《数字信号处理》课程教学资源（教案讲义）ch4 IIR数字滤波器设计

第4章IIR数字滤波器的设计IIR滤波器设计的基本思想1)将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。2)设计满足技术指标的模拟滤波器。3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。4.1模拟低通滤波器的设计模拟滤波器的技术要求Butterworth模拟低通滤波器切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器?切比雪夫Ⅱ型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器模拟滤波器的技术要求(H(jo))0,:通带截止频率1-8.阻带截止频率0:+过渡带8p:通带波动8s:阻带阻带波动一通带-o-00",o,A,=-20log1e(1-）通带衰减(db)(passbandAttenuation)A,=-20log1o8阻带衰减(db）(stopbandAttenuation)滤波器的Gain函数G()-20log1/H(j) dB4.1.1 ButterworthLowpassfilter1H(jo)1+(0/0.)2NN:滤波器阶数

第 4 章 IIR 数字滤波器的设计 IIR 滤波器设计的基本思想 1)将数字滤波器的设计为模拟滤波器的设计。 2)设计满足技术指标的模拟滤波器。 3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。 4.1 模拟低通滤波器的设计 • 模拟滤波器的技术要求 • Butterworth 模拟低通滤波器 • 切比雪夫 II 型模拟低通滤波器 • 切比雪夫 II 型模拟低通滤波器 • 椭圆低通滤波器 模拟滤波器的技术要求  p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率  p: 通带波动  s: 阻带波动 20log (1 ) Ap = −20log10 (1− p ) 通带衰减(db)(passband Attenuation) Ap = − 10 − p As 10  s As = −20log10  s 阻带衰减(db )(stopband Attenuation) = −20log |H( j)| 1 0 通带 过渡带 阻带 p s s  p 1−  |H( j)| 1 0 通带 过渡带 阻带 p s s  p 1−  G()=20log10|H(j)| dB 滤波器的Gain函数 4.1.1 Butterworth Lowpass filter N c H j 2 2 1 ( / ) 1 ( )    + = N: 滤波器阶数

N=1N=30.707N=50Oc性质：1)H(j0)=1,[H()=0,-20log10|H(jwc)=3dbwc:3db截频当wc=1时，称其为归一化的BWF2)幅度响应单调下降(monotonicallydecreasing)3)|H(iw)2在w=0点1到2N-1阶导数零。称为最大平坦性。(maximally flat magnitude filter)在w=0点做Taylor series展开[H(jo) =1-(-)2N +(-)4N 00.归一化的Butterworth滤波器(BWF)1[Hro(jo)-1+02N任意的BWF和归一化BWF的关系H(s)=Ho(s / o.)归一化Butterworth滤波器的极点条件：h(t)是实的H(jw)=H*(-jw)H(s)H(-s) s=je = H(jo)H(-jo)=|H(jo)2H(s)H(-s)= 1+(js)2N极点：St =(-1)/2N j=[e-ji+2zk/1/2Njn(j+2k-22Nk=12....2N=e共有2N个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的N个极点。.1 2k-1inl22Nk=12....N为左半平面的N个极点S.=e

c 1 0 N=1 N=3 N=5 0.707 c 1 0 N=1 N=3 N=5 0.707 性质： 1)|H( j 0)|=1, |H(j¥)|=0, -20log10|H( jwc)|3db wc: 3db 截频, 当 wc =1 时，称其为 归一化的 BWF 2)幅度响应单调下降(monotonically decreasing) 3) |H(jw)|2 在 w=0 点 1 到 2N-1 阶导数零。称为最大平坦性。 (maximally flat magnitude filter) 在 w=0 点做 Taylor series 展开 = − + N − c N c H 2 4 2 (j ) 1 ( ) ( )      归一化的 Butterworth 滤波器(BWF) L N H j 2 2 0 1 1 ( )   + = 任意的 BWF 和归一化 BWF 的关系 ( ) ( / ) L0 c H s = H s  归一化 Butterworth 滤波器的极点 条件：h(t)是实的 H( jw ) =H*(- jw ) 2 j ( ) ( ) (j) ( j) (j) H s H −s s=  = H H − = H N s H s H s 2 1 ( j ) 1 ( ) ( ) + − − = 极点： ( 1) j {e } j 1/ 2N jπ 2πk 1/ 2N k s − + = − = N k N k e ; 1,2 ,2 ) 2 2 1 2 1 jπ( = =  − + 共有 2N 个极点，为了保证系统的稳定，选左半平面的 N 个 极点。 s N k N k k e ; 1,2 , ) 2 2 1 2 1 jπ( = =  − + 为左半平面的 N 个极点

-2k+1is(↓+2(N+I-k)-I1.2k-12)i---jn(-2N22N22NSN+I-k=e2=e=e=Sk(s-st)(s-$t)=s? -2Re(st)s+|sl2(2k-1))s +1= s2 +2sin(2N·当N为偶数时N/21H(s)=II$2 +2(sin @,)s+1klQ, =(2k-1)元/(2N)例： N=2,0=(2k-1)元/(2N)=p/4 ; k=11H(s)=s2+~2s+1例：N=4,0,=(2k-1)元/8=p/8,3p/8;k=1,21H(s)=(s2 +2 sin(元/8)s+1)(s2 +2 sin(3元/8)s+1)1(s? +0.7654s +1)(s +1.8478s+1)当 N为奇数时engia2N=eji =-1S(N+1)/2=e(N-1)/211H(s)5 +2(sin 0)s+1(s +1)k=l0=(2k-1)元/(2N)1例：N=1H(s)=(s+1)N=30 =(2 -1)元/(2×3) = 元/6IH(s)=(s+1(s? +$+1)

2) 2 2( 1 ) 1 2 1 jπ( 1 e − + − − + + − = N N k N k s ) 2 2 1 2 1 jπ( e N − k+ − + = ) 2 2 1 2 1 jπ( e N k− − + = k = s 2 2 ( )( ) 2Re( ) k k k k s − s s − s = s − s s + s  ) 1 2 (2 1) 2sin( 2 + − = + s N k s  • 当 N 为偶数时 2(sin ) 1 1 ( ) 2 / 2 1 + + == s s H s k N k  (2k 1)π /(2N) k = − 例：N=2, (2k 1)π /(2N) k = − =p/4 ; k=1 2 1 1 ( ) 2 + + = s s H s 例：N=4, k = (2k −1)π /8=p / 8, 3 p / 8; k=1 ,2 ( 2sin( π /8) 1)( 2sin( 3π /8) 1) 1 ( ) 2 2 + + + + = s s s s H s ( 0.7654 1)( 1.8478 1) 1 2 2 + + + + = s s s s • 当 N 为奇数时 ) 2 2( 1)/ 2 1 2 1 jπ( ( 1)/ 2 e N N N s + − + + = e 1 jπ = = − 2(sin ) 1 1 ( 1) 1 ( ) 2 ( 1)/ 2 + 1 + + =  − s = s s H s k N k  (2k 1)π /(2N) k = − 例：N=1 ( 1) 1 ( ) + = s H s N=3 (2 1)π/(2 3) 1 = −  = π/ 6 ( 1)( 1) 1 ( ) 2 + + + = s s s H s

例：设计一个满足下列指标BW型模拟滤波器p=0.1元，の=0.4元，A,=1dB,As=10dBlog1o|H(jo,)=-0.1AlogoH(jo,)=-0.1A,·H(jo)21+(0/0.)2N1+(2)2N =1004,1+()2N = 100.14,O0100.14, 1log1o()100.14,NZ=1.282log10(0, /0,)取N=2，将N=2带入通带满足的方程0p=0.44040(100.11)/41o?H(s)=s?+~20,$+0?()+~2()+110..0.44042$2+0.6228s+0.44042验证：Ap=0.9999db;As=18.2795db通带满足指标，阻带超过指标模拟Butterworth低通滤波器设计步骤：(1）由滤波器的设计指标wp、ws、Ap、As和式确定滤波器的(2)阶数N100.14,log1o0100.14,N≥2log1o(o, /o,)(2)确定wcOpQ(1014 -1)/2 ≤0. ≤(100.14, 1)/2N(3)确定滤波器的系统函数H(s)

例：设计一个满足下列指标 BW 型模拟滤波器  = 0.1 p ，  = 0.4  p = 0.1 ，  s = 0.4 ， Ap = 1dB， As = 10dB p Ap log H( j ) 0.1 2 10  = − s As log H( j ) 0.1 2 10  = − N c H j 2 2 1 ( / ) 1 ( )    + = N Ap c p 2 0.1 1+ ( ) =10   N As c s 2 0.1 1+ ( ) =10   1.28 2log ( / ) ) 10 1 10 1 log ( 10 0.1 0.1 10 = − −  p s A A s p N   取 N=2，将 N=2 带入通带满足的方程 0.4404 (10 1) 0.1 1/ 4 = − = p c   2 2 2 2 2 ( ) 2( ) 1 1 ( ) c c c c c s s s s H s      + + = + + = 2 2 2 0.6228 0.4404 0.4404 + + = s s 验证： Ap=0.9999db ; As= 18.2795 db 通带满足指标，阻带超过指标 模拟 Butterworth 低通滤波器设计步骤: (1) 由滤波器的设计指标 wp、ws、Ap、As 和式确定滤波器的 (2) 阶数 N 2log ( / ) ) 10 1 10 1 log ( 10 0.1 0.1 10 p s A A s p N   − −  (2) 确定 wc A N 0.1A 1/ 2N s c 0.1 1/ 2 p (10 1) (10 1) p s −   −    (3)确定滤波器的系统函数 H(s)

MATLAB设计模拟Butterworthfilter[z,p,k]-buttap(N)·确定N阶归一化的Butterworthfilter的零点、极点和增益（gain）kH(s) =(s- p(1)(s- p(2)..-(s- p(N)N,Wc-buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s)确定模拟Butterworthfilter的阶数N和3-db截频Wc。Wc是由阻带参数确定的。[num,den]-butter(N,Wc,'s')确定阶数为N，3-db截频为Wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多项式。"s表示模拟域。例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器fp=1kHz，fs=5kHz,Ap=1dB，As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000Ap=1;As=40[N,Wc]-buttord(Wp, Ws,Ap,As,'s);fprintf(Orderofthefilter=%.Ofln',N)[num,den] = butter(N,We,'s');disp(Numeratorpolynomial');fprintf(%.4eln',num),disp(Denominator polynomial);fprintf(%.4eln',den);omega-[Wp Ws];h = freqs(num,den,omega),fprintf(Ap=%.4f/n',-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fin',-20*log10(abs(h(2);0mega =[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB');0-10apuui-20-30O..-40.........*-501000200030004000500060000FrequencyinHzN=4Ap=0.1098dBAs=40.0000dB

MATLAB 设计模拟 Butterworth filter • [z,p,k]=buttap(N) 确定 N 阶归一化的 Butterworth filter 的零点、极点和增益(gain) ( (1)( (2)) ( ( )) ( ) s p s p s p N k H s − − − =  • [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定模拟 Butterworth filter 的阶数 N 和 3-db 截频 Wc。Wc 是由阻带参数确定的。 • [num,den]=butter(N,Wc,'s') 确定阶数为 N，3-db 截频为 Wc(radian/s)的 Butterworth filter 分子和分母多项式。's' 表示模拟域。 例：设计满足下列条件的模拟 Butterworth 低通滤波器 fp=1kHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dB Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40; [N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); fprintf('Order of the filter=%.0f\n',N) [num,den] = butter(N,Wc,'s'); disp('Numerator polynomial'); fprintf('%.4e\n',num); disp('Denominator polynomial'); fprintf('%.4e\n',den); omega=[Wp Ws];h = freqs(num,den,omega); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10(abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10(abs(h(2)))); omega = [0: 200: 12000*pi]; h = freqs(num,den,omega); gain = 20*log10(abs(h));plot (omega/(2*pi),gain); xlabel('Frequency in Hz'); ylabel('Gain in dB'); 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency in Hz Gain ni dB N=4 Ap= 0.1098 dB As= 40.0000 dB

4.1.2TypeIChebyshevLowpassfilter(CBI型)1H(jo)1+gC(0/0)cos(Ncos- x)[x/≤1C~(x)=cosh(N cosh- x)[x>14|H(i(の)XNNQ6：通带波纹の：通带截频N：阶数(由阻带指标确定A|H(i(の)N/1+62N-20wCBI型filter的性质1)在0≤≤时，H(j0)在1和间振荡(equiripplefilter)1+2)の≥の时，H(jの)"单调下降(N增大，下降加速)

4.1.2 Type I Chebyshev Lowpass filter(CB I 型) 1 ( / ) 1 ( ) 2 2 2 CN c H j     + =      = − − cosh( cosh ) 1 cos( cos ) 1 ( ) 1 1 N x x N x x C x N  H( j()) 1  c N=2 N=3 N=7  H( j()) 1  c N=2 N=3 N=7  : 通带波纹  c：通带截频 N：阶数(由阻带指标确定)  c：通带截频 N：阶数(由阻带指标确定)  H( j()) 1  c N=2 N=3 N=7 2 1 1 +   H( j()) 1  c N=2 N=3 N=7 2 1 1 +  CB I 型 filter 的性质 1)在  c 0   时， 2 H( j) 在 1 和 2 1 1 +  1)在 间振荡(equiripple filter)  c 0    c 0   时， 2 H( j) 2 H( j) 在 1 和 2 1 1 +  间振荡(equiripple filter) 2) c    时， 2 2)   c 时， H( j) 单调下降（N 增大，下降加速） 2 H( j) 2 H( j) 单调下降（N 增大，下降加速）

>/2=—13)H(jQ)8控制了通带衰减1+2N为奇时 [H(j0)=11N为偶时 [H(j0)2 =1+2归一化CheybshevI型filter的极点St=0+ jo;k=1,2..,Nβ= sih (1/s)Oμ =-sinh( B)sin (2k-1)元N2NN/21(0 +0%)N为偶时H.o(s)s?-20s+(02 +0)V1+&21)/2sinh( β)(0 +0)N为奇时H..(s)=s +sinh( β)s?-20,s+(0 +0%)CBI型AF设计步骤1)通带截频确定0。=2)通带指标确定e-201og|H(jo.)= A,= 6= V100:14, -1]3)阻带指标确定Ncosh(- /104 -1)-20logoH(jo,)= A, = N =cosh-(o,/o.)MATLAB设计模拟typeIChebyshevfilter[z,p,k]=cheb1ap(N,Ap),确定N阶归一化的Chebyshevfilter的零点、极点和增益(gain）[num.den]=cheby1(N.Ap.Wc.'s')确定阶数为N，通带截频为Wc(radian/s)的Chebyshevfilter。's’表示模拟域[N,Wc]=cheblord(Wp,Ws,Ap,As,'s)确定模拟Chebyshevfilter的阶数N。Wc=Wp(rad/s)例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器p=1KHz,fs=5kHz, Ap=1dB，As=40dB%filter specificationWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40

3) 2 2 1 1 ( )   + = c 3) H j 2  控制了通带衰减 2 1 1 ( )   + = c H j 2 2 1 1 ( )   + = c H j  控制了通带衰减 N 为奇时 ( 0) 1 2 N 为奇时 H( j0) = 1 2 H( j0) = 1 2 H j = N 为偶时 2 2 1 1 ( 0) +  N 为偶时 H j = 2 2 1 1 ( 0) +  H j = 2 2 1 1 ( 0) +  H j = 归一化 Cheybshev I 型 filter 的极点 sk = k + jk ; k =1,2.,N N k k 2 (2 1) sinh( )sin    − = − N sinh (1/ ) 1   − = N 为偶时 2 ( ) ( ) 1 1 ( ) 2 2 2 / 2 2 2 1 2 0 k k k k k N k L s s H s       − + + + + = = N 为奇时 2 ( ) ( ) sinh( ) sinh( ) ( ) 2 2 2 ( 1)/ 2 2 2 1 0 k k k k k N k L s s s H s        − + + + + =  − = CB I 型 AF 设计步骤 1)通带截频确定 c  p 1)通带截频确定 =  c  p = 2)通带指标确定 e c Ap −20log H( j ) = 10 1 0.1  = − Ap  ] 3)阻带指标确定 N s As −20log10 H( j ) = cosh ( / ) 10 1) 1 cosh ( 1 1 s c As N    − − −  = MATLAB 设计模拟 type I Chebyshev filter [z,p,k]=cheb1ap(N,Ap); 确定 N 阶归一化的 Chebyshev filter 的零点、极点和增益(gain) [num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s') 确定阶数为 N，通带截频为 Wc(radian/s)的 Chebyshev filter。 's' 表示模拟域 [N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定模拟 Chebyshev filter 的阶数 N。Wc=Wp(rad/s) 例：设计满足下列条件的模拟 CB I 型低通滤波器 fp=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dB %filter specification Wp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;

%Computerfilterorder[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s);fprintf(Order of the filter-%.Ofln',N)%computefiltercoefficients[num,den] = cheby1(N,Ap,Wc,'s),disp(Numerator polynomial')fprintf(%.4eln',num),disp(Denominator polynomial');fprintf(%.4eln',den),%ComputeApand As ofdesignedfilteromega=[Wp Ws],h = freqs(num,den,omega);fprintf(Ap=%.4fln',-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fin,-20*log10(abs(h(2);1.2187×10llH(s)=$+6.2099×10"s2+4.88×10's+1.2187×100-10Ap=1.0000-20As=47.8467-30-40-5060%10002000 Freohcy4Az50006000切比雪夫ⅡI型模拟低通滤波器1cC%(0. / 0)HCic1+C(0. /0)1+gC%(0. /0)A (H(jo)]1oopoMATLAB设计模拟typeIIChebyshevfilter

%Computer filter order [N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); fprintf('Order of the filter=%.0f\n',N) %compute filter coefficients [num,den] = cheby1(N,Ap,Wc,'s'); disp('Numerator polynomial'); fprintf('%.4e\n',num); disp('Denominator polynomial'); fprintf('%.4e\n',den); %Compute Ap and As of designed filter omega=[Wp Ws]; h = freqs(num,den,omega); fprintf('Ap= %.4f\n',-20*log10(abs(h(1)))); fprintf('As= %.4f\n',-20*log10(abs(h(2)))); 3 3 2 7 11 11 6.2099 10 4.88 10 1.2187 10 1.2187 10 ( ) +  +  +   = s s s H s Ap= 1.0000 As= 47.8467 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency in Hz Gain in dB 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 Frequency in Hz Gain in dB 切比雪夫 II 型模拟低通滤波器 1 ( / ) ( / ) 1 ( / ) 1 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2           N c N c N c C C C H j + = + = − MATLAB 设计模拟 type II Chebyshev filter 1 0 p  s − p |H(j)| s

[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As,'s)确定模拟切比雪夫II型滤波器的阶数N。[num,den]=cheby2(N,As,Wc,'s')确定阶数为N，阻带衰减为AsdB的切比雪夫II型滤波器的分子和分母多项式。Wc由cheb2ord函数确定。4.1.3椭圆低通滤波器MATLAB设计椭圆滤波器函：[N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s)确定椭圆滤波器的阶数N。Wc=Wp。[num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s)确定阶数为N，通带参衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc是椭圆滤波器的通带截频

[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定模拟切比雪夫 II 型滤波器的阶数 N。 [num,den]=cheby2(N,As,Wc,'s') 确定阶数为 N，阻带衰减为 As dB 的切比雪夫 II 型 滤波器的分子和分母多项式。Wc 由 cheb2ord 函数确定。 4.1.3 椭圆低通滤波器 MATLAB 设计椭圆滤波器函： [N,Wc]=ellipord(Wp,Ws,Ap,As,'s') 确定椭圆滤波器的阶数 N。Wc=Wp。 [num,den]=ellip(N,Ap,As,Wc,'s') 确定阶数为 N，通带参衰减为 Ap dB，阻带衰减为 As dB 的椭圆滤波器的分子和分母多项式。Wc 是椭圆滤波器的通 带截频

4.2模拟频率变换问题的提出·低通到低通的变换·低通到高通的变换。低通到带通的变换低通到带阻的变换问题的提出如何设计模拟高通、带通、带阻滤波器？4.2.1低通到低通的变换低通到低通的变换为Hp(s)= H,(3) = s / 00将s=j，s=jo代入s=s/の中得=0/04可可=0/0000p00例：归一化的3阶巴特沃思低通滤波器为1Hro(s)=(s+1)(s?+s+1)3dB截频为wc的3阶巴特沃思低通滤波器为0H(s)=Ho(3)=s/ 0,(s+0)s?+0s+0)%归一低通到非归一低通的频率变换%确定归一低通N=3;Wc=2;[z,p,k]-buttap(N);[num,den]-zp2tf(z,p,k);%频率变换[numt,dent] = Ip2lp(num,den,Wc);

4.2 模拟频率变换 • 问题的提出 • 低通到低通的变换 • 低通到高通的变换 • 低通到带通的变换 • 低通到带阻的变换 问题的提出 如何设计模拟 高通 、带通、带阻滤波器? 4.2.1 低通到低通的变换 低通到低通的变换为 0 HLP (s) = HL (s)s = s/ 将 s = j ， s = j 代入 0 s = s/ 中得 0  = / 例：归一化的 3 阶巴特沃思低通滤波器为 ( 1)( 1) 1 ( ) 0 2 + + + = s s s H s L 3dB 截频为 wc 的 3 阶巴特沃思低通滤波器为 ( )( ) ( ) ( ) / 2 2 3 0 c c c c L L c s s s H s H s s s      + + + = = = %归一低通到非归一低通的频率变换 %确定归一低通 N=3;Wc=2; [z,p,k]=buttap(N); [num,den]=zp2tf(z,p,k); %频率变换 [numt,dent] = lp2lp(num,den,Wc);    p s 0 p 0s   =