《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch6 功率谱估计

随机信号的功率谱估计离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计现代功率谱估计

随机信号的功率谱估计 ◼ 离散随机序列的特征描述 ◼ 平稳随机序列通过LTI系统 ◼ 经典功率谱估计 ◼ 现代功率谱估计

离散随机序列的特征描述随机过程的分布函数随机信号的数字特征平稳各态遍历随机信号的时域描述平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度）

离散随机序列的特征描述 ◼ 随机过程的分布函数 ◼ 随机信号的数字特征 ◼ 平稳各态遍历随机信号的时域描述 ◼ 平稳各态遍历随机信号的频域描述 （功率谱密度）

随机过程的分布函数(XT),kEZ)表示一个随机过程一维分布函数F(x,k) = P(X[kl≤ x)二维分布函数F(x),x2; ki, k2) = P(X[k]≤xi, X[k2]≤ x2)N维分布函数F(xi,X2,.*",Xn;ki,k2,...kn)= P(X[kil≤ xi,...X[knI≤ xn)

一、 随机过程的分布函数 {X[k], kZ}表示一个随机过程 一维分布函数 F(x,k) = P(X[k]  x) N 维分布函数 ( , , , ; , , ) F x1 x2  xN k1 k2 kN ( [ ] , [ ] ) = P X k1  x1 X kN  xN 二维分布函数 ( , ; , ) ( [ ] , [ ] ) F x1 x2 k1 k2 = P X k1  x1 X k2  x2

二、随机信号的数字特征均值mx[k] = E(X[k])方差?[k] = E((X[k]- mx[k])"} = E{X"[k]- m,[k]自相关函数Rx[k,k, ] = E(X[k,]X[k, ]]互相关函数Rx,[k1, k2] = E(X[k,]Y[k2 ])

二、随机信号的数字特征 均值 m [k] E{X[k]} x = 方差 [ ] {( [ ] [ ]) } { [ ] [ ]} 2 2 2 2  x k = E X k − mx k = E X k − mx k 自相关函数 [ , ] { [ ] [ ]} Rx k1 k2 = E X k1 X k2 互相关函数 [ , ] { [ ] [ ]} Rx y k1 k2 = E X k1 Y k2

三、平稳各态遍历随机信号的时域描述1平稳随机序列指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列严平稳随机序列：F(xi,X2,..,xn;kj,k2,...kn) = F(x1,X2,...,Xn;ki +n,k2 +n,...kn +n)宽平稳随机序列：E(X[k]) =mxE(X[k]X[k+n]} = Rx[n]

三、平稳各态遍历随机信号的时域描述 1 平稳随机序列 E X k = mx { [ ]} E{X[k]X[k n]} R [n] + = x 指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列 严平稳随机序列： ( , , , ; , , ) ( , , , ; , , ) F x1 x2  x N k1 k2 k N = F x1 x2  x N k1 + n k2 + n k N + n 宽平稳随机序列：

平稳随机信号自相关函数特性(l） 对称性R[n]=R,[-n]R,[n]=R[-n]（2）极限值n=0R,[O]=E(X[k]n>80R[]=m?（3）不等式R.[O]≥R,[n]

平稳随机信号自相关函数特性 （1）对称性 R [n] R [ n] x = x − [ ] [ ] * Rx n = Rx −n （2）极限值 n = 0 [0] { [ ]} 2 R E X k x = n→ 2 [ ] Rx  = mx （3）不等式 R [0] R [n] x  x

2.各态遍历随机信号集平均等于时间平均≥√x[k]mx = E(X[k]}) = limN-→ 2N +1K=-NN工E[x[k]-m,]?= E([X[k]-m]= limN-→ 2N + 1=-NNZR[n]== E(X[k]X[k +n]) = lim x[k]x[k +n] N→ 2N +1=-N

2. 各态遍历随机信号 集平均等于时间平均  =− → + = = N k N N x x k N m E X k [ ] 2 1 1 { [ ]} lim  =− → − + = − = N k N x N x x x k m N E X k m 2 2 2 [ [ ] ] 2 1 1  {[ [ ] ] } lim [ ] [ ] 2 1 1 [ ] { [ ] [ ]} lim x k x k n N R n E X k X k n N k N N x + + == + =  =− →

四、平稳各态遍历随机信号的频域描述功率谱密度x (2, N)2]EIP (2) = lim2N+1N->8维纳—辛钦公式R,(n)e-jonZP,(2) =n=-8024P (2)ejandQR.(n)2元-元当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对

四、平稳各态遍历随机信号的频域描述 维纳——辛钦公式   =− −   = n j n x x P ( ) R (n)e =    − R n P e d j n x x ( ) 2 1 ( )    ( , ) ] 2 1 1 ( ) lim [ 2 F N N P E X N x  +  = → 当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关 函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对。 功率谱密度

平稳随机序列通过LTI离散时间系统输出序列的均值输出序列的自相关函数输出序列的功率谱输入/输出序列的互相关函数及互功率谱

平稳随机序列通过LTI离散时间系统 ◼ 输出序列的均值 ◼ 输出序列的自相关函数 ◼ 输出序列的功率谱 ◼ 输入/输出序列的互相关函数及互功率谱

平稳随机序列通过LTI系统-Y[K]X[k]h[k]Y[k] =h[n]X[k -n]n

平稳随机序列通过LTI系统 X[k] h[k] Y[k] Y[k] h[n]X[k n] n =  −