《信号与系统》课程教学资源（习题解答）第七章 连续时间系统的S域分析

CIECAU第七章系统函数本章重点零极点与系统的因果性、稳定性分析1（2）由零极点确定暂态，稳态、自由和强迫响应。(3)系统的信号流图表示和梅森公式。例7.1某连续时间LTI系统由下列文分方程所描述r(0)+r(t)-6r()=e(0)+e()(a）试求系统函数H(s)，并画出其零极点图(b）分析H(s)可能的收敛域求出相应的单位冲激响应h(1)，并求出系统的因果性稳定性。（a）对微分方程进行双边拉氏变换得解 s'R(s)+sR(s)-6R(s)= sE(s)+ E(s)于是H()= R()s+1+E(s)s+s-6(s-2)(s+3)H(s)的零极点图如图7.1所示。No(b）H(s)具有两个极点，可能的收大敛域有以下三种：A（1）当收敛域为Re[sl>2时h(0)=(e+2e")e(1)图7.1因为收敛域位于最右边极点的右边，而且H(s)是有理的，所以相应的信号h(1)是因果的，这由h(t)的表达式也得到证实，因而该系统是因果的。又因为收敛域不包括jo轴，故系统是非稳定性的。在h(t)中出现了指数增长信号2e'e().（2）当收敛域为Re[]<-3时

CIEE CAU 第七章 系统函数 本章重点 （1） 零极点与系统的因果性、稳定性分析。 （2） 由零极点确定暂态，稳态、自由和强迫响应。 （3） 系统的信号流图表示和梅森公式。 例 7.1 某连续时间 LTI 系统由下列文分方程所描述 2 2 () () 6 () () () dd d rt rt rt et et dt dt dt + −= + （a）试求系统函数 H s( ) ，并画出其零极点图； （b）分析 H s( ) 可能的收敛域求出相应的单位冲激响应 h t( ) ，并求出系统的因果性， 稳定性。 解 （a）对微分方程进行双边拉氏变换得 2 s R s sR s R s sE s E s () () 6 () () () +− =+ 于是 ( ) ( ) ( ) R s H s E s = 2 1 6 s s s + = + − 1 ( 2)( 3) s s s + = − + H s( ) 的零极点图如图 7.1 所示。 （b）H s( ) 具有两个极点，可能的收 敛域有以下三种： （1）当收敛域为 Re[ ] 2 s > 时， 3 2 2 3 () ( ) () 5 5 t t ht e e t ε − = + 因为收敛域位于最右边极点的右 边，而且 H s( ) 是有理的，所以相应的信号h t( ) 是因果的，这由 h t( ) 的表达式也得到证实， 因而该系统是因果的。 又因为收敛域不包括 jω 轴，故系统是非稳定性的。在 h t( ) 中出现了指数增长信号 2 2 ( ) 5 t e t ε 。 （2）当收敛域为 Re[ ] 3 s < − 时， σ jω -3 -2 -1 0 1 2 3 图图7.1 6.1.1

CIEECAUh(0)=-(e2" +=e-")e(-1)因为收敛域位于最左边极点的左边，且H(s)是有理的，所以h(1)是反因果的，也即该系统是反因果的。又收敛域不包括jo轴，故该系统也是非稳定的。（3）当收敛域为-3-2(7.1)H(s) =$+2其反变换h(t)为h(1)= -(le(+1)例7.2某单输入单输出的因果LTI系统，当激励为e()时，相应的零状态响应为ra(t)=(8e--9e-"+e")e(t)；当激励为e;(t)时，相应的零状态响应为Tz2(1)=(e-"-4e-"+3e-")e(0)。其中e()e(1)，且e(1)和e,()均为指数单调衰减的有始函数。若已知r(0)=7,r(0")=-25。求该系统的零输入响应r(1)解，对于LTI系统，具有如下形式的系统函数(s-=)(7.2)H(s) =I(s-p)设激励信号e(t)的拉氏变换为(s--)E(s):(s-p)若H(s)与E(s)没有共同的极点，且没有对消零极点，则有R(s)= H(s)E(s)

CIEE CAU 3 2 2 3 () ( ) ( ) 5 5 t t ht e e t ε − = −+ − 因为收敛域位于最左边极点的左边，且 H s( ) 是有理的，所以 h t( ) 是反因果的，也即该 系统是反因果的。 又收敛域不包括 jω 轴，故该系统也是非稳定的。 （3）当收敛域为 − − + （7.1） 其反变换 h t( ) 为 2( 1) ( ) ( 1) t ht e t ε − + = + 例 7.2 某单输入单输出的因果 LTI 系统，当激励为 1e t( ) 时，相应的零状态响应为 4 3 1 ( ) (8 9 ) ( ) t tt zs rt e e e t ε − −− = −+ ；当激励为 2 e t( ) 时，相应的零状态响应为 432 2 () ( 4 3 ) () ttt zs rt e e e t ε −−− =− + 。其中 1 2 et et () () ≠ ，且 1e t( ) 和 2 e t( ) 均为指数单调衰减的有 始函数。若已知 r r (0 ) 7, (0 ) 25 − − = =− ′ 。求该系统的零输入响应 ( ) zp r t 。 解 对于 LTI 系统，具有如下形式的系统函数 1 1 ( ) ( ) ( ) m j j n i i s z Hs k s p = = − = − ∏ ∏ （7.2） 设激励信号e t( ) 的拉氏变换为 1 1 ( ) ( ) ( ) u l l v k k s z Es k s p = = − = − ∏ ∏ 若 H s( ) 与 E( )s 没有共同的极点，且没有对消零极点，则有 R() () () s HsEs =

CIEECAU高r(0)=Zken+2keni上式表示，r()由两部分组成，第一部分由H(s)的极点产生，称自由响应；第二部分由E(s)的极点产生，称强迫响应，由此可研究系统响应的组成。(7.3)R:(0)=E()H()- +4-34(7.4)Rs()=E(H()=→+4++2H(s)的极点是系统固有的，激励信号的改变只是对应着E(s)极点的改变，对照式(7.3)和式（7.4）可知，R(t)与Rs(1)公共的极点为H(s)的极点，不同的极点为E(s)的极点。于是H(s)的极点为Spl=-4,sp2=-3E(s)的极点为s,=-1E,(s)的极点为S,=-2所以可设系统的零输入响应为Tg()=(ce"+c,e") 120又r(0)=rg(0)=c +c, =7,r(0)=r)(0)=-4G -3c, =-25所以G=4,C,=3r()=4e-t+3e-3) 120例7.3已知某因果线性非时变系统可用二阶常系数微分方程来描述，且可知(1)若激励e(t)=l，则零状态响应r(t)=-l:(2）系统函数H(S)在有限的s平面内有一极点5=-1和一零点S=1；(3）系统单位冲激响应h(t)的初始值为2，且不含冲激。试求描述系统的微分方程。解因系统可用常系数微分方程来描述，所以H(s)是有理的，根据系统的阶数和已知零极点的位置可设H(s)=_9(9)(s-1)"(s+1(s+ p)

CIEE CAU 1 1 n v i k i k i k k k = = s p sp = + − − ∑ ∑ 1 1 ( ) i k n v pt p t i k i k r t ke k e = = = + ∑ ∑ 上式表示， r t( ) 由两部分组成，第一部分由 H s( ) 的极点产生，称自由响应；第二部分 由 E( )s 的极点产生，称强迫响应，由此可研究系统响应的组成。 1 1 891 () () () 431 R t E s Hs zs s s s = =−+ + + + ￾ （7.3） 2 2 143 () () () 432 R t E s Hs zs s s s = =−+ + + + ￾ （7.4） H s( ) 的极点是系统固有的，激励信号的改变只是对应着 E( )s 极点的改变，对照式（7.3） 和式（7.4）可知， 1 ( ) Rzs t 与 2 ( ) Rzs t 公共的极点为 H s( ) 的极点，不同的极点为 E( )s 的极点。 于是， H s( ) 的极点为 1 2 4, 3 p p s s =− =− 1 E ( )s 的极点为 1 p s = − 2 E ( )s 的极点为 2 p s = − 所以可设系统的零输入响应为 4 3 1 2 () ( ) 0 t t zp r t ce ce t − − = + ≥ 又 1 2 (0) (0) 7 zp r r cc = =+ = ， 1 2 (0) (0) 4 3 25 zp r r cc ′ ′ = =− − =− 所以 1 2 c c = 4, 3 = 4 3 () 4 3 ) 0 t t zp rt e e t − − = + ≥ 例 7.3 已知某因果线性非时变系统可用二阶常系数微分方程来描述，且可知 （1）若激励e t() 1 = ，则零状态响应 r t() 1 = − ； （2）系统函数 H s( ) 在有限的 s 平面内有一极点 s = −1和一零点 s =1； （3）系统单位冲激响应 h t( ) 的初始值为 2，且不含冲激。 试求描述系统的微分方程。 解 因系统可用常系数微分方程来描述，所以 H s( ) 是有理的，根据系统的阶数和已知零极 点的位置可设 ( )( 1) ( ) ( 1)( ) qs s H s s s p − = + +

CIEECAU式中g(s)是一个s的多项式，p是一个待定系数。因为激励e(t)=1=e时，响应r(t)=-1,r(1)= H(0) = H(0) = -1于是H(0)= - 0) -1即p=q(0) 又利用初值定理lim h(0) im sH(s)5(s-1)g(2) =2=lm(s+1/S+p)在s→8的极限式中，分子和分母的最高次方项起决定作用，分子比分母次数高则极限发散，分子比分母次数低则极限为零，只有同阶次方时为有限的非零值。所以q(s)必为常数k，于是ks(s-1)m0)=/m(s+1(s+)joA所以A*q(s)=k=22p=g(0)=2C故2(s-1)H(s)=(s+1)(s+2)2s-2图7.2+35+2由此可得描述该系统的微分方程为r0)+3%0)+2r0)-2%:0-2()例7.4已知描述某系统的微分方程为++%+40+30试用三种形式画出该系统的信号流图表示。解该系统的系统函数为H(0)=7 +8 +8+4(7.5)$+3(s + 1)(s + 2)（1）直接形式的信号流图表示如图7.3所示

CIEE CAU 式中 q s( ) 是一个 s 的多项式， p 是一个待定系数。 因为激励 () 1 at et e = = 时，响应 r t() 1 = − ， 0. ( ) (0) (0) 1 t rt H e H = ￾ = =− 于是 (0) (0) 1 q H p = − =− 即 p = q(0) 又利用初值定理 0 lim ( ) lim ( ) ( 1) ( ) lim 2 ( 1)( ) t s s h t sH s ss qs s sp → + →∞ →∞ = − = = + + 在 s → ∞ 的极限式中，分子和分母的最高次方项起决定作用，分子比分母次数高则极 限发散，分子比分母次数低则极限为零，只有同阶次方时为有限的非零值。所以 q s( ) 必为 常数 k，于是 0 ( 1) lim ( ) lim 2 ( 1)( ) t s ks s h t s sp → + →∞ − = = + + 所以 qs k () 2 = = p g = = (0) 2 故 2 2( 1) ( ) ( 1)( 2) 2 2 3 2 s H s s s s s s − = + + − = + + 由此可得描述该系统的微分方程为 2 2 () 3 () 2 () 2 () 2() dd d rt rt rt et et dt dt dt + += − 例 7.4 已知描述某系统的微分方程为 3 2 3 2 () 5 () 8 () 4 () () 3() ddd d rt rt rt rt et et dt dt dt dt + + += + 试用三种形式画出该系统的信号流图表示。 解 该系统的系统函数为 3 2 2 3 ( ) 5 84 3 ( 1)( 2) s H s sss s s s + = + + + + = + + （7.5） （1）直接形式的信号流图表示如图 7.3 所示。 σ jω 图 6.5.1 2 2 − 2 2 − 2 2 o 图 7.2

CIES图7.3因为图7.3形式的流图各支路传输值均可以直接从系统函数或微分方程的系数得出，所以称该流图为直接型表示。对系统函数作些改变，则可以得到另二种在实际中很重要的流图形式。(2)式（7.5）改写为1 s+3 1H(s):$+1 $+2 $+2据此可画出级联形式的信号流图如图7.4所示E(s)R(s)图 7.4注意在流图级联时，子流图之间的连接支路传输值为“1”，有的可在级联时略去，有的则不行。如二、三级之间的传输函数为“1”的支路可略去，而一、二级之间的则不可，否则将导致本不接触的回路变成接触的了，从而导致系统函数的变化，得出错误的结果。般地，若相连接的两子流图中前一个子路的输出节点无其他的输出支路（即只输出至下一子流图）时，可略去，函数形式为」时是典型的例子。+（3）式（7.5）进行部分分式展开H(s)=$+1(s+2)2s+2据此画出并联形式的信号流图如图7.5所示。E(s)R(s)

CIEE CAU E s( ) R s( ) 3 -4 -8 -5 1 s − 1 s − 1 s − 图 7.3 因为图 7.3 形式的流图各支路传输值均可以直接从系统函数或微分方程的系数得出，所 以称该流图为直接型表示。 对系统函数作些改变，则可以得到另二种在实际中很重要的流图形式。 （2） 式（7.5）改写为 1 31 ( ) 122 s H s s s s + =⋅⋅ + + + 据此可画出级联形式的信号流图如图 7.4 所示。 E s( ) 3 R s( ) 1 s− 1 s− 1 s− 1 s− -1 -2 -3 图 6.6.2 注意在流图级联时， 子流图之间的连接支路传输值为“1”，有的可在级联时略去，有 的则不行。如二、三级之间的传输函数为“１”的支路可略去，而一、二级之间的则不可， 否则将导致本不接触的回路变成接触的了，从而导致系统函数的变化，得出错误的结果。一 般地，若相连接的两子流图中前一个子路的输出节点无其他的输出支路（即只输出至下一子 流图）时，可略去，函数形式为 1 , s b s s a + + 时是典型的例子。 （３）式（7.5）进行部分分式展开 2 2 12 ( ) 1 ( 2) 2 H s ss s − − =+ + + + + 据此画出并联形式的信号流图如图 7.5 所示。 E s( ) R s( ) 1 s − 1 s − 2 -2 -1 1 s − 1 s − -2 -2 图 7.4

CIEECAU图7.5注意，重根的二次式和一次式的流图得画在一起，即二次式在流图中是在一次式后再级联一个一次式，否则将导致错误的结果。对于本例可由下式给予说明：（-2++2)(s+2)2$+2s-例6.7已知因果的LTI系统信号流图如图7.6所示。试求：E(s)R(s)-3图7.6（a）系统函数H(s)，并画出零极点图；（b）写出描述系统的微分方程；解（a）由信号流图可得H(s)=$°+4s+3(7.6)s+3 (s + 1)(s+3)h(t)=e'e(t)H(s)的零极点图如图7.7所示。+ jo★&O-1a图7.7系统函数在s=-3处有一一阶零点和一个一阶极点，零极点抵消，实际上H（s）只有一个极点S=-1（b）由式（7.6）可得微分方程为r(0)+4%r0)+3(0=%0+3e(0)

CIEE CAU 图 7.5 注意，重根的二次式和一次式的流图得画在一起，即二次式在流图中是在一次式后再级 联一个一次式，否则将导致错误的结果。对于本例可由下式给予说明： 2 1 21 1 (2 ) ( 2) 2 2 2 s ss s −− − + = ⋅− + + ++ + 例6.7 已知因果的 LTI 系统信号流图如图 7.6 所示。试求： E s( ) R s( ) 1 s 1 − s− -3 -4 3 图 7.6 （ａ）系统函数 H s( ) ，并画出零极点图； （ｂ）写出描述系统的微分方程； 解 （ａ）由信号流图可得 2 3 ( ) 4 3 3 ( 1)( 3) s H s s s s s s + = + + + = + + （7.6） () () t ht e t ε − = H s( ) 的零极点图如图 7.7 所示。 -3 -1 O σ jω 图 7.7 系统函数在 s = −3 处有一个一阶零点和一个一阶极点，零极点抵消，实际上 H s( ) 只有一个 极点 s = −1。 （ｂ）由式（7.6）可得微分方程为 2 2 () 4 () 3() () 3() dd d rt rt rt et et dt dt dt + += +

CIEECAU例6.8系统的信号流图如图 7.8所示，试求系统函数o-%E(s)R(s)图7.8解采用梅森公式。该信号流图有三个环路，环路增益分别为L =-s'L, = -2s-lL, = -2s-l其中，两两互不接触环路为L1与L2，LI与L3，L2与L3：三个都互不接触的环路为L1L2与L3。于是特征行列式为A=1-[4 +L, +2,]+[44, +L,4, +44,]-[4,2]=1+[s-" +2s-* +2s"]+[2s + 252 + 4s2]+ 4s-=1+55- +85+4s前向通路有四条，分别为：通路1：A, =4gi = 35~通路2：4, =1-[2, +2.]+[4,4.] =1+4s-+4s8 = 2s-通路3:

CIEE CAU 例 6.8 系统的信号流图如图 7.8 所示，试求系统函数 ( ) ( ) ( ) R s H s E s = E s( ) R s( ) 1 s− 1 s− 2 -2 -1 1 s − 1 s− -2 -2 1 s− 3 图 7.8 解 采用梅森公式。该信号流图有三个环路，环路增益分别为 1 1 1 2 1 3 2 2 L s L s L s − − − = − = − = − 其中，两两互不接触环路为 L1 与 L2，L1 与 L3，L2 与 L3；三个都互不接触的环路为 L1、 L2 与 L3。于是特征行列式为 [ ][ ] 1 2 3 12 23 13 123 [ ] 111 222 3 12 3 1 1 22 224 4 15 8 4 L L L LL LL LL LLL s ss sss s ss s −−− −−− − −− − ∆= − + + + + + − =+ + + + + + +       =+ + + 前向通路有四条，分别为： 通路１： 1 1 1 g s3 − ∆ = ∆ = 通路２： 2 2 3 23 [ ] [ ] 1 2 1 14 4 L L LL s s − − ∆=− + + =+ + 1 2 g 2s − = 通路 3：

CIEECAUA, =1-[4 +2,]+[44] =1+3s* +2s8 = -25-1通路4：A, =1-[4] =1+sg4 =-s-2因此系统函数为H(s)=[814A +g:42 +g:A; + g,A.] 35* +16s* + 27s +12$* +55 +852 +4s

CIEE CAU 3 1 3 13 [ ] [ ] 1 2 1 13 2 L L LL s s − − ∆=− + + =+ + 1 3 g 2s− = − 通路４： 4 1 [ ] 1 1 1 L s− ∆=− = + 2 4 g s − = − 因此系统函数为 [ ] 11 2 2 3 3 4 4 3 2 432 1 ( ) 3 16 27 12 584 Hs g g g g ss s ssss = ∆+ ∆+ ∆+ ∆ ∆ + ++ = +++