《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch1_2 DFS

离散Fourier级数DFSDFS的推导DFS的基本性质周期卷积崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 离散Fourier级数(DFS) DFS的推导 DFS的基本性质 周期卷积

DFS的推导周期为N的单位脉冲序定义为X[K]= [k-rN]r=-8,[k]崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 DFS的推导 周期为N的单位脉冲序定义为 [ ] [ ] ~ k k rN r N =  −  =−   0 1 2 3 4 1 k 5 [ ] ~ 5  k

x[k]x4[k] = 3,[k] + 23[k -2]一般地，一个周期为N周期序列可表示为N-1Zx[]~[k- ]x[k] =1=0崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 2 k 0 1 2 3 4 1 [ ] ~ 4 x k [ 2] ~ [ ] 2 ~ [ ] ~ x4 k =  4 k +  4 k − 一般地，一个周期为N周期序列可表示为 [ ] ~ [ ] ~ [ ] ~ 1 0 x k x l k l N N l =  − − = 

定义W~=k不是N的整数倍N-1WtkZ= N~[K]NNk是N的整数倍1=0周期为N的单位脉冲序列DFS表示N-11-kmZW[k]=NNm=0崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 N j N W e 2 − 定义 =  − =     = 1 0 N l kl WN 0 k不是N的整数倍 N k是N的整数倍 [ ] ~ = N N k  − = − = 1 0 1 [ ] ~ N m km N WN N  k •周期为N的单位脉冲序列DFS 表示

般周期序列的DFS表示（周期为N-1N-1N-1Zx[]~[k - 1] 2W-(k-1)mx[k] =x[]NN1=01=0m=0N-1WZ-kmx[1]NN1-0m=0N-1lmZ定义：X[m] =x[]]W：N1=0N-11NX[m]Wmkx[k] =Nm=0崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 •一般周期序列的DFS表示(周期为N) [ ] ~ [ ] ~ [ ] ~ 1 0 x k x l k l N N l =  − − =  k l m N N m N l x l W N ( ) 1 0 1 0 [ ] 1 ~ − − − = − = =   km N l m N N l N m x l W W N − − = − =       =   [ ] 1 ~ 1 0 1 0 定义： l m N N l X[m] ~x[l]W ~ 1 0  − = = m k N N m X m W N x k − − = =  [ ] 1 ~ [ ] ~ 1 0

对周期为N的任意周期序列N-1N-1+nZZx[k]x[k] =x[k]k=0k=nk=x[k]WmkZX[m] = DFS[X[k]} =k=1X[mJW-mkZx[k] = IDFS(X[m]]Nm=崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 对周期为N的任意周期序列 [ ] ~ [ ] ~ 1 1 0 x k x k N n k n N k   − + = − = =  =  = k N x[k] ~ mk N k N X[m] DFS{ ~x[k]} ~x[k]W ~  =  = = mk N m N X m W N x k X m − =  = =  [ ] 1 ~ [ ]} ~ [ ] IDFS{ ~

例：xkl-2cos（元k/5），试求其10点的DFS系数。3x[k] = 云 (10 exp( j2元k /10) +10 exp(- j2元k / 10))101(10W/ +10Wh)110-1≤m≤8范围内X[m]=10, m=-1,1X[m]=0，其他0≤m≤9范围内X[m]=0,其他X[m] = 10, m=1,92025/7/2崔丽珍通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 例：x[k]=2cos( k/5), 试求其10点的DFS系数。 {10exp( 2 /10) 10exp( 2 /10)} 10 1 [ ] ~x k = j k + − j k [ ] 10, 1,1 ~ X m = m = − [ ] 0, 其他 ~ X m = {10 10 } 10 1 10 10 k k W W − = + −1 m  8范围内 0  m  9范围内 [ ] 10, 1,9 ~ X m = m = [ ] 0, 其他 ~ X m =

例：求如图所示周期方波序列的DFS系数N>2M+1。3x[K]A0MN-MN+M-N+MN-MM2元kmX[m]=DFS(x[k])= Z x[k]WmkZNeAk=k=-M当m=0，±N，±2N，...时有X[m]= 2M +1对m的其它取值，利用等比级数的求和公式有元m2元2元-mMm(M+1)sinNNNeeX[m]2元元mmNsinN崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 例:求如图所示周期方波序列的DFS系数N>2M+1。 M k 1 0 x[k] −N+M −M N−M N N+M mk N k N X[m] DFS{x[k]}  x[k]W =  = = km N j M k M e 2 − =− =  当m=0, N, 2N, 时有 X[m] = 2M +1 对m的其它取值，利用等比级数的求和公式有 m N j m M N mM j N j e e e X m    2 ( 1) 2 2 1 [ ] − − + − − = ( )             + = N m M N m   sin sin 2 1

543N=30，M=2XIml 2周期方波的1DFS系数-30-200102030-10m252015N=30，M=12Xml10周期方波的DFS系数-3010-20-1002030m崔丽珍2025/7/2通信与电子信息系

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 -30 -20 -10 0 10 20 30 -1 0 1 2 3 4 5 m X[m] -30 -20 -10 0 10 20 30 -5 0 5 10 15 20 25 m X[m] N=30，M=2 周期方波的 DFS系数 N=30，M=12 周期方波的 DFS系数

设N是奇数，则由部分DFS系数确定的时域信号的部分和为x[K]=2X[m]exp]kmNm=-px,[k]x,[K]0.50电-505-101005-10-510kkN=13，M=3，p=1的部分和N=13，M=3，p=2的部分和2025/7/2通信与电子信息系崔丽珍

2025/7/2 通信与电子信息系 崔丽珍 设N是一奇数，则由部分DFS系数确定的时域信号的部分和为       = =− k m N X m j N x k p m p p 2 [ ]exp 1 [ ] -10 -5 0 5 10 0 0.5 1 x1[k] k N=13，M=3，p=1的部分和 -10 -5 0 5 10 0 0.5 1 k x2[k] N=13，M=3，p=2的部分和