《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch5_4 FIR优化设计

FIR滤波器的优化设计·误差准则·4种类型的线性相位滤波器统一表示·等波纹FIR滤波器设计·MATLAB实现

•误差准则 •4种类型的线性相位滤波器统一表示 •等波纹FIR滤波器设计 •MATLAB实现 FIR 滤波器的优化设计

误差准则所需系统的幅度函数为Ad(ej)设计所得系统的幅度函数为 A(ei)加权误差函数定义(Q)=W2)[A (ej) - A d(ei)]其中W(2)≥0，是由设计者定义的加权函数

误差准则 所需系统的幅度函数为 A d (ejW) 设计所得系统的幅度函数为 A (ejW) 加权误差函数定义 e(W)=W(W)[A(ejW) - A d (ejW)] 其中W(W)0，是由设计者定义的加权函数

加权积分平方误差E= J, [W(2)(A(ei0)- As(ej2)PdQ离散加权L，误差171(2 [W(2,)(A(eja.) - A(e0.)E=L=11(n=1最大最小准则(minimaxcriterion)或Chebyshev准则E。= max W(2)(A(ejg )- A(ej0)

离散加权Lp 误差  ( ) p p j d j n K n p n n E L W A e A e 1/ 1 ( ) ( ) ( )       = =  - = W W W 加权积分平方误差  W ( ) W W W ( ) ( ) ( ) d 2 j d j I E = W A e - A e  最大最小准则(minimax criterion)或Chebyshev准则 max ( )( ( ) ( )) c W W W j d j E = W A e - A e

4种类型的线性相位滤波器统一表示A(2) = O(2)G(2)JG(2)=≥g[k]cos(k2)k=0I型1.I型M/2,Ⅱ型I型cos(2 / 2),(M -1)/2,9(2)=厂=III型III型M/2-1,sin(2),IV型(M -1)/2,IV型sin(Q / 2)

4种类型的线性相位滤波器统一表示 A(W) = Q(W)G(W) ( ) [ ]cos( ) 0 G W g k kW J k = =        = sin( / 2), IV型 sin( ), III型 cos( / 2), II型 1, I型 ( ) W W W Q W        - - - = ( 1)/ 2, IV型 / 2 1, III型 ( 1)/ 2, II型 / 2, I型 M M M M J

等波纹FIR滤波器设计利用Chebyshev误差准则设计FIR滤波器PM(Parks-McClellan,1972)算法Remez(1957)交换算法。也有人将其称为Remez算法。E(2)=W(2) Q(2)2E g[k]cos(k2)-D(2)k=0[2=W(2)Q(2)g[k]cos(k2) - D(2) / Q(2)Lk=0JG(2)=≥ 8g[k]cos(k?)D(2) = D(2)/ Q(2)k=0W(2) = W(2)Q(2)E(2) = W(2)[G(2)- D(2))

利用Chebyshev误差准则设计FIR滤波器 PM(Parks-McClellan ,1972)算法 。 Remez(1957)交换算法。也有人将其称为Remez算法。       =  - = ( ) ( ) ( ) [ ]cos( ) ( ) 0 E W W W Q W g k kW D W J k ( )] ~ ( )[ ( ) ~ E(W) =W W G W - D W ( ) [ ]cos( ) 0 G W g k kW J k = = ( ) ( ) ( ) ~ W W =W W Q W ( ) ( )/ ( ) ~ D W = D W Q W       =  - = ( ) ( ) [ ]cos( ) ( )/ ( ) 0 W W Q W g k kW D W Q W J k 等波纹FIR滤波器设计

设计准则：确定系数g[kl,0<k<，使得误差8 = max W(2)[G(2) - D(2))Qel达到最小。交替定理最佳逼近函数G(2)存在并惟一的充要条件为在集合I的范围内至少存在J+2个极值点2<2,<.<2+1使得(2k)=-(2k+1),0≤k≤J,0≤k≤J+1[(2k)/ = 8,如果选择通带的加权为1，阻带的加全为S/S，则设计得到的最优滤波器通带和阻带的波动分别为8=8p8=0,×(8,/8)=0

设计准则：确定系数{g[k],0k J}，使得误差 ( )] ~ ( )[ ( ) ~ e max W W W W W G D I = -  达到最小。 交替定理 最佳逼近函数G(W)存在并惟一的充要条件为在集合 I的范围内至少存在J+2个极值点 W0< W1<  <WJ+1，使得 e (Wk ) = -e(Wk+1 )， 0  k  J, |e (Wk )| = e, 0  k  J+1 如果选择通带的加权为1，阻带的加全为dp /ds，则设计得到 的最优滤波器通带和阻带的波动分别为 d p e = s p s p e = d (d /d ) = d

如果+2个极值点已找到，由交替定理W(2)[G(2)-D(2)]=(-1)*s, 0≤k≤J +1共有J+2个方程，从中可解出J+1个系数（g[kl0<k<和误差s。等波纹线性相位FIR滤波器的设计步骤：(1）用Kaiser提出的经验公式估计滤波器的阶数-201og10 /s,8,-13M =2.322,-2由N及类型(I型、II型)确定J。(2)选定初始极值点(2k:0≤k<J+1)例如可以在中每个区间中均匀的抽取

如果J+2个极值点已找到，由交替定理 ( )] ( 1) , 0 1 ~ ( )[ ( ) ~ W G - D = -  k  J + k k k k W W W e 共有J+2个方程，从中可解出J+1个系数{g[k], 0  k  J}和误差e 。 等波纹线性相位FIR滤波器的设计步骤： (1) 用Kaiser提出的经验公式估计滤波器的阶数 p s 10 p s 2.32 20log 13 W W d d - - - M = 由N及类型(I型、II型)确定J。 (2)选定初始极值点{Wk ; 0kJ+1}。 例如可以在I中每个区间中均匀的抽取

(3)计算。可证为CD(2)+c,D(2)++CJ+ID(2+)8(-1)+"cJ+lCoCi-...W(2.)W(2J+1)W(2)其中J+11c,=11cos(2,)-cos(2k)k=0ktn

(3)计算e 。可证e 为 ( ) ~ ( 1) ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 + + + + + - - + + + + + = J J J J J W c W c W c c D c D c D W W W W W W e   其中 cos( ) cos( ) 1 1 0 n k J k n k n c W - W =  +  =

(4)计算函数G(②)在I中的抽样值。计算函数G(2)在I中的抽样值。为了减少计算误差，抽样间隔应足够小。通常选择抽样点数为16M。G(2)在(2:0<k+1点的值为(1)s+D(2)。0≤k≤J+1G(2k)=W(2k)用Lagrange内插获得G(2)在其它点上的值J+1G(2)=Z (G(2)P (cos 2)k=0J+1cOsQ-cOS2P (cos 2) =11cOs 2k- cOs 2nn=0n+k

(4)计算函数G(W)在I中的抽样值。 计算函数G(W)在I中的抽样值。为了减少计算误 差，抽样间隔应足够小。通常选择抽样点数为16M。 G(W)在{Wk ; 0kJ+1}点的值为 ( ), 0 1 ~ ( ) ~ ( 1) ( ) +   + - = D k J W G k k k k W W e W 用Lagrange内插获得G(W)在其它点上的值 ( ) ( ) (cos ) 1 0 W Wk k W J k G  G P + = = k n n J n k n Pk W W W W W cos cos cos cos (cos ) 1 0 - - =  +  =

(5)寻找新的极值点;2由 G(2)的抽样值计算出误差函数 E(2)的抽样值。利用E(②)的抽样值求出其新的极值点2)及最大误差值。(6)如果ε-<T (如 T=10-6)，执行(7)。否则用(2)交换(2)回到(3)。(7)解方程获得g[k]。(8)由g[k]求出h[k]

(5)寻找新的极值点 } ~ {Wk 由 G(W)的抽样值计算出误差函数 E(W)的抽样值。 利用 E(W)的抽样值求出其新的极值点 } ~ {Wk 及最大误差值e ~ 。 (6)如果 e - e  T ~ (如 T=10-6)，执行(7)。 否则用 } ~ {W k 交换{ } W k 回到(3)。 (7)解方程获得g[k]。 (8)由g[k]求出h[k]