、卷积分等性质。 【例 1-2】求图所示单边指数衰减信号       = − e ( 0, 0) 0 ( 0) ( )    t t x t t 的频谱

机械工程测试技术x(0tIx()01pf)a)b)解：x(t)e-j2t dt = ["Be-ale-j2" dt = βe-(a+j2dtX(f)=β-βBaβ2元/e(a+j200?α2+(2元/）2α+j2元fα+j2元fα2+(2元/)2βα..Re[X(f)]=α2 +(2/)2-β·2元fIm[X(f)]=α2+(2元f)2β幅值谱密度[x(J)=Re[X()]+Im[X()]α+(2元f)2()= tan-1 Im[X()],2元/ = tan-(-相位谱密度Re[X(f)]05I/<t/2的频谱。【例1-3】求矩形窗函数w(t)=[/≥t/20WnW(f)2b)1w(t)e-j24 dt=e-j2dt=(e~infr-e/f解：W(f)sin元ftj2元f元fsin元ft=Tsinc(ft)元ftsinx抽样函数。sinex=x【例1-4】求单位脉冲函数8(t）（8函数）的频谱。2 / 4《机械工程测试技术》第03讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 03 讲 2 / 4 解：   − − X f = x t dt j2πft ( ) ( )e    − +  − − = = 0 ( 2π ) 0 2π e e dt e dt t j ft  j f t   0 2 2 2 2 ( 2π ) (2π ) 2π 2π (2π ) e 2π f f j j f j f f j f t + − + + = + = + − = − +           ∴ 2 2 (2π ) Re[ ( )] f X f + =   2 2 (2π ) 2π Im[ ( )] f f X f + −  =   幅值谱密度 2 2 2 2 (2π ) ( ) Re [ ( )] Im [ ( )] f X f X f X f + = + =   相位谱密度 ) 2π tan ( Re[ ( )] Im[ ( )] ( ) tan 1 1   f X f X f f = = − − − 【例 1-3】求矩形窗函数       = 0 2 1 2 ( )   t t w t 的频谱。 解：       f j f f W f w t dt dt j ft j ft j f j f sin π π 1 (e e ) 2 1 ( ) ( )e e 2 π π 2 2π 2π = = = − − = − − −  − −   sin c(π ) π sin π      f f f = = x x x sin sin c = ——抽样函数。 【例 1-4】求单位脉冲函数  (t) （  函数）的频谱

机械工程测试技术S.(0) 5(0)4Eo012b)a)解：·函数的定义在微小的时间间隔ε内激发一个面积为1的矩形脉冲s.（t）（或三角形脉冲、钟形脉冲、等），当→0时，s()的极限就称为单位脉冲函数（也称为8函数），记为8(t)。1=0① (t)=101+0②(t)dt=1③若脉冲是在t=t。时刻激发的，则称为延时t。的8函数，记为8(t-t。)：若所激发的脉冲面积为K，则称为强度为K的函数，记为K8()。函数的主要性质抽样（筛选）性质： x(t)8(t)dt = x(0)8(t)dt = x(0)x(t)o(t -to)dt= x(to)8(t)dt = x(to) x(t)K(t)dt = x(0)K8()dt = Kr(0)卷积性质：x(t)* 8(t)= x(t)8(t-t)dt=x(t)(t -t)dt =x(tx(0)*8(t-t。)=x(t-to)08(1-60)(0)*8(1-10)0O函数与信号x()的卷积分函数的频谱(t)e-m dt=e°=1A()= 8函数具有无限宽广的频带，且在任何频率上的谱密度都是相等的。这种信号称为理3 / 4《机械工程测试技术》第03讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 03 讲 3 / 4 解： ●  函数的定义 在微小的时间间隔  内激发一个面积为 1 的矩形脉冲 s (t)  （或三角形脉冲、钟形脉冲、 等），当  → 0 时， s (t)  的极限就称为单位脉冲函数（也称为  函数），记为  (t) 。 ①    = 0  (t) 0 0  = t t ② ( ) =1   −  t dt ③ 若脉冲是在 0 t = t 时刻激发的，则称为延时 0 t 的  函数，记为 ( ) 0  t − t ；若所激发的 脉冲面积为 K ，则称为强度为 K 的  函数，记为 K (t) 。 ●  函数的主要性质 抽样（筛选）性质： x(t) (t)dt = x(0) (t)dt = x(0)    −  −   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x t t − t dt = x t t dt = x t    −  −   x(t)K (t)dt = x(0)K (t)dt = Kx(0)    −  −   卷积性质： x(t) * (t) = x( ) (t − )d = x( ) ( − t)d = x(t)    −  −          ( ) * ( ) ( ) 0 0 x t  t − t = x t − t  函数与信号 x(t) 的卷积分 ●  函数的频谱 ( ) ( )e e 1 π 0  = = =   − − f t dt j ft   函数具有无限宽广的频带，且在任何频率上的谱密度都是相等的。这种信号称为理

机械工程测试技术想的白噪声。A()8(00o8函数的频谱由8函数的性质及傅里叶变换的性质得到的结论域频域时18(t)18()e-12008(t-to)e~12708(f-fo)1.3信号的时域描述简介（一般了解)1.4信号的幅值域描述简介（一般了解)本章小结测试包含两个基本要素一一测试信号和测试装置。为实现不失真测试，首先要通过傅立叶级数、傅立叶变换等数学工具对测试装置所要传输、处理、记录的信号进行必要的分析（包括时域、频域、幅值域分析等），然后根据信号的特征设计、选用适当的测试装置。对于动态测试来说，反映信号频率构成的频谱尤为重要，因为任何测试装置都有其特定的动态特性，对信号中不同频率成分有着不同的影响，二者应协调，否则将会得到失真的信号。不失真测试的实现取决于信号的工作频带和测试装置的频率响应特性两个因素。4/4《机械工程测试技术》第03讲

机械工程测试技术 《机械工程测试技术》第 03 讲 4 / 4 想的白噪声。  函数的频谱 ● 由  函数的性质及傅里叶变换的性质得到的结论： 时 域 频 域  (t) 1 1  ( f ) ( ) 0  t − t 2π 0 j ft e − j f t e − 2π 0 ( ) 0  f − f 1.3 信号的时域描述简介（一般了解） 1.4 信号的幅值域描述简介（一般了解） 本章小结 测试包含两个基本要素——测试信号和测试装置。为实现不失真测试，首先要通过傅立 叶级数、傅立叶变换等数学工具对测试装置所要传输、处理、记录的信号进行必要的分析（包 括时域、频域、幅值域分析等），然后根据信号的特征设计、选用适当的测试装置。对于动 态测试来说，反映信号频率构成的频谱尤为重要，因为任何测试装置都有其特定的动态特性， 对信号中不同频率成分有着不同的影响，二者应协调，否则将会得到失真的信号。不失真测 试的实现取决于信号的工作频带和测试装置的频率响应特性两个因素