《数字信号处理》课程教学资源（设计指导）第2章 信号的频域分析

第2章信号的频域分析任一信号可以在时域对其进行分析和描述，利用傅立叶变换理论也可以对其进行频域分析，以便更好地对信号进行存储、传输和处理，达到提取有用信号的目的信号可分为四大类，与之对应存在四种类型的傅立叶变换，成为信号频谱分机的基础。归纳如下表：信号类型频谱特性变换名称变换公式连续周期CTFSxerd非周期离X(k2) =T散CTFT连续非周期非周期连X(j2)= x(0)e- dt续DFS周期离散离散周期N-lX(k)=x(n)e-"n=0离散非周期DTFT周期连续Zx(n)e-jonX(eja)=(w=2m)四种信号的变化规律为：周期信号的频谱是离散的、互为谐波关系的；非周期信号的频谱是连续的；离散信号的频谱是为周期的；连续信号的频谱是非周期的。所谓信号的频谱分析就是利用傅立叶变换的分析方法，找出与信号时域波形对应的频谱函数的幅度、相位以及能量或功率的分布规律等，以便在频域提取信号的特征实际工程中，通过积分公式求取复杂信号的频谱函数本身就比较困难，何况在许多情况下只是记录了实际信号的一段波形或数据，而没有对应的解析表达式。若对这些信号进行频谱分析，就必须利用离散傅里叶变换（DFT）。DFT表征一个在时域为N点有限长的序列x(n）经过傅里叶变换到频域成为另一个N点有限长序列

第 2 章 信号的频域分析 任一信号可以在时域对其进行分析和描述，利用傅立叶变换理论也可以对其进 行频域分析，以便更好地对信号进行存储、传输和处理，达到提取有用信号的目的。 信号可分为四大类，与之对应存在四种类型的傅立叶变换，成为信号频谱分析 的基础。归纳如下表： 信号类型 变换名称 变换公式 频谱特性 连续周期 CTFS − −   = 2 2 ( ) 1 ( ) T T jk t x t e dt T X k 非周期离 散 连续非周期 CTFT X j x t e dt j t   − −  ( ) = ( ) 非周期连 续 离散周期 DFS  − = − = 1 0 2 ( ) ~ ( ) . ~ N n kn N j X k x n e  周期离散 离散非周期 DTFT   =− − = n j j n X e x n e   ( ) ( ) 周期连续 （ω0=2π） 四种信号的变化规律为：周期信号的频谱是离散的、互为谐波关系的；非周期 信号的频谱是连续的；离散信号的频谱是为周期的；连续信号的频谱是非周期的。 所谓信号的频谱分析就是利用傅立叶变换的分析方法，找出与信号时域波形对应的 频谱函数的幅度、相位以及能量或功率的分布规律等，以便在频域提取信号的特征。 实际工程中，通过积分公式求取复杂信号的频谱函数本身就比较困难，何况在 许多情况下只是记录了实际信号的一段波形或数据，而没有对应的解析表达式。若 对这些信号进行频谱分析，就必须利用离散傅里叶变换（DFT）。DFT 表征一个在 时域为 N 点有限长的序列 x(n) 经过傅里叶变换到频域成为另一个 N 点有限长序列

X(k)，即:mN-X(k)=x(n)whx(n)e1=0n=0离散傅里叶反变换（IDFT）定义为12x(k)e*Ex(k)wx(n) =NKON=可见，由于DFT变换对在时域、频域都是离散的，可以通过计算机实现数值计算。而且DFT存在快速算法FFT，可以高速、高效地完成DFT运算。Matlab中提供了相应函数以实现DFT变换对的计算，调用格式为：X=ff(x)其按照基2时间抽取快速算法计算序列x（n）的傅里叶变换，当x(n）的长度为2的整数次幂或者x(n)为实序列时，计算的时间会大大缩短。X=fft(x,n)其是补零或截短的n点傅里叶变换，当x(n)的长度小于n时，在x(n)的尾部补零使x(n)的长度达到n点；当x(n)的长度大于n时，将x(n)截短使x(n)的长度成n点；然后对补零或截短的数据进行快速傅里叶变换。x=ifft(X)和x=ifft(X，n)为相应的反变换。fftshift(x)将fft计算输出的零频移到输出的中心。DFT解决了用计算机对各类信号进行频谱分析的问题，因此可以使用DFT对连续信号进行频谱分析。但必须要对连续信号进行离散化，并且当信号长度为无限长时需要作截短处理。恰当地确定取样时间间隔T和相应的时间长度L，是决定DFT结果是否符合实际的关键因素。如果不满足取样定理的约束条件，在时域欠取样的情况下，会出现频谱混叠而无法恢复原信号频谱，因而不能从时域取样点准确地重建原连续时间信号：如果截断和选取的长度不合适，造成频谱扩散使信号的能量和功率产生泄漏

X (k)，即 ：  − = − = 1 0 2 ( ) ( ) N n kn N j X k x n e  = − = 1 0 ( ) N n kn n wN x 离散傅里叶反变换（IDFT）定义为  − = = 1 0 2 ( ) 1 ( ) N k kn N j X k e N x n   − = − = 1 0 ( ) 1 N k kn wN X k N 可见，由于 DFT 变换对在时域、频域都是离散的，可以通过计算机实现数值 计算。而且 DFT 存在快速算法 FFT，可以高速、高效地完成 DFT 运算。Matlab 中 提供了相应函数以实现 DFT 变换对的计算，调用格式为： X=fft(x) 其按照基 2 时间抽取快速算法计算序列 x（n）的傅里叶变换，当 x (n) 的长度为 2 的整数次幂或者 x(n)为实序列时，计算的时间会大大缩短。 X=fft(x,n) 其是补零或截短的 n 点傅里叶变换，当 x(n)的长度小于 n 时，在 x(n)的尾部补零使 x(n)的长度达到 n 点；当 x(n)的长度大于 n 时，将 x(n)截短使 x(n)的长度成 n 点； 然后对补零或截短的数据进行快速傅里叶变换。 x=ifft(X)和 x=ifft(X，n)为相应的反变换。 fftshift(x)将 fft 计算输出的零频移到输出的中心。 DFT 解决了用计算机对各类信号进行频谱分析的问题，因此可以使用 DFT 对 连续信号进行频谱分析。但必须要对连续信号进行离散化，并且当信号长度为无限 长时需要作截短处理。恰当地确定取样时间间隔 T 和相应的时间长度 L，是决定 DFT 结果是否符合实际的关键因素。如果不满足取样定理的约束条件，在时域欠 取样的情况下，会出现频谱混叠而无法恢复原信号频谱，因而不能从时域取样点准 确地重建原连续时间信号；如果截断和选取的长度不合适，造成频谱扩散使信号的 能量和功率产生泄漏

利用DFT分析各类信号的频谱时，参数的选择主要满足时域抽样定理、频域来样定理，依据信号时频域能量分布情况，恰当地选择时域取样间隔T和取样长度1当信号的频带宽度无限或很宽，则取频域能量集中在95%--98%的频带宽度。要在频域计算信号的能量，选取fm（信号的最高截频），即选择时域取样间隔T：在时域计算信号的能量，则可选取窗函数，对时间信号进行截短，即选择时间长度L。2.1利用DFT分析连续信号频谱首先调用Matlab的fourier（x,t,w）函数可以在理论上求连续时间信号的频谱例1：求出下列信号的傅立叶幅度谱(1).门函数脉冲信号 xi(t)=(t+0.5)-(t-0.5)(2).高斯信号 x2()=e-12解：(1)利用符号函数求门函数的频谱%符号函数symstwut=sym(Heaviside(t+0.5)-Heaviside(t-0.5));Fw=fourier(ut,t,w);FFw=maple(convert,Fw,'piecewise);FFP=abs(FFw);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi)axis([-10*pi 10*pi 0 1))DC1100.90.80.70.6D.S0.40.30.2D

利用 DFT 分析各类信号的频谱时，参数的选择主要满足时域抽样定理、频域采 样定理，依据信号时频域能量分布情况，恰当地选择时域取样间隔 T 和取样长度 L。 当信号的频带宽度无限或很宽，则取频域能量集中在 95%-98%的频带宽度。即 要在频域计算信号的能量，选取 fm （信号的最高截频），即选择时域取样间隔 T； 在时域计算信号的能量，则可选取窗函数，对时间信号进行截短，即选择时间长度 L。 2.1 利用 DFT 分析连续信号频谱 首先调用 Matlab 的 fourier（x,t,w）函数可以在理论上求连续时间信号的频谱。 例 1：求出下列信号的傅立叶幅度谱 (1). 门函数脉冲信号 x1(t)=(t+0.5)-(t-0.5) (2). 高斯信号 x2(t)=e 2 −t 解：(1)利用符号函数求门函数的频谱 syms t w %符号函数 ut=sym('Heaviside(t+0.5)-Heaviside(t-0.5)'); Fw=fourier(ut,t,w); FFw=maple('convert',Fw,'piecewise'); FFP=abs(FFw); ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]) axis([-10*pi 10*pi 0 1])

(2）利用符号函数求高斯函数的频谱symswtft=exp(-t.^2);fw=fourier(ft,t,w);ezplot(fw)1/2exp(-1/4w2)1.81.61.41.20.80.60:40.22.1.1连续周期信号的频谱分析应用离散傅里叶变换DFT，分析连续周期信号xr(t)的频谱。连续周期信号在满足一定条件下，可以通过傅立叶级数（CTFS）展开为一系列正弦信号的线性叠加，其频谱函数X（kQ）是离散频率的复函数，因而周期信号的频谱结构具有离散性和谐波性。-X(k2) =对x(t)以T为间隔进行取样，长度为一个周期T，dt→T，『→Z，x(t)→x(n),To=NT,得到1 N-!Ex(n)e-ikonT TX(k2)=T.2

(2) 利用符号函数求高斯函数的频谱 syms w t ft=exp(-t.^2); fw=fourier(ft,t,w); ezplot(fw) 2．1．1 连续周期信号的频谱分析 应用离散傅里叶变换 DFT，分析连续周期信号 xT(t)的频谱。 连续周期信号在满足一定条件下，可以通过傅立叶级数（CTFS）展开为一系 列正弦信号的线性叠加，其频谱函数 X（k  ）是离散频率的复函数，因而周期信 号的频谱结构具有离散性和谐波性。 − −   = 2 0 2 0 0 ( ) 1 ( ) T T jk t x t e dt T X k 对 x(t)以 T 为间隔进行取样，长度为一个周期 T0 ，dt → T, →  , x(t) → x(n) , T0=NT,得到 x n e T T X k N n jk nT  − = −   = 1 0 0 ( ) 1 ( )

THx(n)eTo =o1_X(k)N连续周期信号的频谱求解步骤：（1）根据取样定理，确定时域取样间隔T；(2）计算一个周期内的取样点数N。使用FFT命令作N点FFT计算，求得X(K)；(3)1（4）最后求得连续周期信号的频谱为X（k2）=X(k)N例2：已知一个连续周期信号x(t)=1-cos（πt)+2sin(2πt)+cos(3πt)，用DFT计算其频谱。解：信号基频Q=元，周期To=2；最高次谐频为3Q=3元，所以N≥7。可取N=8，16，32，64，..进行比较。T0=2;N=16:T=TO/N;周期为TO，FFT的点数为N，时域取样间隔为TX=1/N*ft(x,N)；用FFT计算其频谱，其结果为：T0=2; N=16;T=T0/N;t=O:T:TO;x=1-cos(pi*t)+2*sin(2*pi*t)+cos(3*pi*t);X=1/N*ft(x,N);f=1/T/N*(-N/2:(N/2-1);%N,f=1/T/N*(-(N-1)/2:(N-1)/2);subplot(2,1,1);stem(f,abs(fftshif(X);xlabel(Frequency(Hz));ylabel('magnitude')subplot(2,1,2);stem(f,angle(fftshif(X);xlabel(Frequency(Hz)");ylabel('phase');

=  − = − 1 0 2 0 ( ) N n kn N j x n e T T  = ( ) 1 X k N 连续周期信号的频谱求解步骤： (1) 根据取样定理，确定时域取样间隔 T； (2) 计算一个周期内的取样点数 N。 (3) 使用 FFT 命令作 N 点 FFT 计算，求得 X (k)； (4) 最后求得连续周期信号的频谱为 X （k  ）= N 1 X (k) 例 2： 已知一个连续周期信号 x (t) = 1 – cos (πt) + 2sin (2πt) + cos (3πt), 用 DFT 计算其频谱。 解： 信号基频  ＝π，周期 T0＝2；最高次谐频为 3  ＝3π，所以 N≥7。 可取 N＝8，16，32，64，.进行比较。 T0＝2；N＝16；T＝T0／N； 周期为 T0，FFT 的点数为 N，时域取样间隔为 T： X = 1 / N * fft (x , N); 用 FFT 计算其频谱，其结果为： T0=2; N=16;T=T0/N; t=0:T:T0; x=1-cos(pi*t)+2*sin(2*pi*t)+cos(3*pi*t); X=1/N*fft(x,N); f=1/T/N*(-N/2:(N/2-1));%N,f=1/T/N*(-(N-1)/2:(N-1)/2); subplot(2,1,1);stem(f,abs(fftshift(X))); xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('magnitude'); subplot(2,1,2);stem(f,angle(fftshift(X))); xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('phase');

apnpubBseuquency(Hz理论分析如下：按x(t)=1-cos（t)+2sin(2πt)+cos(3元πt)o+e-j2wgtj3wot +e-j3wofeo+e-mo=1222j故得：1,n=0-1/2,n= ±1X(k@o)=-+j, n= ± 21/2,n=± 30,其他可见，MATLAB作出的幅频特性与理论分析很吻合。例3：Xr（t）为幅度A=10，周期To=1秒，脉冲宽度t=0.2秒的周期脉冲串。1）计算基波和多少次谐波的功率和可以占信号总功率的90%以上。2）作N=256点的fft，计算其频谱。查看直流及各次谐波k=0.1,2...的幅度。为3）便于观察，在［一30Hz,30Hz］内绘出其频谱。解：1）周期信号是功率信号，信号总功率为： r"g1 X,(0)P dt = f02 102 dt = 200=理论分析该信号的频谱为：

理论分析如下：按 x (t) = 1 – cos (πt) + 2sin (2πt) + cos (3πt) = 1 – 2 0 0 jw t jw t e e − + +2 j e e j w t j w t 2 2 0 − 2 0 + + 2 3 0 3 0 j w t j w t e e − + 故得： 1, n = 0 -1/2, n = ±1 X ( kω0) = -+j, n = ± 2 1/2, n = ± 3 0, 其他 可见，MATLAB 作出的幅频特性与理论分析很吻合。 例 3：XT（t）为幅度 A＝10，周期 T0＝1 秒，脉冲宽度 τ＝0.2 秒的周期脉冲串。 1） 计算基波和多少次谐波的功率和可以占信号总功率的 90％以上。 2） 作 N＝256 点的 fft，计算其频谱。查看直流及各次谐波 k = 0, 1,2.的幅度。为 3） 便于观察，在［－30Hz,30Hz］内绘出其频谱。 解： 1）周期信号是功率信号，信号总功率为： | ( ) | 10 20 1 2 0.2 0 2 0 0 0 = = =   X t dt dt T p T T 理论分析该信号的频谱为：

X(kwo)=(At / To)Sa((k@ot)/2=2Sa(0.2k)下面计算前2k+1项的总功率：k=input(k=);n=-k:k,x=2*sinc(0.2*n);pO=20;p=sum(x.±2)/po基波和前5次谐波的功率之和占信号90%以上的能量。XT（t）的傅里叶级数：Xr (t) =2 + 1.87ej0 +1.51ei2ot+1.01ej30t++1.87e-j"0t +1.51e-j201+1.01e-j3ot...2)计算N=256点的FFT,基波和前127次谐波所包含的能量占总能量的99.6%。N=256;T0=1; T=T0/N;(=0:T:TO; %t=-TO/2:T:TO /2;x=5*[square(2*pi*(t+0.1),20)+1];X=1/N*fft(x,N);f=1/T/N*(-30:30)；%在[-30Hz,30Hz]内绘出其频谱。subplot(2,1,1); plot(t,x); xlabel(Time (s)"); ylabel(Amplitude')title('square wave and its spectrum');y=abs(fftshift(X);subplot(2,1,2); stem (f,y(129-30:129+30),xlabel(Frequency(Hz)); ylabel('Magnitude');

X(kω0) = (Aτ / T0)Sa((kω0τ)/2 = 2Sa(0.2kπ) 下面计算前 2k + 1 项的总功率： k=input('k='); n=-k:k; x=2*sinc(0.2*n); p0=20; p=sum(x.^2)/p0 基波和前 5 次谐波的功率之和占信号 90％以上的能量。 XT（t）的傅里叶级数： XT（t）＝2 + 1.87 ejω0t + 1.51ej2ω0t + 1.01ej3ω0t + . + 1.87 e - jω0t + 1.51 e - j2ω0t + 1.01e - j3ω0t . 2)计算 N=256 点的 FFT, 基波和前 127 次谐波所包含的能量占总能量的 99.6%。 N=256;T0=1; T=T0/N; t=0:T:T0; %t = -T0 / 2: T: T0 / 2; x=5*[square(2*pi*(t+0.1),20)+1]; X=1/N*fft(x,N); f=1/T/N*(-30:30) ; %在[ -30Hz, 30Hz]内绘出其频谱。 subplot(2,1,1); plot(t,x); xlabel('Time (s)'); ylabel('Amplitude'); title('square wave and its spectrum'); y=abs(fftshift (X)); subplot(2,1,2); stem (f,y(129-30:129+30)); xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('Magnitude');

anteecrOUr10864paNn0.1D030O8OTime (s)1.6apngubeyt-RBncy(HzJE2.1.2连续非周期信号的频谱分析应用离散傅里叶变换DFT，通过MATLAB实现对连续信号频谱分析，以满足理论分析和工程实际的需要。连续非周期信号通过连续时间傅里叶反变换ICTFT)，可以表达为频率为无限密集的虚指数信号的线性组合，即[x(jQ)e dQx(0) =2元J其中，频率函数XGjQ)可按下式求得：X(jQ)= x(t)e- t对x(t)以T为间隔进行取样，x(t)的时间长度为T。，由dt→>T, 「-→Z , x(t)→x(n), T o= N T, Q= k Fo得到-aX(j2)=2元6x(n)en=0= TX(k)

2．1．2 连续非周期信号的频谱分析 应用离散傅里叶变换 DFT，通过 MATLAB 实现对连续信号频谱分析，以满足 理论分析和工程实际的需要。 连续非周期信号通过连续时间傅里叶反变换(ICTFT)，可以表达为频率为无限 密集的虚指数信号的线性组合，即 =     −  x t X j e d j t ( ) 2 1 ( )  其中，频率函数 X(j  )可按下式求得： X j x t e dt j t   − −  ( ) = ( ) 对 x(t)以 T 为间隔进行取样，x(t)的时间长度为 T 0 ，由 dt → T, →  , x(t) → x(n) , T 0= N T, = k F0得到 X j x n e T N n j nT  − = −   = 1 0 ( ) ( ) =  − = − 1 0 2 ( ) N n kn N j T x n e  = TX (k)

连续非周期信号频谱的求解步骤：（1）根据取样定理，确定时域取样间隔T：(2）确定时域截取的长度L(或窗函数的点数M)(3）确定频域取样点数N，要求N≥M(4）使用FFT命令做N点FFT计算X(K)。(5) X(2)0m2~TX(k)QakNT例4：已知信号x()=e[u()-u(t-1)]，利用FFT计算其幅度频谱。解：1）此信号时域为无限长，因此要确定数值计算选取的长度To。从能量的观点来看，总能量E = LIx(0)]'dt = L e"dt=}2使用MATLAB计算[O，To]】时间内信号的能量：首先做一个函数powert.m从时域计算信号的能量：function f= powert (t)f=(abs(exp (-1.*t))). ^2;计算[0，1]】时间内的能量：>>power_t=quad(powert',0,1)power_t=0.4323计算[0，4]】时间内的能量：>>power_t=quad (powert',0, 4)power_t=0.4998计算[0，5]】时间内的能量：>>power_t=quad (powert",0,5)power_t=0.5000>>power_t=quad (powert", 0, 14)power_t=0.5000接着试下去可知：在［0，To≥5］内，信号所包含的能量非常接近于原无限长信号的总能量，因此可以选取To=5。2）计算时域取样间隔T此信号的频谱为无限宽，在此选取占信号总能量95%的频带宽度（一fm-fm）

连续非周期信号频谱的求解步骤： (1) 根据取样定理，确定时域取样间隔 T； (2) 确定时域截取的长度 L(或窗函数的点数 M) (3) 确定频域取样点数 N，要求 N≥M (4) 使用 FFT 命令做 N 点 FFT 计算 X (k) 。 (5) X (  )| NT k 2 = ≈TX(k) 例 4: 已知信号 x (t) = e - t [u (t) – u (t –1)], 利用 FFT 计算其幅度频谱。 解 : 1）此信号时域为无限长，因此要确定数值计算选取的长度 T0。从能量的观 点来看，总能量 E ＝   − | x(t) | 2dt =   − e -2tdt= 2 1 使用 MATLAB 计算［0，T0］时间内信号的能量：首先做一个函数 powert.m 从时域计算信号的能量： function f = powert (t) f = (abs (exp (-1.*t) ) ). ^2; 计算［0，1］时间内的能量： >>power_t = quad (‘powert’, 0, 1) power_t = 0.4323 计算［0，4］时间内的能量： >>power_t = quad (‘powert’, 0, 4) power_t = 0.4998 计算［0，5］时间内的能量： >>power_t = quad (‘powert’, 0, 5) power_t = 0.5000 >>power_t = quad (‘powert’, 0, 14) power_t = 0.5000 接着试下去可知：在［0，T0≥5］内，信号所包含的能量非常接近于原无限长 信号的总能量，因此可以选取 T0 ＝ 5。 2）计算时域取样间隔 T 此信号的频谱为无限宽，在此选取占信号总能量 95％的频带宽度（－fm, fm）

f为其最高频率。作一个函数powerw.m，从频域计算信号的能量：functionf=powerw(w)f=(abs(1./ (j.*w+1))).2使用下面名为p.m的函数计算（一m，m）内信号包含的能量占总能量的比例：w_max=input("w_max="),power_t=quad (powert", o, 5)power_w=1/(2 * pi)*quad (powerw",-1 *w_max,w_max)propotion=power_w/power_t信号频谱X（jQ）=1/（jQ+1）11IX(dI信号总能量E=22元在[0，m】内，信号所包含的能量≥原信号总能量的95%：Em=(1/π)tan(@)lo"m=(1/2)X0.95tan (@m)=0.95π /2所以m=12.706，T≤(/@m)=/12.706=0.2473。T=pi/12.706T= 0.24733)确定FFT点数N由于 N ≥ M = To / T = 5/ TN=5/TN=20.2222所以N应大于20，取N=22。N=22; T=5/Nt=0:T:5;x=exp(-1*t);X=T*fft(x,N);x0=1/T*ifft(X,N);subplot(2,1,1), plot(t,x,t(1:N),real(x0),'r--); axis([0,5,0,1.2)

fm为其最高频率。 作一个函数 powerw.m，从频域计算信号的能量： function f = powerw (w) f = (abs (1./ (j.*w + 1) ) ) . ^2; 使用下面名为 p.m 的函数计算（－ωm, ωm）内信号包含的能量占总能量的 比例： w_max = input (‘w_max=’); power_t = quad (‘ powert’, 0, 5) power_w = 1 / (2 * pi) * quad (‘ powerw’ , -1 * w_max, w_max) propotion = power_w / power_ t 信号频谱 X（jΩ） ＝ 1／（jΩ + 1） 信号总能量 E ＝     − X j d 2 | ( | 2 1  = 2 1 在［0，ωm］内，信号所包含的能量≥原信号总能量的 95％： Em = (1/π)tan-1 (ω)|0 ωm = (1/2) ×0.95 tan-1 (ωm) = 0.95π/2 所以ωm ＝12.706，T≤(π／ωm )＝π／12.706 ＝ 0.2473。 T＝ pi / 12.706 T = 0.2473 3)确定 FFT 点数 N 由于 N ≥ M ＝ T0／T ＝ 5／T N ＝ 5 ／T N ＝ 20.2222 所以 N 应大于 20 ,取 N=22。 N=22; T=5/N t=0:T:5; x=exp(-1*t); X=T*fft(x,N); x0=1/T.*ifft(X,N); subplot(2,1,1); plot(t,x,t(1:N),real(x0),'r-'); axis([0,5,0,1.2]);