《数字信号处理》课程教学资源（习题解答）ch1 离散信号与系统分析基础

77第1章1-1将序列x[K]-(1-1012;k=0,1,2,3,4]表示为u[K]及u[K]延迟的和。解: x [k]=(u[K] - u[k-1D - (u[k-1] - u[k-2]) +(u[k-3] -u[k-4])+2(u[k-4] - u[k-5])=u[K] -2u[k-1] + u[k-2] +u[k-3] + u[k-4] -2 u[k-5]1-2判断下列系统是否为（1)线性（2)因果（3)时不变（4)稳定(1)[k]=k"x[K] (2)y[K]=x [K] (3)y[K]=a+2x[k-1]a=o(4) k]=a+ xk-1 a0 (5)[k]=a[-kl a*01=0解：(1)T(ax,[k]+bx, [k] = k’ (ax [k]+ bx,[kD)= k’ax [k]+k'bx,[k]= aT(x [k]) +bT(x,[k])所以系统线性k时刻的输出只和k时刻的输入有关，系统因果。系统时变T(x[k-n])=k’x[k -n]+y[k-n]=(k-n)"x[k-n]当输入有界时输出可以是无界的，所以系统是不稳定的。(2)非线性、因果、时不变、稳定T(bx,[k]+cx, [k]]=a+Z--- (bx,[k -]]+ cx,[k-]])(3)=a+Z-- bx,[k-1]+a+Ei--s cx,[k-1]- a = by,[K]+cy,[Kk]- a所以系统非线性k时刻的输出和k+1，k+2,.,k+5时刻的输入有关，系统非因果。 x[k-n-1=[k-n] T(x[k-n)=a+)系统非时变(=-s当|x[k]≤M,<0时[y[k]≤|a| +--x[k -1]≤[a| +11M所以当α是有限时系统稳定。(4）非线性、因果、时不变、稳定(5）线性、非因果、时变、稳定1-3设确定下列系统是否为线性、时不变系统。(1)[k]= 2 x[n8[k-nM](2) [K]=x[K] 8[k-nM]其中M为正整数。解：

77 第 1 章 1-1 将序列 x [k]={1 –1 0 1 2; k=0,1,2,3,4}表示为 u[k]及 u[k]延迟的和。 解：x [k]=(u[k] - u[k-1]) – (u[k-1] - u[k-2]) +(u[k-3] - u[k-4])+2(u[k-4] - u[k-5]) =u[k] -2u[k-1] + u[k-2] +u[k-3] + u[k-4] -2 u[k-5] 1-2 判断下列系统是否为 (1)线性 (2)因果 (3)时不变 (4)稳定 (1) [ ] [ ] 2 y k = k x k (2) [ ] [ ] 3 y k = x k (3) [ ] [ ] 5 5 y k a x k l l = + å - =- a ¹ 0 (4) [ ] [ ] 5 0 y k a x k l l = +å - = a ¹ 0 (5) y[k ] = ax[-k ] a ¹ 0 解：(1) { [ ] [ ]} ( [ ] [ ]) [ ] [ ] { [ ]} { [ ]} 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 T ax k + bx k = k ax k + bx k = k ax k + k bx k = aT x k + bT x k 所以系统线性 k 时刻的输出只和 k 时刻的输入有关，系统因果。 { [ ]} [ ] [ ] ( ) [ ] 2 2 T x k - n = k x k - n ¹ y k - n = k - n x k - n 系统时变 当输入有界时输出可以是无界的，所以系统是不稳定的。 (2)非线性、因果、时不变、稳定 (3) { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} 1 2 5 1 2 5 T bx k cx k a bx k l cx k l l + = + å - + - =- a bx k l a cx k l a l l = + å - + + å - - =- =- [ ] [ ] 2 5 1 5 5 5 = by1 [k] + cy2 [k] - a 所以系统非线性 k 时刻的输出和 k+1，k+2,. , k+5 时刻的输入有关，系统非因果。 { [ ]} [ ] [ ] 5 5 T x k n a x k n l y k n l - = + å - - = - =- 系统非时变 当 x[k ] £ M x < ¥时 l M x y[k ] a x[k l] a 11 5 5 £ + å - £ + =- 所以当a 是有限时,系统稳定。 (4) 非线性、因果、 时不变、稳定 (5) 线性、 非因果、时变、 稳定 1-3 设确定下列系统是否为线性、时不变系统。 (1) y[k] x[n] [k nM ] n = å - ¥ =-¥ d (2) y[k] x[k] [k nM ] n = å - ¥ =-¥ d 其中 M 为正整数。 解：

78第1章离散信号与系统分析基础T(ax,[k]+ bx,[k]) = Z (ax,[n] +bx,[n])[k - nM](1)=a 2 x,[n][k - nM]+b Z x,[n][k -nM] =aT(x,[k]) +bT(x,[k])所以系统线性。由于T(x[k-m])= 2 x[n-m]o[k-nM]= 2 x[n][k-(n+m)M][k-m]= 2 x[n]8[K-m-nM]在M±1时，T(x[k-m])±y[k-m]，所以系统时变。T(ax, [k]+ bx,[k]) =(ax, [k]+ bx,[k]) 2 8[k - nM](2)=ax,[K] Z [k - nM]+ bx,[K]Z [k - nM] =aT(x,[k])+bT(x,[K]]所以系统线性。例如在M-2时输入为x[Kk]={1,2,3,4,5,6,7,.时,输出为[{1,0,30,5,0,7,）输入为x[K]x[k-1]{0,1,2,3,4,5,6,7,时输出为y[K]-{0,0,2,0,4,0,6,…由于[k-1]*y,[k]，所以系统时变。1-4确定下列序列的周期(1)x,[k|= cos(0.2pk)(2)x,[k]=2 cos(0.1pk)+2sin(0.2pk)(3)x,[k]=3sin(0.8pk)-4cos(0.1pk)(4)x[k]=5sin(0.1pk)+4sin(0.9pk)-4cos(0.18pk)0.2元层1解：(1)序列的周期L=102元100.1元—1(2)L=LCM(10,20)=20LCM表示最小公倍数(Leastcommonmultiple)2元200.8元_2(3)L = LCM(5,20) = 202元5990.18元0.9元(4)L=LCM(20,20,100)=1002元1002元20

78 第 1 章 离散信号与系统分析基础 (1) { [ ] [ ]} ( [ ] [ ]) [ ] 1 2 1 2 T ax k bx k ax n bx n k nM n + = å + - ¥ =-¥ d [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 a x n k nM b x n k nM n n = å - + å - ¥ =-¥ ¥ =-¥ d d { [ ]} { [ ]} 1 2 = aT x k + bT x k 所以系统线性。 由于 T{x[k m]} x[n m] [k nM ] n - = å - - ¥ =-¥ d x[n] [k (n m)M ] n = å - + ¥ =-¥ d y[k m] x[n] [k m nM ] n - = å - - ¥ =-¥ d 在 M ¹1时，T{x[k - m]} ¹ y[k - m]，所以系统时变。 (2) { [ ] [ ]} ( [ ] [ ]) [ ] 1 2 1 2 T ax k bx k ax k bx k k nM n + = + å - ¥ =-¥ d [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 ax k k nM bx k k nM n n = å - + å - ¥ =-¥ ¥ =-¥ d d { [ ]} { [ ]} 1 2 = aT x k + bT x k 所以系统线性。 例如在 M=2 时 输入为 x[k]={1,2,3,4,5,6,7,¼ }时， 输出为 y[k]={1,0,3,0,5,0,7,¼ } 输入为 x1 [k]= x[k-1]={0,1,2,3,4,5,6,7,¼ }时 输出为 y1 [k]={0,0,2,0,4,0,6,¼ } 由于 [ 1] [ ] 1 y k - ¹ y k ，所以系统时变。 1-4 确定下列序列的周期 (1) [ ] cos(0.2p ) 1 x k = k (2) [ ] 2cos(0.1p ) 2sin(0.2p ) 2 x k = k + k (3) [ ] 3sin(0.8p ) 4cos(0.1p ) 3 x k = k - k (4) [ ] 5sin(0.1p ) 4sin(0.9p ) 4cos(0.18p ) 4 x k = k + k - k 解：(1) 10 1 2 0.2 = p p 序列的周期 L =10 (2) 20 1 2 0.1 = p p L = LCM(10,20) = 20 LCM 表示最小公倍数(Least common multiple) (3) 5 2 2 0.8 = p p L = LCM(5,20) = 20 (4) 20 9 2 0.9 = p p ; 100 9 2 0.18 = p p L = LCM(20,20,100) =100

791-6已知LTI系统的单位阶跃响应为s[k]，求该系统对任意输入x[K]的响应。解：由于 s[K]-T(u[K]，h[K]-T(u[K]-u[k-1]=s[k]-s[k-1],所以对任意输入xk]的响应[K]为y[k]= h[K]* x[K]=(s[K]- s[k-1] *x[k]1-8设x[k]是一N点序列[10≤k≤N/2-1x[k]=3-1N/2≤k≤N-1[o其他试确定x[k]*x[k1的最大的正值和最小负值及它们的位置。解：由图可知，最大的正值位置：k1=N/2-1,k2=3N/2-1，y[k1]-y[k2]=N/2最大的负值位置：k3=N-1,J[N-1]--Nx[n]x[n] x[N /2 -1=n][N-1-n]x[3N /2-1-m]-(N /2 1)N/2=1=(N -1)0N-13N/2-11-9计算卷积[k]=x[k]*g[k][k+10≤k≤3(1)x[k]=αu[k],g[k]=β"u[k](2) x[K] = g[K] =其它10解：k<00α"βk-n=(βk+I-α*+I)/(β-α)(1)y[k]=3k≥0,α±βα"αk-"=(k+1)α*k≥0,α=β(2)x[k)=(1,2,3,4)[k)=(1,4,10,20,25,24,16)

79 1-6 已知 LTI 系统的单位阶跃响应为 s[k], 求该系统对任意输入 x[k]的响应。 解：由于 s[k]=T{u[k]}，h[k]=T{u[k]- u[k-1]}= s[k]- s[k-1], 所以对任意输入 xk]的响应 y[k] 为 y[k]= h[k]* x[k]=(s[k]- s[k-1]) *x[k] 1-8 设 x[k]是一 N 点序列 ï î ï í ì - £ £ - £ £ - = 0 其他 1 / 2 1 1 0 / 2 1 [ ] N k N k N x k 试确定 x[k]* x[k]的最大的正值和最小负值及它们的位置。 解：由图可知，最大的正值位置：k1=N/2-1, k2=3N/2-1, y[k1]=y[k2]=N/2 最大的负值位置：k3=N-1, y[N-1]=-N x[n] n n n n n x[-n] - (N - 1) x[N / 2 - 1 - n] - (N / 2 - 1) x[N - 1 - n] x[3N / 2 - 1 - n] 0 N / 2 - 1 N - 1 3N / 2 - 1 1-9 计算卷积 y[k] = x[k]* g[k] (1) x[k] u[k] k = a , g[k] u[k] k = b (2) î í ì + £ £ = = 0 其它 1 0 3 [ ] [ ] k k x k g k 解： (1) ï ï ï î ï ï ï í ì = + ³ = = - - ³ ¹ < = - = - + + = å å a a a a b a b b a b a a b ( 1) 0, ( )/( ) 0, 0 0 [ ] 0 1 1 0 k k k k y k n k n k k n n k n k k k n (2)x[k]={1, 2, 3, 4} y[k]={1, 4, 10, 20, 25, 24, 16}

80第1章离散信号与系统分析基础1-12x[K],x[K]分别表示一偶对称和一奇对称序列，试判断下列序列的对称性(1)x[k]*x[K] (2) x[k]*x.[K] (3)x.[k]*x.[k]解:(1)y,[k]=x,[K]*x[k], y,[-k]=Z xe,[n]x[-k-n]=Z x,[n]x,[k+n]=x[-n]x[k-n]=Zx[n]x[K-n]=y,[K]故序列偶对称(2)y,[k]=x,[k]*x.[k], y,[-k]= x,[n]x.[--n]= x,[n]x[k+n]=Zx。[-n]x[k-n]=-Z x.[n]x.[k-n]=-y,[k]故序列奇对称(3y,[k]=xol[k]*x,[K], y,[-k]=Z x。.[n]x2[-k-n] =-Z x[n]x,[k+n]=x[-n]x[k+n]=Zx。[n]x.[k-n]=y,[k]故序列偶对称1-13试确定下列周期为4的序列的DFS系数。h[k]= (0, 1, 0, -1; k = 0,1,2,3)x[k|=(12.0,2k=0123),解： X[m]=Zx[kjWmk=[5, 1, -3, 1; m=0,1,2,3]k=0H[m]= h[kJWmk =[0, -2]. 0, 2]; m=0,1,2,3]k=01-14试确定下列周期为4的序列的周期卷积[k]=x[k]h[K]h[K]= [2,0, 1, 0; k =0,1,2,3][k]= (0, 1, 0, 2, k = 0,1,2,3] ,解：[[0]]20100[1]0042-->[2]10200[[3]51-15试确定下列周期序列的周期及DFS系数(1)x[k]= sin(pk / 4)(2)x,[k]=2sin(pk/4)+cos(pk/3)解：（1）（元/4)/2元=1/8；N=8x, [k]=-0.5j(exp(j2pk /8)-exp(-j2pk /8))=-0.5j(exp(j2pk/8)-exp(j2pk×8/8)exp(-j2pk/8))

80 第 1 章 离散信号与系统分析基础 1-12 [ ], [ ] e 0 x k x k 分别表示一偶对称和一奇对称序列，试判断下列序列的对称性 (1) [ ] [ ] e e x k * x k (2) [ ] [ ] e o x k * x k (3) [ ] [ ] o o x k * x k 解: (1) [ ] [ ] [ ] 1 e1 e2 y k = x k * x k , [ ] [ ] [ ] 1 e1 e2 y k x n x k n n - = å - - [ ] [ ] e1 e2 x n x k n n = å + [ ] [ ] e1 e2 x n x k n n = å - - [ ] [ ] [ ] e1 e2 1 x n x k n y k n = å - = 故序列偶对称 (2) [ ] [ ] [ ] 2 o e y k = x k * x k , [ ] [ ] [ ] 2 o e y k x n x k n n - = å - - [ ] [ ] o e x n x k n n = å + [ ] [ ] o e x n x k n n = å - - [ ] [ ] [ ] o e 2 x n x k n y k n = -å - = - 故序列奇对称 (3) [ ] [ ] [ ] 3 o1 o2 y k = x k * x k , [ ] [ ] [ ] 3 o1 o2 y k x n x k n n - = å - - [ ] [ ] o1 o2 x n x k n n = -å + [ ] [ ] o1 o2 x n x k n n = å - + [ ] [ ] [ ] o o 3 x n x k n y k n = å - = 故序列偶对称 1-13 试确定下列周期为 4 的序列的 DFS 系数。 [ ] {1, 2, 0, 2; 0,1,2,3} ~x k = k = , [ ] {0,1, 0, 1; 0,1,2,3} ~ h k = - k = 解： mk k X m x k W4 3 0 [ ] ~ [ ] ~ å= = ={5, 1, -3, 1; m=0,1,2,3} mk k H m h k W4 3 0 [ ] ~ [ ] ~ å= = ={0, - 2j, 0, 2j; m=0,1,2,3} 1-14 试确定下列周期为 4 的序列的周期卷积 [ ] ~ ~ [ ] ~ [ ] ~y k = x k * h k [ ] {0,1, 0, 2; 0,1,2,3} ~x k = k = , [ ] {2, 0,1, 0; 0,1,2,3} ~ h k = k = 解： ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é 5 0 4 0 2 0 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 2 0 1 0 [3] ~ [2] ~ [1] ~ [0] ~ y y y y 1-15 试确定下列周期序列的周期及 DFS 系数 (1) [ ] sin(p / 4) ~ 1 x k = k (2) [ ] 2sin(p / 4) cos(p / 3) ~ 2 x k = k + k 解：(1) (p / 4)/ 2p = 1/8 ; N=8 [ ] 0.5 j{exp(j2p / 8) exp( j2p / 8)} ~ 1 x k = - k - - k = -0.5 j{exp(j2pk / 8) - exp(j2pk ´8/ 8) exp(- j2pk / 8)}

81=-4j(exp(j2pk/8)-exp(j2pk×7/8))/8在0≤m≤7范围内x,[1]=-4j;X,[7]=4jX,[m]=0其他m(2) (元 /3)/2元 =1/6N=LCM(6,8)=24在0≤m≤23范围内x,[3]=-24j，X,[2]=24j，X,[4]=12,X,[20]=12,X,[m]=0其他m1-17在题1-17图中画出了几个周期序列刘[k]，可利用用DFS将其表示为[K]=X[m)Wm(1)哪些序列能够通过选择时间原点使所有X[ml成实数？(2)哪些序列能够通过选择时间原点使所有X[ml（除X[0]外)成虚数？(3)哪些序列能够做到X[m=0,m=±2,±4,±6等等?(a)(b)(c)题1-17图解：(1)图(b)。由于[k=(1,1,0,0,0,0,0,1)是偶对称序列(2)由于没有奇对称序列，所以满足条件的序列不存在(3)图(a)图(c)由于X[2r]-2 [Kjw =x[kjwrkx[kjw*+([K]+x[+4])Wk=0-0k=4foDFS(0,0,0,0)=(0,0,0,0),DFS(1,1,1,1)=(4,0,0,0)所以图(a）图(c)满足条件

81 = -4 j{exp(j2pk /8) - exp(j2pk ´7 /8)}/8 在0 £ m £ 7 范围内 [1] 4 j ~ X1 = - ; [7] 4 j ~ X1 = ; [ ] 0 ~ X1 m = 其他 m (2) (p / 3)/ 2p = 1/ 6 N=LCM(6,8)=24 在0 £ m £ 23范围内 X [3] 24 j ~ 2 = - ， X [21] 24 j ~ 2 = ， [4] 12 ~ X 2 = ， [20] 12 ~ X 2 = , [ ] 0 ~ X 2 m = 其他 m 1-17 在题 1-17 图中画出了几个周期序列 [ ] ~x k ，可利用用 DFS 将其表示为 mk N N m X m W N x k - - = = å [ ] 1 ~ [ ] ~ 1 0 (1)哪些序列能够通过选择时间原点使所有 [ ] ~ X m 成实数？ (2)哪些序列能够通过选择时间原点使所有 [ ] ~ X m (除 [0] ~ X 外)成虚数？ (3)哪些序列能够做到 [ ] 0, 2, 4, 6 ~ X m = m = ± ± ± 等等？ k k k (a) (b) (c) 题 1-17 图 解：(1)图(b)。由于 [ ] ~x k ={1,1,0,0,0,0,0,1}是偶对称序列 (2)由于没有奇对称序列，所以满足条件的序列不存在 (3) 图(a) 图(c) 由于 rk k X r x k W 2 8 7 0 [ ] ~ [2 ] ~ å= = rk k rk k x k W x k W4 7 4 4 3 0 [ ] ~ [ ] ~ å å = = = + rk k x k x k W4 3 0 [ 4]) ~ [ ] ~ = å ( + + = DFS{0,0,0,0}={0,0,0,0}, DFS{1,1,1,1}={4,0,0,0} 所以图(a) 图(c)满足条件

82第1章离散信号与系统分析基础1-20如果[kl是一个周期为N的序列，它也是周期为2N的周期序列。令X[m]=DFS([k]周期为N，而X,[m]=DFS([k])周期为2N，试根据X,[m]来确定X,[m]。六22X,[mWmx[m解法1：x[K]=-1X,[2m]=2X,[m];m=0,1,.,N-1X,[2m+1]=0:m=0,1.,N-][ +[解法2：,[m]-2-[kJ=N'[+NW)m-EN[KJW +E[2X,[m/2]m为偶=(1+(-1)")[KW m为奇10试求出下列序列的DTFT1-21(1) x[K]=α'u[K] [a|1[α[K|≤M(4) x[K]=α*u[k+3] [α|<1(3) x[K]=其它0(sin(pk/3)sin(pk/4)(5) x,[K]=Z (1/4)*8[k-3m](6) x[k] =pkpk11oαke-jkr解：(1)X,(ej)=(2) X, (ej0)1-αe-jn1-α"ejnMMMMoke-jkoo-jkkojko-jk=1+(3) X, (ej2+Ak=lk=ikl2 α'e-) =2Re(Z α'e-)-1=1+2Re()= 2 1-α cosQ -α * cos[(M +1)2]+ cos(M2)1-2αcosQ+α?_ 1-α2 - 2α** cos[(M +1)2]+2α M+2 cos(M2)1-2αcos2+α2α~e130(4)X,(ej )= DTFT(α~x,[+3]) =1-ae-jn(5) x,[k]=E (1/4)3"S[k-3n]

82 第 1 章 离散信号与系统分析基础 1-20 如 果 [ ] ~x k 是一个周期为 N 的序列 ， 它也是周期为 2N 的周期序列。 令 [ ] = ~ X1 m [ ]} ~ DFS{x k 周期为 N，而 [ ] = ~ X2 m [ ]} ~ DFS{x k 周期为 2N，试根据 [ ] ~ X1 m 来确定 [ ] ~ X2 m 。 解法 1: mk N m N X m W N x k - = = å [ ] 1 ~ [ ] ~ 1 mk N m N X m W N 2 1 2 [ ] ~ 2 2 1 - = = å [ ]; 0,1, , 1 ~ [2 ] 2 ~ X 2 m = X1 m m = L N - [2 1] 0; 0,1, , 1 ~ X 2 m + = m = L N - 解法 2： å - = = 2 1 0 2 2 [ ] ~ [ ] ~ N k km W N X m x k å - = = 1 0 2 [ ] N ~ k km W N x k å - = + 2 1 2 [ ] N ~ k N km W N x k å - = = 1 0 2 [ ] N ~ k km W N x k å - = + + + 1 0 ( ) 2 [ ] N ~ k k N m N W N x k å - = = + - 1 0 2 [ ] ~ (1 ( 1) ) N k km N m x k W î í ì = 为奇 为偶 m X m m 0 2 [ / 2] 1 1-21 试求出下列序列的 DTFT (1) [ ] [ ] 1 x1 k = a u k a k (3) î í ì £ = 0 其它 [ ] 3 k M x k k a (4) [ ] [ 3] 1 x4 k = a u k + a < k (5) [ ] (1/ 4) [ 3 ] 0 5 x k k n k n = å - ¥ = d (6) ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ = k k k k x k p sin(p / 4) p sin(p / 3) [ ] 6 解：(1) å ¥ = - - - = = 1 0 1 1 ( ) k j j k jk e X e e W W W a a (2) W W a j j e X e 1 2 1 1 ( ) - - = (3) - - W - =- - W = W = +å + å k jk M k k jk M k j X e a e a e 1 1 3 ( ) 1 W = - W = = +å +å k jk M k k jk M k a e a e 1 1 1 1 2Re{ } 1 W a k jk M k e - = = + å 2Re{ } 1 0 = - - = å W a k jk M k e 1 1 2 cos 1 cos cos[( 1) ] cos( ) 2 2 1 2 - - + - - + + = + + a W a a W a M W a MW M M 2 2 1 2 1 2 cos 1 2 cos[( 1) ] 2 cos( ) a W a a a W a W - + - - + + = + + M M M M (4) W W W a a a j j j e e X e x k - - - - = + = 1 ( ) DTFT{ [ 3]} 3 3 1 3 4 (5) [ ] (1/ 4) [ 3 ] 3 5 0 x k k n n n = å - ¥ = d

831X,(e°)=Em(1/4)3"e-j3m21-(1/4)°e-j32(6) x.[k]=(1/12)Sa(pk/3)Sa(pk/4)由于DTFT(Sa(2.k))=（元/2.)P20（2）（P2。（2)表示幅度为1宽度为22周期为2元矩形波)故DTFT(Sa(元k/3))=3p2/3(2)，DTFT(Sa(元k/4))=4p/2(2)X,(el)=一pax) (2)*Pxi2(2)2元4 P2元 /3(2)4 P元/2(2)?72元元2元一元-2元-元元元元4433Xe(ej°)=1/40≤2≤元/12元/12≤Q≤7元/12X(ej2）=[元/3-（—元/4+2)1/2元=(7元/12-2)/2元由对称性：[1/ 4[2|≤元/12元/12≤2≤7元/12X。(ej°)=3(7元/12-2)/2元07元/12≤2|≤元AXe(ejn)1/4Q元1元7元12121-22试确定下列序列的DTFT(1[A|≤ N[1-|k|/N[K]≤ N(1) y.[K]=(2) y,[k]=lo其它10其他[cos(kp/2N)[K|≤N(3) y,[k] =其他0e-j(N+)0e-j(N+0.5)QeXN+0.5)0evQsin[(N +0.5)2]io解:(1)Y,(ejn)=1-e-ine-j/2ej012sin(Q/2)K=-N

83 W n nW n j X e 3 j3 5 0 ( ) (1/ 4) e ¥ - å = = 3 j3W 1 (1/ 4) e 1 - - = (6) [ ] (1/12)Sa(p / 3)Sa(p / 4) 6 x k = k k 由于 ( ) ~ DTFT{Sa( )} ( / ) Wc k = p Wc p2Wc W ( ( ) ~p2Wc W 表示幅度为 1 宽度为 2Wc 周期为 2p 矩形波) 故 ( ) ~ DTFT{Sa( / 3)} 3 pk = p2p /3 W ， ( ) ~ DTFT{Sa( / 4)} 4 pk = pp / 2 W ( ) ~ ( ) ~ 2 1 ( ) 6 2 /3 W / 2 W p p p W X e p p j = * ( ) ~p2p / 3 W - p p W 3 p - 3 p ( ) ~pp / 2 W W - 2p - p p 2p 4 p - 4 p 0 £ W £ p /12 ( ) 1/ 4 6 = jW X e p /12 £ W £ 7p /12 p p W p W ( ) [ /3 ( / 4 )]/ 2 6 = - - + j X e = (7p /12 - W )/ 2p 由对称性： ï î ï í ì £ £ - £ £ £ = p W p p W p p W p W p W 0 7 /12 (7 /12 )/ 2 /12 7 /12 1/ 4 /12 ( ) 6 j X e W - p p ( ) 6 jW X e 12 p 12 7p 1/ 4 1-22 试确定下列序列的 DTFT (1) î í ì £ = 0 其它 1 [ ] 1 k N y k (2) î í ì - £ = 0 其他 1 / [ ] 2 k N k N y k (3) î í ì £ = 0 其他 cos( p/2 ) [ ] 3 k N k N y k 解：(1) W kW N k N Y j j 1 (e ) e - =- = å W W W j j j( 1) 1 e e e - - + - - = N N j / 2 j / 2 j( 0.5) j( 0.5) e e e e W W W W - + - + - - = N N [ ] sin( / 2) sin ( 0.5) W + W = N

84第1章离散信号与系统分析基础[1[K|≤(N-1)/2(2）(a)N为奇数时，x,[k]=其他[oX,[Kk]*x,[K]= Ny, [K]sin(NQ/2)Y(ejn)Nsin (2/2)[1K≤N/2[K|≤N/2-1(b)N为偶数时，x,[k]=,x[k]=其他其他C0x,[K]*x,[k]+[k]=Ny,[k]NY, (e)= sin[N/2+0.5)]jinl(N/20.5)]_sin(NQO/2)sin*(Q/2)sin(Q/2)sin'(NQ/2)Y,(ein)=无论N是偶或奇均有：Nsin(Q/2)(3) y,[k]=y,[k]cos(kp/2N)在|2≤元范围内，cOs(kp/2N)→元((Q-元/2N)+(Q-元/2N）)Y,(e)=sin[N+0.-p/2],sinlN+0.+p/2]2sin[(Q-p/2N)/2]2sin[(Q+p/2N)/2]1-23计算下列函数的逆DTFT(2)X (ej0)= -ejin(N+I)(1)X,(ei°)=Z8(Q+2pn)l-e-jojaein(3)X,(eig)=1+2Z%, cos(2n)(4) X,(ej)=Ja<1(1-ae-j2)2解: (1)x[K)=一F x,(e)e do =二j 8(2)ea dQ=2元1 -ejQ(N+I)(2)解法 1:X(ej)=(-e/)=-(ej)(1+ejn +ej22 +...aJNO(1-ej2)所以由DTFT定义-1 -(N+I)≤k≤-1-R+[k + N +1] = u[k]- u[k + N +1]x,[k]-其它0解法2：1-e-jQ(N+I)e-/2(N+I))e/Q(N+1)DTFT,R+[kDTFT(RN+[k + N +1]) = (-8-0l-e-nx,[k]= -RN+I[k + N +1](3) X,(e)=ewa +e(N-)a +..+en +1+e-jo +..+e-J(N-)a +e-INn

84 第 1 章 离散信号与系统分析基础 (2) (a)N 为奇数时, î í ì £ - = 0 其他 1 ( 1)/ 2 [ ] 1 k N x k [ ] [ ] [ ] 1 1 2 x k * x k = Ny k sin ( / 2) sin ( /2) (e ) 2 2 j 2 W W W N N Y = (b) N 为偶数时, î í ì £ = 0 其他 1 / 2 [ ] 2 k N x k , î í ì £ - = 0 其他 1 / 2 1 [ ] 3 k N x k [ ] [ ] [ ] [ ] 2 3 2 x k * x k + d k = Ny k [ ] [ ] 1 sin ( / 2) sin ( / 2 0.5) sin ( / 2 0.5) (e ) 2 j 2 + + - = W W N W N W NY sin ( / 2) sin ( /2) 2 2 W NW = 无论 N 是偶或奇均有: sin ( / 2) sin ( /2) (e ) 2 2 j 2 W W W N N Y = (3) [ ] [ ]cos( p/2 ) y3 k = y1 k k N 在|W|£p范围内, cos(kp/2N)¬¾®p (d (W -p / 2N) +d (W -p / 2N)) [ ] 2sin[( p / 2 )/2] sin ( 0.5)( p / 2 ) (e ) j 3 N N N Y - + - = W W W [ ] 2sin[( p / 2 )/2] sin ( 0.5)( p / 2 ) N N N + + + + W W 1-23 计算下列函数的逆 DTFT (1) (e ) ( 2p ) j 1 X n n = å + ¥ =-¥ d W W (2) W W W j j ( 1) j 2 1 e 1 e (e ) - + - - = N X (3) (e ) 1 2 cos( ) 1 j 3 X n N n W W å = = + (4) 1 (1 e ) j e (e ) j 2 j j 4 < - = - a a a W W W X 解：(1) W p W W p p x k X e e d j jk ( ) 2 1 [ ] 1 ò 1 - = p d W W p W p p 2 1 ( ) 2 1 = ò = - e d jk (2)解法 1： (1 ) 1 ( ) ( ) ( 1) 2 W W + W W - - = - j j N j j e e X e e ( )(1 ) W W 2W W = - + + + j j j jN e e e Le 所以由 DTFT 定义 î í ì- - + £ £ - = 0 其它 1 ( 1) 1 [ ] 2 N k x k [ 1] [ ] [ 1] = -RN +1 k + N + = u k - u k + N + 解法 2： - W - W + + - - = j j N N e e R k 1 1 DTFT{ [ ]} ( 1) 1 ; ( 1) ( 1) 1 ) 1 1 DTFT{ [ 1]} ( W + - W - W + + - - + + = j N j j N N e e e R k N [ ] [ 1] x2 k = -RN+1 k + N + (3) jW jNW j N W jW jW j N W jNW X e e e e e e e - - - - - = + + + + + + + + ( 1) ( 1) 3 ( ) L 1 L

85K≤Nx[k]:u[k+N]-u[k-(N+1)]其它0(4)DTFT(α*u[k])=-ae-jnae'jo1dDTFT(kα u[k]}=x[k]= j(k+2)α*+2u[k+2]dQ1-αe-jn(1-ae-j2)1-24x[K]为一有限长序列且x[k]= (2,1,-1,0,3,2,0,-3,-4)不计算x[k的DTFTX(ei9)，试直接确定下列表达式的值。(1) X(e)(2)X(el)(3)X(ej)ddX(ejn)(4) [x(ein) d2do(5)do解： (1)X(e/°)=Z x[K]=0(2) X(e*)= Z (-1)* x[k] = 2-1-1+3-2 +3-4 =0 (3) 了 X(e/0 )dQ = 2元x[0]=-2元(4)/x(e/)d02=2元≥[k=88元(5)记(e)=G(e)→g[k] g[K]=-jk[K]ddx(ejo)dQ=2元 ≥ k3x[k]=2元890=1780元do二1-28已知g[K]的DTFT为G(ei），试用G（ej）表示其它序列的DTFT。44g2[K]gi[K]321012345680n567

85 î í ì £ = 0 其它 1 [ ] 3 k N x k = u[k + N] - u[k - (N +1)] (4) W a a j k e u k - - = 1 1 DTFT{ [ ]} ; W W a a j k d e d k u k j - - = 1 1 DTFT{ [ ]} 2 (1 ) W W a a j j e e - - - = [ ] ( 2) [ 2] 2 4 = + + + x k j k u k k a 1-24 x[k]为一有限长序列且 [ ] = {2,1,-1,0,3,2,0,-3,-4} ¯ x k 不计算 x[k]的 DTFT X(ejW )，试直接确定下列表达式的值。 (1) (e ) j0 X (2) (e ) jp X (3) W W (e ) d j ò X p -p (4) W W (e ) d 2 j ò X p -p (5) W W W d d d (e ) 2 j X ò p -p 解：(1) ( ) [ ] 0 6 2 0 = å = =- X e x k k j (2) ( ) ( 1) [ ] 2 1 1 3 2 3 4 0 6 2 = å - = - - + - + - = =- X e x k k k jp (3) W p p W p p ( ) = 2 [0] = -2 ò - X e d x j (4) W p p W p p ( ) 2 [ ] 88 2 6 2 2 ò = å = - =- X e d x k k j (5)记 ( ) [ ] ( ) G e g k d dX e j j = W « W W g[k ] = - jkx[k ] W p p p W p W p 2 [ ] 2 890 1780 ( ) 2 2 6 2 2 ò = å = = - =- d k x k d dX e k j 1-28 已知 [ ] 1 g k 的 DTFT 为 (e ) j 1 W G , 试用 (e ) j 1 W G 表示其它序列的 DTFT。 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 g1 [k] -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 1 2 3 4 g2[k]

86第1章离散信号与系统分析基础AA4g:[k]g[k]310123456781012345678题1-28图解: G,(ej°)=DTFT(g,[k]+g[k-4])=G,(ej)+e-j4nG,(ej)G,(ej°)= DTFT(g,[3-k]+g,[k -4])=e-J3nG;(ej°)+e-4nG,(ej°)G,(ej)=DTFT(g,[k+g,[7-kl)=G,(ej0)+e-j7oG'(ej0)1-29已知x[k]=R,[k+3]，Y[m]=X(ejn2pm/3;m=0,1,2不做IDFS，求y[k]=IDFS(Y[m]。并用MATLAB验证你的结果。解1：x[K]x[k-3]x[k+3]3在k=0.1.2时有, x[k + IN] = x[k] + x[k - 3] + x[k + 3] = [3,2,2; k = 0,2,1][k]=Y[m]=W3" +W,2" +W" +1+W" +W2" +w3m解2：=1+W"+W2m+1+W+W2m+1=3+2W"+2W2m所以[k]=(3,2,2;,k =0,2,1)1-30已知x[K]=α*[]，[α<1(1)求序列x[Kk]的DTFTX(ejn)(2)定义周期序列[K]=x[k + nN]求出周期序列[K]及它的DFS系数X[m]

86 第 1 章 离散信号与系统分析基础 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 1 1 2 3 g 4 3 [k] -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 4 3 2 1 g4[k] 题 1-28 图 解： ( ) { [ ] [ 4]} ( ) ( ) 1 4 2 1 1 1 jW jW j W jW G e DTFT g k g k G e e G e - = + - = + ( ) { [3 ] [ 4]} ( ) ( ) 1 4 1 3 3 1 1 jW j W jW j W jW G e DTFT g k g k e G e e G e - * - = - + - = + ( ) { [ ] [7 ]} ( ) ( ) * 1 7 4 1 1 1 jW jW j W jW G e DTFT g k g k G e e G e - = + - = + 1-29 已知 [ ] [ 3] x k = R7 k + ， 2 p / 3; 0,1, 2 j [ ] (e ) ~ Y m = X W = m m= W 。 不做 IDFS，求 [ ]} ~ y[k ] = IDFS{Y m 。 并用 MATLAB 验证你的结果。 解 1： 0 1 2 3 k x[k] 0 1 2 3 k x[k-3] 0 1 2 3 k x[k+3] 在 k=0,1,2 时有 [ ] [ ] [ ] [ 3] [ 3] {3,2,2; 0,2,1} ~ = å + = + - + + = = ¥ =-¥ y k x k lN x k x k x k k l 解 2： [ ] = ~ Y m m m m m m m W W W W W W 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 + + +1+ + + - - - 1 1 1 2 3 3 2 = + 3 + 3 + + + + m m m m W W W W m m W W 2 3 3 = 3+ 2 + 2 所以 [ ] {3,2,2; 0,2,1} ~y k = k = 1-30 已知 x[k] u[k] k = a ， a <1 (1)求序列 x[k]的 DTFT (e ) jW X (2)定义周期序列 [ ] [ ] ~x k x k nN n = å + ¥ =-¥ 求出周期序列 [ ] ~x k 及它的 DFS 系数 [ ] ~ X m