《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch1_5 双边Z变换

双边Z变换·z变换定义及收敛域·系统的稳定性和H(Z·Z反变换

•z变换定义及收敛域 •系统的稳定性和H(z) •Z反变换 双边z变换

z变换定义及收敛域8x[k]2-kX(2)= k=-00收敛域(ROC)：R_01-z-1k=0

z变换定义及收敛域 k k X z x k z −  =− ( ) =  [ ] 收敛域(ROC): R−< |z|<R+ 1)有限长序列 k N k N X z x k z − = ( ) =  [ ] 2 1 ROC 0 < z <  [ ] 0 1 0 1 [ ] R k k N x k = N      − = 其它 例： 1 1 0 1 1 ( ) − − − − = − − =  = z z X z z N k N k z  0

2)右边序列8Z-KX(z) =x[k]z[2| > R_k=N例: x[k]=α'u[k]81X(2)=Z a*z-k[ >al1-az-1k=0

2)右边序列 k k N X z x k z −  = ( ) =  [ ] 1  R− z x[k] a u[k] k 例： = 1 0 1 1 ( ) − −  = − =  = az X z a z k k k z  a

3)左边序列N2KZx[k]z-X(z) =2|< Rk=-00例: x[k]=-b*u[-k-1]82b-k_k-b*z- =Z-b-kzkYX(z) ==1-7k=0k=1k=-0011[2 <[6]1 - bz -11- b-lz

3)左边序列 k N k X z x k z − =− ( ) =  [ ] 2 x[k] = −b u[−k −1] 例： k 1 1 1 − − = bz z < b    = − − − =− = − = − 1 1 ( ) k k k k k k X z b z b z   = − = − 0 1 k k k b z b z 1 1 1 1 − − = − < R+ z

4)双边序列8x[k]z-kZX(z)=ROC R_<<Rk=-00例: x[k] =αu[k]-b*u[-k-1]11X(z)[a<2<b1 - bz-10.Z

4)双边序列 k k X z x k z −  =− ( ) =  [ ] − < < R+ ROC R z x[k] = a u[k]−b u[−k −1] 例： k k 1 1 1 1 1 1 ( ) − − − + − = az bz X z a < z < b

系统的稳定性和HZ[h[k] < 00LTI系统稳定的充要条件：k=-001H(z)的收敛域包含单位圆^ Im(z)Im(z)单位圆单位圆Re(z)Re(z)稳定因果系统非稳定非因果系统

系统的稳定性和H(z) LTI系统稳定的充要条件：  <   =− h[k] k H(z)的收敛域包含单位圆 Re(z) Im(z) 单位圆 稳定因果系统 Re(z) Im(z) 单位圆 非稳定非因果系统

Im(z)单位圆Re(z)稳定非因果系统

Re(z) 单位圆 Im(z) 稳定非因果系统

2部分分式法求7反变换1例:已知H(z)=求所有不同的收敛情况下的hk(1 - 2z-l)(1- 3z-13-2H(z2) =1- 3z -11-2z1)>3非稳定，因果h[k] = (-2 k+1 + 3k+1 )u[k]非稳定，非因果2)2<z3h[k] = -2 k+1 u[k] - 3k+1 u[-k - 1]稳定，非因果3)zk2h[k] = 2k+1 u[-k -1] - 3k+1 u[-k -1]

部分分式法求Z反变换 [ ] (1 2 )(1 3 ) 1 : ( ) 1 1 h k z z 例 已知H z − − 求所有不同的收敛情况下的 − − = 1 1 1 3 3 1 2 2 ( ) − − − + − − = z z H z 1) |z|3 非稳定，因果 [ ] ( 2 3 ) [ ] 1 1 h k u k k+ k+ = − + 2) 2<|z|<3 非稳定， 非因果 [ ] 2 [ ] 3 [ 1] 1 1 = − − − − + + h k u k u k k k 3) |z|<2 稳定，非因果 [ ] 2 [ 1] 3 [ 1] 1 1 = − − − − − + + h k u k u k k k

留数法求Z反变换k-ldzX(z)C为X(z)的ROC中的一闭合曲线x[k] :2元j=ZRes(X(z)zk-1 ) =pi

留数法求Z反变换 X z z dz j x k k c 1 ( ) 2 1 [ ] −  =  C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线 pl z k l X z z = − =  Res{ ( ) } 1

1例：X()=求：1ROC为a时的xh(1 -az-l)22]ROC为kla时的x[k+1k-121) x[k]2ji Jc(1-2元 [-> x[]=0dzk+1 [- x[k]=dzz=ax[k] = (k +1)a*u[k +1] = (k + 1)a*u[k]

1 2 (1 ) 1 ( ) − − = az 例：X z 求：1)ROC为|z||a|时的x[k] 2)ROC 为|z|<|a|时的x[k] dz az z j x k c k  − − − − = 1 2 1 2 (1 ) 1 1) [ ]  dz z a z j c k  − = + 2 1 2 ( ) 1  时 1−  k z a k dz dz x k = + = 1 [ ] x[k] (k 1)a u[k 1] (k 1)a u[k] k k = + + = + 时 1− < k x[k]=0 k = (k +1)a