《信号与系统》课程教学资源（习题解答）第三章 离散时间系统的时域分析

CIEECAU第三章离散时间系统的时域分析本章重点1.离散信号的运算和离散时间系统的基本特性2.求解差分方程所需的边界条件的确定方法3.差分方程的零输入解和零状态解4.离散信号的卷积运算例3.1已知离散信号x(n)和f(n)分别如图3.1.1（a）和（b）所示，画出并标明下列各信号图形(a) x(2n)(b) x(n)(c) J(n)=x(n-1)-f(n-3)(d)y(n)=1+2)f(2-2n)(e) Vx(n)(f) (n)=4(m)3(b)(a)图31.1解离散信号的运算包括相加、相乘、平移、反褶、差分和累加，本例是这些运算方法的应用综合.如图3.1.2所示

CIEE CAU 第三章 离散时间系统的时域分析 本章重点 1. 离散信号的运算和离散时间系统的基本特性. 2. 求解差分方程所需的边界条件的确定方法. 3. 差分方程的零输入解和零状态解. 4. 离散信号的卷积运算. 例 3.1 已知离散信号 x( ) n 和 f ( ) n 分别如图 3.1.1（ a ）和（b ）所示，画出并标明下列各 信号图形. （a） x(2 ) n （b） 2 x( ) n （c） yn xn f n ( ) ( 1) ( 3) =− − i （d） yn xn f n ( ) ( 2) (2 2 ) =+ − i （e）∇x( ) n （f） () ( ) n m yn f m =−∞ = ∆ ∑ 解 离散信号的运算包括相加、相乘、平移、反褶、差分和累加，本例是这些运算方法的应 用综合.如图 3.1.2 所示

CIEECAU(a)x(2n)(b)x(n)x(2n)x(n))-3-2(a(d)x(n+2) f(2-2n)(c)x(n-1)f(n-x(n-1)f(n-3)n+2):f(2-2mFsanO1-1(d)e)Vx(n)=(n)-x(n-I)+(e)

CIEE CAU -3 -2 -1 O 1 2 3 4 n x n (2 ) -3 -2 -1 O 1 2 3 4 n 2 x n( ) -4 1 2 2 1 -1 -2 (a) (b) -1 ( ) (2 ) ax n 2 ()( ) bxn -2 -1 O 1 2 3 4 n -3 -2 -1 O 1 2 3 4 n 1 2 2 1 -1 (c) (d) ( ) ( 1) ( 3) cxn f n − − ( ) ( 2) (2 2 ) d xn f n +⋅ − xn f n ( 1) ( 3) − − xn f n ( 2) (2 2 ) +⋅ − 5 -1 3 2 - -2 -1 1 23 4 O n 1 2 (e) 5 ( ) ( ) ( ) ( 1) e xn xn xn ∇ = −− ∇x n( )

CTE)24(m-2[(m+1)-(mAfimAf(n)(f)图3.12例3.2若离散系统的输入和输出分别为x(n)和y(n)，说明下列各系统是否为（i）线性的，ii）非移变的，(ii）因果的，（iv）稳定的.这些系统为(a) y(n)=e(n)(b) (n)=x(n-1)-x(1-n)() (n)= x(m)x(n)nz(d) (n)=Jgn=0x(n+1)n≤-1金(a) y(n)=er((i) (n)=e(n)Y(n)=e*(n)y(n)+y (n)=es(m) +et() *e(()所以，系统是非线性的，(i) 由(n)=e(n) 当输入x(n)=x(n-n)时,(n)=e(-%) = (n-n)所以，系统是非移变的（ii）由于y(n)=e(n)的值与x(n)的未来值无关，因而不能预期未来，所以系统实因果

CIEE CAU 例 3.2 若离散系统的输入和输出分别为 x( ) n 和 y n( ) ，说明下列各系统是否为 （i）线性的， （ii）非移变的， （iii）因果的， （iv）稳定的. 这些系统为 （a） ( ) ( ) x n yn e = （b） yn xn x n ( ) ( 1) (1 ) = −− − （c） 3 1 () ( ) n m n yn xm + = − = ∑ （d） () 1 () 0 0 ( 1) 1 xn n yn n xn n  ≥  =  =   + ≤− 解 （a） ( ) ( ) x n yn e = （i） 1 ( ) 1 ( ) x n yn e = 2 ( ) 2 ( ) x n yn e = 1 2 12 () () () ( ) 1 2 () () xn x n xn x n yn y n e e e + + =+≠ 所以，系统是非线性的. （ii）由 ( ) ( ) x n yn e = 当输入 1 0 x () ( ) n xn n = − 时， 0 ( ) 1 0 () ( ) xn n y n e yn n − = =− 所以，系统是非移变的. （iii）由于 ( ) ( ) x n yn e = 的值与 x( ) n 的未来值无关，因而不能预期未来，所以系统实因果

CIEECAU的(iv）y(n)=e(")不是线性非移变系统，故只能用BIBO原则判别，若x(n)(m)-=ler]<er所以，系统为稳定系统。(n)=x(n-1)-x(I-n)(b)(i)设i(n)=x(n-1)-x(1-n)y(n)=x(n-I)-x(1-n)则(n)+y(n)=x(n-1)+x,(n-1)[(1-n)+x(1-n)]所以系统是线性的(ii) 当x(n)=x(n-ng)时y(n)=x(n-ng-1)-x(1-n-no)=x(n-ng-1)-x[1-(n+n0)]而y(n-no)=x(n-ng -1)-x[1-(n-no)+y(n)所以，系统是移变的.这里要注意的是系统(n)=x(-n)的物理意义是输入序列反褶(ii)由于yi(n)=x(1-n)是非因果的，所以系统y(n)=x(n-1)-x(1-n)是非因果的.(iv）显然，若x(n)是有限的，则(n)也是有限的，所以，系统是稳定的。用同样的方法，可对（3）和（4）系统进行分析，得到以下结果：() =(m)为线性、非移变、非因果、稳定的系统x(n)n≥1(d) (n)=Jon=0[x(n-1 n≤-1为线性、移变、非因果、稳定的系统在教学中，本例所及内容往往是比较容易出差错的，只有在完全理解系统特性的真正含义的基础上，加强练习，才能熟练掌握解题的思路和技巧.读者不妨可以详细解答一下本例的第（c）和（d）小题例3.3某线性非移变因果离散系统由差分方程(n)-(n-1)-2y(n-2)=x(n)+2x(n-2)描述，若x(n)=e(n)且(-1)=2, (-2)=-→试求解以上方程

CIEE CAU 的。 （iv） ( ) ( ) x n yn e = 不是线性非移变系统，故只能用 BIBO 原则判别，若 x( ) n M< ，则 ( ) ( ) x n M yn e e = < 所以，系统为稳定系统。 （b） yn xn x n ( ) ( 1) (1 ) = −− − （i）设 11 1 yn xn x n ( ) ( 1) (1 ) = −− − 22 2 yn xn x n ( ) ( 1) (1 ) = −− − 则 121 2 yn y n xn x n ( ) ( ) ( 1) ( 1) + = −+ − [ ] 1 2 − −+ − x (1 ) (1 ) nx n 所以系统是线性的 （ii）当 1 0 x () ( ) n xn n = − 时 1 10 1 0 yn xn n x n n ( ) ( 1) (1 ) = − − − −− = − − − − +  x10 1 0 ( 1) 1 nn x nn ( )   而 yn n xn n x n n y n ( ) ( 1) 1 ( ) − = − − −  − − ≠ 0 0 01 ( )   所以，系统是移变的.这里要注意的是系统 yn x n () ( ) = − 的物理意义是输入序列反褶. （iii）由于 1 yn x n ( ) (1 ) = − 是非因果的，所以系统 yn xn x n ( ) ( 1) (1 ) = −− − 是非因果的. （iv）显然，若 x( ) n 是有限的，则 y n( ) 也是有限的，所以，系统是稳定的. 用同样的方法，可对（3）和（4）系统进行分析，得到以下结果： （c） 3 1 () ( ) n m n yn xm + = − = ∑ 为线性、非移变、非因果、稳定的系统. （d） () 1 () 0 0 ( 1) 1 xn n yn n xn n  ≥  = =    − ≤− 为线性、移变、非因果、稳定的系统. 在教学中，本例所及内容往往是比较容易出差错的，只有在完全理解系统特性的真正含 义的基础上，加强练习，才能熟练掌握解题的思路和技巧.读者不妨可以详细解答一下本例 的第（c）和（d）小题. 例3.3 某线性非移变因果离散系统由差分方程 yn yn yn xn xn ( ) ( 1) 2 ( 2) ( ) 2 ( 2) − −− − = + − 描述，若 x() () n n = ε 且 1 2 y y ( 1) 2, ( 2) − = − =− 试求解以上方程

CIECAU解：求解差分方程可分为时域求解和乙域求解，也可以时域和Z域相结合求解，时域求解有选代法、经典法和卷积法。一般选代法不普遍使用，经典法是先求齐次解和特解，在根据边界条件求待定系数，因此，关键在于特解得确定和一组边界条件的求取，本例着重讨论边界条件的求取，在例3.4中，我们把讨论的重点放在特解得确定方面在本例中，齐次方程为(n)-(n-1)-2y(n-2)=0特征方程为 a2-α-2=0特征根a =-1,a2 =2所以，齐次解y.(n)为y.(n)=c(-1)"+c,2"下面求特解y,(n)，由于x(n)=ε(n)，故可选择y.(n)= D,将上式代入所给差分方程的左边，得到D。-D。-2D, =ε(n)-2e(n-2)D--2当n≥2时即y.(n)=-号e(n-2)全解(m)=G(-1)+c,2"-号e(n-2)其中c,和c,由边界条件决定。不过由于方程的右端在激烈x(n)=ε(n)时，变为e(n)+2e(n-2)，因此,对于不同的区间，激励信号是不同的，题目所给的(-1)=2,(-2)=-只是起始条件，初始条件应为y(2)和y(3)，而不是y(0)，J(1)，也不是y(0),J(2)。借助原方程和起始条件，利用选代法，我们可以求得y(2)，(3)。因为y(n)=(n)+2e(n-2)+ y(n-1)+2y(n-2)y(0) = e(0) + 26(-2)+ y(-1) +2y(-2)=1+2+2×(-)=2(1) = 8(I) + 26(-1)+ y(0) +2y(-1)2Y(2) = 8(2)+ 26(0)+ ()+2y(0)=1+2×1+7+2×2=14y(3) = 8(3) + 2e(1) + y(2) + 2y(1)

CIEE CAU 解 求解差分方程可分为时域求解和 Z 域求解，也可以时域和 Z 域相结合求解，时域求解 有迭代法、经典法和卷积法。一般迭代法不普遍使用，经典法是先求齐次解和特解，在根据 边界条件求待定系数，因此，关键在于特解得确定和一组边界条件的求取，本例着重讨论边 界条件的求取，在例 3.4 中，我们把讨论的重点放在特解得确定方面. 在本例中，齐次方程为 yn yn yn ( ) ( 1) 2 ( 2) 0 − −− − = 特征方程为 2 a a −−= 2 0 特征根 1 2 a a =− = 1, 2 所以，齐次解 ( ) e y n 为 1 2 ( ) ( 1) 2 n n e yn c c =−+ 下面求特解 ( ) s y n ，由于 x() () n n = ε ，故可选择 0 ( ) s yn D= 将上式代入所给差分方程的左边，得到 00 0 DD D n n − −= − − 2 ( ) 2 ( 2) ε ε 当 n ≥ 2 时 0 3 2 D = − 即 3 ( ) ( 2) 2 s yn n = − − ε 全解 1 2 3 ( ) ( 1) 2 ( 2) 2 n n yn c c n = −+ − − ε 其中 1 c 和 2 c 由边界条件决定. 不过由于方程的右端在激烈 x() () n n = ε 时，变为 ε ( ) 2 ( 2) n n + − ε ，因此，对于不同的区间，激励信号是不同的，题目所给的 1 ( 1) 2, ( 2) 2 y y − = − =− 只是起始条件，初始条件应为 y(2) 和 y(3) ，而不是 y(0) ， y(1) ，也 不是 y(0) ， y(2)。 借助原方程和起始条件，利用迭代法，我们可以求得 y(2)， y(3) 。因为 yn n n yn yn ( ) ( ) 2 ( 2) ( 1) 2 ( 2) = ε + − + −+ − ε y yy (0) (0) 2 ( 2) ( 1) 2 ( 2) = ε + −+ −+ − ε 1 122 2 2   = + + ×− =     y yy (1) (1) 2 ( 1) (0) 2 ( 1) = ε + −+ + − ε =1222 7 ++×= y yy (2) (2) 2 (0) (1) 2 (0) = ε + ++ ε =1 2 1 7 2 2 14 + ×+ + × = y yy (3) (3) 2 (1) (2) 2 (1) = ε + ++ ε

CIEECAU=1+2×1+14+2×7=31根据(2)=14, (3)=31及(n)=G(-1) +c,2"-号e(n-2)求出G=-2, C,=4于是(n)-[-(-1) +4.2"(n-2)且(0)=2, ()=7即n=02n=1(n)=[4-2*-(-1-≥2若要求出n<0时的y(n)，这时因为激励为零，故特解为零，即J(n)= A(-1)" + A, 2"边界条件为(-1)=2, J(-2)=-}求得4 =-1, 4 =2于是(n) =(-1)+ + 2+(n<0)从以上解题过程可以看出，边界条件乃是解题的关键，对不同区间加入不同激励的题型，这一点尤为重要。当然，本题也可以根据激励的加入情况，把时间分为三段：（1）n<0，此时激励为零。(2）0≤n≤1，此时激励为ε(n)。(3）n≥2，此时，激励为ε(n)+2e(n-1)。解题过程与以上类似，读者不妨试试。例3.4求解差分方程(n)-2y(n-1)+ y(n-2)=e(n)(-1)=0, y(-2)=0解差分方程的特征方程为α2-2α+1=0即αi.2=1为其二阶重根。齐次解设为

CIEE CAU =1 2 1 14 2 7 31 + ×+ + × = 根据 y(2) 14 = ， y(3) 31 = 及 1 2 3 ( ) ( 1) 2 ( 2) 2 n n yn c c n = −+ − − ε 求出 1 1 2 c = − ， 2 c = 4 于是 1 3 ( ) ( 1) 4 2 ( 2) 2 2 n n yn n ε   = −− + − −     i 且 y(0) 2 = ， y(1) 7 = 即 2 0 () 7 1 1 32 4 2 ( 1) 2 2 n n n yn n n   =  = =   ≥  −−−  i 若要求出 n < 0时的 y n( ) ，这时因为激励为零，故特解为零，即 1 2 ( ) ( 1) 2 n n yn A A = −+ i 边界条件为 y( 1) 2 − = ， 1 ( 2) 2 y − = − 求得 1 A = −1， 2 A = 2 于是 1 1 ( ) ( 1) 2 n n y n + + =− + ( 0) n < 从以上解题过程可以看出，边界条件乃是解题的关键，对不同区间加入不同激励的题 型，这一点尤为重要。当然，本题也可以根据激励的加入情况，把时间分为三段： （1） n < 0，此时激励为零。 （2）0 1 ≤ ≤ n ，此时激励为ε ( ) n 。 （3） n ≥ 2 ，此时，激励为ε ( ) 2 ( 1) n n + ε − 。解题过程与以上类似，读者不妨试试。 例 3.4 求解差分方程 yn yn yn n ( ) 2 ( 1) ( 2) ( ) − −+ − = ε y( 1) 0 − = ， y( 2) 0 − = 解 差分方程的特征方程为 2 α α − 2 10 + = 即 1.2 α =1为其二阶重根。齐次解设为

CIEECAUGn+c由于激励为s(n)，如果设特解y.(n)=D代入原方程，方程左边为零，即无法求出D或y,(n)。然而，我们注意到方程左边正是y(n)的二阶后向差分，即(n)=[V(m)]= V[()-(n-1)]=Vy(n)- Vy(n-1)= (n)-2y(n-1)+ (n-2)也就是说，原方程为'y(n)=e(n)在连续时间系统中，上式类似于d'yl=e(t)dt?因此，差分方程V'y(n)=e(n)其解(n)中应有n，故应设特解y(n)=D,r将此特解代入原差分方程，则有Den - 2De(n-1)° + D,(n -2) =e(n)得D-=3(n)=n于是Jo)=cn+c.+↓nG，C,由边界条件y(0),y(I)决定。利用起始条件(-1)=0，J(-2)=0及方程(n)-2y(n-1)+ y(n-2)=e(n)容易得到J(0)=1, y()=3后我们得到[v(0) =C2 =[()=G +C +=3

CIEE CAU 1 2 cn c + 由于激励为ε ( ) n ，如果设特解 ( ) s yn D= 代入原方程，方程左边为零，即无法求出 D 或 ( ) s y n 。然而，我们注意到方程左边正是 y n( ) 的二阶后向差分，即 [ ] 2 ( ) ( ) [ ( ) ( 1)] ( ) ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 2) yn yn yn yn yn yn yn yn yn ∇ =∇ ∇ =∇ − − =∇ −∇ − = − −+ − 也就是说，原方程为 2 ∇ = yn n () () ε 在连续时间系统中，上式类似于 2 () 2 ( ) t d y t dt = ε 因此，差分方程 2 ∇ = yn n () () ε 其解 y n( ) 中应有 2 n ，故应设特解 2 0 ( ) s y n Dn = 将此特解代入原差分方程，则有 2 22 00 0 D n Dn Dn n − −+ − = 2 ( 1) ( 2) ( ) ε 得 0 1 2 D = ， 1 2 ( ) 2 s yn n = 于是 2 1 2 1 ( ) 2 y n cn c n = ++ 1 c ， 2 c 由边界条件 y y (0), (1)决定。利用起始条件 y( 1) 0 − = ， y( 2) 0 − = 及方程 yn yn yn n ( ) 2 ( 1) ( 2) ( ) − −+ − = ε 容易得到 y(0) 1 = ， y(1) 3 = 尔后我们得到 2 1 2 (0) 1 1 (1) 3 2 y c y cc  = =   = + +=  

CAUCIEE解此方程组得G=号c =1所以(n)=号n+1+n(n≥0)或(n)=(n+1)(n+2)e(n)本例中所及的特解形式是一种比较特殊的情形，若差分方程的左端是(n)的m阶差分或其特征方程有m阶重根1时，则特解中应有修正多项式Don" +(D,n"-I + D,n-2+Dm-in+D.)式中括号内的m项可根据表7-1所列的典型激励信号之特解的一般形式，若有类同项时即可省去。差分方程解得另一种形式是零输入解ys(n)和零状态解y(m)。全解(n)是以上两者之和，即J(n)=yg(n)+y, (m)表 3-1x(n)以(n)的特解ntDrn+Dn..+Dn+D.sin no或 cosnaD, sin no + D, cos naDa（a不是差分方程的特征根）a"(Dn+D,)a"（a是差分方程的特征根）a"(Dn+Dnt++Dn+Du)a"（a是差分方程的k阶重特a征根)例3.5某因果系统的输入-输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相应于输入x(n)=ε(n)的响应为g(n)=(2" +3. 5" +10)e(n)若系统为零状态，试决定此二阶差分方程；(b)若系统的起始状态为y(-1)=1,y(-2)=2求系统的零输入响应；(c）若系统的起始状态为y(-1)=2,(-2)=4,，激励x(n)=3[e(n)-(n-5)],求响

CIEE CAU 解此方程组得 1 3 2 c = ， 2 c =1 所以 3 1 2 ( ) 1 ( 0) 2 2 yn n n n = ++ ≥ 或 1 ( ) ( 1)( 2) ( ) 2 yn n n n = ++ ε 本例中所及的特解形式是一种比较特殊的情形，若差分方程的左端是 y n( ) 的 m 阶差分， 或其特征方程有 m 阶重根 1 时，则特解中应有修正多项式 ( ) 1 2 01 2 1 mm m D m m n Dn D n D n D − − + + ++ + " − 式中括号内的 m 项可根据表 7-1 所列的典型激励信号之特解的一般形式，若有类同项时 即可省去。 差分方程解得另一种形式是零输入解 ( ) zp y n 和零状态解 ( ) zs y n 。全解 y n( ) 是以上两者 之和，即 () () () zp zs yn y n y n = + 表 3-1 ( ) c x n y n( ) 的特解 k n 1 12 1 k k D k k n Dn Dn D − + ++ + " − sin nω 或cosnω 1 2 DnD n sin cos ω + ω n a n Da （ a 不是差分方程的特征根） n a ( ) 1 2 n D nDa + （ a 是差分方程的特征根） n a 1 12 1 ( ) kk n D k k n Dn Dn D a − + ++ + " − （ a 是差分方程的 k 阶重特 征根） 例 3.5 某因果系统的输入-输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，如果相应于输入 x() () n n = ε 的响应为 ( ) 2 3 5 10 ( ) ( ) n n g n n = +⋅ + ε （a） 若系统为零状态，试决定此二阶差分方程； （b） 若系统的起始状态为 y y ( 1) 1, ( 2) 2 − = −= 求系统的零输入响应； （c） 若系统的起始状态为 y y ( 1) 2, ( 2) 4 − = −= ，激励 xn n n ( ) 3 ( ) ( 5) = [ε ε − − ]，求响

CAUCIEE应y(n) 。解）求离散系统的差分可借助z变换求系统函数 H(=)，再根据H(=)写出差分方程，也可在时域根据已知条件，求出差分方程的系数。即式2(n-)-2b,x(n-)中的系数α,(=0,1,,k)和b,(=0,1,….)。借助z变换求差分方程由x(n)=e(n)g(m)=(2" +3-5" +10)e(n)分别对 x(n)和 g(n)求 z变换得()=1G(C)1z>5H()= C) _142-85-+11X(a)22- 7=+1014-85s* +11172-l +1022更一般地，系统函数H(E)=()X(a)Y()为系统零状态响应的z变换，X(2)为系统激励信号的z变换。因此，由上式得Y(=)(1 7z* +10) = X(=)(14-85=* +111-)根据z变换的位移性质，得到(n)-7y(n-1I)+10y(n-2)=14x(n)-85x(n -1)+111x(n-2)为所求的差分方程。（b）由差分方程的特征根α,=2,α, =5系统的零输入响应Jp(n)=G-2"+Cc,-5"已知起始条件J(-1)=1, (-2) =2即

CIEE CAU 应 y n( ) 。 解 （a）求离散系统的差分可借助 z 变换求系统函数 H z( ) ，再根据 H z( ) 写出差分方程， 也可在时域根据已知条件，求出差分方程的系数。即式 0 0 () ( ) k m i j i j ayn i bxn j = = ∑ ∑ −= − 中的系数 ( 0,1,2, , ) i ai k = " 和 ( 0,1,2, , ). j bj m = " 。 借助 z 变换求差分方程由 x() () n n = ε ( ) (2 3 5 10) ( ) n n g n n =+ + i ε 分别对 x( ) n 和 g( ) n 求 z 变换得 () | | 1 1 z X z z z = > − 3 () | | 5 251 z zz Gz z zzz =++ > − − − 2 2 ( ) 14 85 111 ( ) ( ) 7 10 Gz z z H z Xz z z − + = = − + 1 2 1 2 14 85 111 1 7 10 z z z z − − − − − + = − + 更一般地，系统函数 ( ) ( ) ( ) Y z H z X z = Y z( ) 为系统零状态响应的 z 变换， X ( )z 为系统激励信号的 z 变换。因此，由上式得 12 1 2 Yz z z Xz z z ( )(1 7 10 ) ( )(14 85 111 ) −− − − −+ = − + 根据 z 变换的位移性质，得到 yn yn yn ( ) 7 ( 1) 10 ( 2) − −+ − = − −+ − 14 ( ) 85 ( 1) 111 ( 2) xn xn xn 为所求的差分方程。 （b）由差分方程的特征根 1 2 α = 2, 5 α = 系统的零输入响应 1 2 () 2 5 n n zp yn c c = + i i 已知起始条件 y y ( 1) 1, ( 2) 2 − = −= 即

CIEECAU[0+0=[ +=2解上式得G =12,c, =-25因此，零输入响应yg(m) =12.2" -25-5"（c）当起始条件(-1)=2, (-2)=4且x(n)=3[e(n)-e(n-5)]时，根据系统的线性非移变特性，零输入响应对于起始条件满足均匀性，即y,(m)=2[12.2" -25-5'′]零状态响应对于激励信号x(n)满足均匀性，叠加性和非移变性，即y.(n)=3g(n)-3g(n-5)=3(2" + 3.5" +10)e(n)-3(2* + 3-5* +10)e(n5)于是，全响应(n)= yg(n)+y.(n)=2(12.2" 25.5") +3(2* + 3-5" +10)e(mn)-3(2- +3.5-5 +10);(n5)

CIEE CAU 1 2 1 2 1 1 1 2 5 1 1 2 4 25 c c c c  + =    + =  解上式得 1 2 c c =12, 25 = − 因此，零输入响应 ( ) 12 2 25 5 n n zp y n = − i i （c）当起始条件 y y ( 1) 2, ( 2) 4 − = −= 且 xn n n ( ) 3 ( ) ( 5) = −− [ ] ε ε 时，根据系统的线性非移变特性，零输入响应对于起始条件满足 均匀性，即 ( ) 2[12 2 25 5 ] n n zp y n = − i i 零状态响应对于激励信号 x( ) n 满足均匀性，叠加性和非移变性，即 ( ) 3 ( ) 3 ( 5) zs y n gn gn = −− 3(2 3 5 10) ( ) n n =++ i ε n 5 5 3(2 3 5 10) ( 5) n n ε n − − −++ − i 于是，全响应 () () () zp zs yn y n y n = + 2(12 2 25 5 ) 3(2 3 5 10) ( ) n n nn = − +++ ii i ε n 5 5 3(2 3 5 10) ( 5) n n ε n − − −++ − i