《信号与系统》课程授课教案（课件讲稿）第8章 系统状态变量分析

83.3.1状态变量与状态方程系统状态变量分析状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入MDE以u()和ic(n)为输出若还想了解内部三个+主本章将介绍状态变量法是用n个状态变量的一阶心dco.o,io D微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。优点的变化情况。有这时可列出方程--(1） 提供系统的内部特性以便研究。cdc+i2-in=0析多输入多输出系统li(3) 便阶分程组便手计算机数值求解。 并容易推广Ru+ d+uc-s =0用于时变系统和非线性系统。dinz-L din+Rin+usn-uc-0i2M状态与状态变量的定义系统在某一时刻,的状态是指表示该系统所必需最Tieu+O少的一组数值，已知这组数值和≥，时系统的激励，就能完全确定≥时系统的全部工作情况，wc-R-Ldn-L状态变量是描述状态随时间变化的一组变量这是由三个内部变量uc()、iL(I)和iz()构成的一它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态阶微分方程组。在初始时刻的值称为初始状态。若初始值uc()、i()和i()已知，则根据≥时对阶动态系统需有"个独立的状态变量，通常用的给定激励us)和us(0就可惟一地确定在>时的解x(0)、()、.、x()表示。uc(t)、()和2(t).u(0)=R2i12(0)+us2(0)系统的输出容易地由说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及ic(0)=in(0)-i2()三个内部变量和激励求输入的线性组合：（2）状态变量应线性独立：出：一组代数方程（3）状态变量的选择并不是唯一的。状态方程和输出方程on般的n阶多输入-多00在选定状态变量的情况下，用状态变量分析系统时，输出LTI连续系统，如图Xo般分两步进行其状态方程和输出方程为O步是根据系统的初始状态求出状态变量103（2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的$,=a+a2*+.+au,+b1f,+b2/++bpJ系统输出。+..+a2nX.+b21/i+b2J2+.+b2p.=0X+X状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程x,=amx+amx+bfi+bf+...+.+状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和=Cn+C2x+.+Cnx.+dnfi+diz2++dpp数励之间的关系。而描述输出与状态变和激励之y=2i+*2+++d2i+d++d间关系的一组代数方程称为输出方程。通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。Yg=Cg+C2++m+d/+dg2/+.+dapf,]

1 本章将介绍状态变量法是用n个状态变量的一阶 微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。优点 有： （1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广 用于时变系统和非线性系统。 系统状态变量分析 § 3.3.1状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入 R1 iL1 L1 iL2 L2 R2 iC us1 uC us2 a u 以u(t)和i C(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程 0 d d + L 2 − L1 = C i i t u C a 0 d d 1 1 1 1 + 1 + C − S = L L u u t i R i L 0 d d 2 2 2 2 2 + L + S − C = L R i u u t i L          = − − = − − + = − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 d d 1 1 d d 1 1 d d C L S L C L S L L L C u L i L R u t L i u L i L R u t L i i C i t C u          = − − = − − + = − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 d d 1 1 d d 1 1 d d C L S L C L S L L L C u L i L R u t L i u L i L R u t L i i C i t C R1 iL1 L1 iL2 L2 R2 u iC us1 uC us2 a u 这是由三个内部变量uC(t)、i L1(t)和i L2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t 0)、i L1(t 0)和i L2(t 0)已知，则根据t≥t 0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t 0时的解 uC(t)、i L1(t)和i L2(t)。    = − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 i t i t i t u t R i t u t C L L L S 系统的输出容易地由 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程 状态与状态变量的定义 系统在某一时刻t 0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t 0时系统的激励， 就能完全确定t≥t 0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、.、xn(t)表示。 说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。 在初始时刻的值称为初始状态。 二、状态方程和输出方程 在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。 通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。 对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 {xi(t0)} f1(t) f2(t) fp(t) y1(t) y2(t) yq(t) ┇ ┇ 其状态方程和输出方程为        = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + n n n nn n n n np p n n p p n n p p x a x a x a x b f b f b f x a x a x a x b f b f b f x a x a x a x b f b f b f  " " "  " "  " " 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1        = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + q q q qn n q q qp p n n p p n n p p y c x c x c x d f d f d f y c x c x c x d f d f d f y c x c x c x d f d f d f " " " " " " " 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1

83.3.2连续系统状态方程的建立写成矩阵形式：由电路图直接建立状态方程状态方程 x(1)= Ax(1)+Bf(1)首先选择状态变量。输出方程 y(t)=Cx(t)+ Df(t)T120t通常选电容电压和电其中A为nXn方阵，称为系统矩阵，电流为状态变量。B为nXp矩阵，称为控制矩阵，必须保证所选状态变（(）任选两金电客电压(）任送一全电客电压C为qXn矩阵，称为输出矩阵，D为qXp矩阵量为独立的电容电压和独立的电感电流。对离散系统，类似nmrm状态方程 x(k +1)=Ax(k)+Bf(k)0四种非独立的电路结构输出方程 y(k)=Cx(k)+ Df(k)）任选两个电器电池(）任送一个电感电池状态变量分析的关糖在于状态变量的选取以及状态方程的建立。状态方程的建立由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤：根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。（1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为由于状态变量：（2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方为使方程中含有状态变量u的一阶导数程，对合有所选电感的独立回略列马KVL电压方程：可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程；一步所列的方程中含有除激励以外的非状(3）若为使方程中含有状态变量i,的一阶导数，态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去，奇对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。然后整理给出标准的状态方程形式（4）用观豪法由电路或前面已推导出的一些关系直对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程接列写输出方程，并整理成标准形式。对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。[un(0)]_(0)],上的电由输入-输出方程建立状态方程(0]=0这里需要解决的问题是：ftu0)已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函激解认感x模拟框图的信号流图等），如何写出其状态方程及输x;(0) =,(0), x(0) = uc()D,0+R,(+(0-s(0D出方程。具体方法Cx 2(0) + iR2(1) = x;(0)1由系统的输入-输出方程或系统函激，首先面出消去 in2(0),列右网孔KVL方程：R,in2(0) + Us2(1)-x2(0)= 0其信号流图或框图（2）选一阶子系统（积分器）的输出作为状态变量：代入整理得K[;(07-un()（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方[x(0)]（0输出方程：程RCR(4）在系统的输出端列输出方程。URi(0) = R;(0)

2 写成矩阵形式： 状态方程 x(t) = Ax(t) + Bf(t) 输出方程 y(t) = Cx(t) + Df(t) 其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似 状态方程 x(k +1) = Ax(k) + Bf(k) 输出方程 y(k) = Cx(k) + Df(k) 状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。 § 3.3.2连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程 首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。 (a) 任选两个电容电压 独立 (b) 任选一个电容电压 独立 (c) 任选两个电感电流 独立 (d) 任选一个电感电流 独立 uC1 uC2 uC3 uC1 us uC2 iL1 iL2 iL3 iL1 iL2 is 四种非独立的电路结构 状态方程的建立： 根据电路列出各状态变量的一阶微分方程。 由于 t u i C C C d d = t i u L L L d d = 为使方程中含有状态变量uC的一阶导数 ， 可对接有该电容的独立结点列写KCL电流方程； 为使方程中含有状态变量i L的一阶导数 ， 可对含有该电感的独立回路列写KVL电压方程。 对列出的方程，只保留状态变量和输入激励，设法消去 其它中间的变量，经整理即可给出标准的状态方程。 对于输出方程，通常可用观察法由电路直接列出。 由电路图直接列写状态方程和输出方程的步骤： （1）选电路中所有独立的电容电压和电感电流作为 状态变量； （2）对接有所选电容的独立结点列出KCL电流方 程，对含有所选电感的独立回路列写KVL电压方程； （3）若上一步所列的方程中含有除激励以外的非状 态变量，则利用适当的KCL、KVL方程将它们消去， 然后整理给出标准的状态方程形式； （4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直 接列写输出方程，并整理成标准形式。 例：电路如图，以电阻R1上的电压uR1和电阻R2上的电 流i R2为输出，列写电路的状态方程和输出方程。 uC iL uR1 iR2 uS1 uS2 L C 解 R1 a R2 选状态变量 x1(t) = i L(t), x2(t) = uC(t) L 1(t)+R1x1(t)+x2(t) = uS1 x (t) a C 2(t) + i R2(t) = x1 x (t) 消去 i R2(t),列右网孔KVL方程：R2i R2(t) + uS2(t) - x2(t) = 0 代入整理得                    +                  − − −  =      ( ) ( ) 1 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 u t u t R C L x t x t C R C L L R x t x t s s   输出方程： uR1(t) = R1x1(t)               − +              =      ( ) ( ) 1 0 0 0 ( ) ( ) 1 0 0 ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 1 2 1 u t u t R x t x t R R i t u t s s R R 二、由输入-输出方程建立状态方程 这里需要解决的问题是： 已知系统的外部描述（输入-输出方程、系统函数、 模拟框图、信号流图等）；如何写出其状态方程及输 出方程。 具体方法： （1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出 其信号流图或框图； （2）选一阶子系统(积分器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程

2(s + 4)+4例1 某系统的微分方程为方法二H(s)=+3+2"$+1'$+2y"(0) +3y(0)+2y(0) =2 r(0) +8 f(0)试求该系统的状态方程和输出方程。画出串联形式的信号流图2(s + 4)解由微分方程不难写出其系统函数 H(s)=设状态变量x(0)、x(0) 0)$2 +3s+2XI方法一：画出直接形式的信号流图x=-x+f设状态变量x;()、x;(0)设中间变量y(t)=x+4x=3x+f由后一个积分器，有x = y-2x2 =3x -2x2 + fY由前一个积分器，有系统输出端，有[1-1 1=-2x -3x + f(t)=2x系统输出端，有y()=8x+2xz2(s+4)-)例2某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其方法三：H(s)=$2+3s+2$+1$+2状态方程和输出方程。画出并联形式的信号流图S2设状态变量x:(t)、x2(t)x,+x,=y2xx=-x+f其中，y2-}-xs(t)y(t),=-x-x +f1.214x, = -2x2 + fx本 +2x2=x+4x, =3x -+fx[- 0Tx[输出方程x, =3x -2x2-x,+f]-[0 -21x][]可见H(9)相同的系Yi(t) =x2统，状态变量的选择x=x-3xx +3x = x2y2(0)=g+f系统输出端，有y(t)=6x,-4x2并不唯一。解法二，对方程取拉氏变三、由状态方程列输入-输出方程x0-[-1 8]o+Hvo]换，零状态。f(t)例3已知某系统的动态x()=x(0)+-30o-- o- r方程如下，列出描述y(t)与f(t)之间的微分方程。()=[0k(0)解法一由输出方程得 y()=x;(t)[ x(0-r x()-α-[ ry ()=xi(0) =-4xi(0) +x2(0+ J0)y"(0)=4x(0)+x(0)+f *(0)Y(s)=[1 0)x(s)-4[-4 x;(t) +x2(t)+ F (0)] + [-3 x;(t) +f(0)I + ()-1 =13 x(0) -4x2(t) -3 f(0) +f (0) y"+a y '+ by=(13 -4a +b) x;+(-4+a) x;+J (t) +(a-3) (t)y"+4 y'+ 3y=f (t)+f(0)a=4,b=3

3 例1 某系统的微分方程为 y″(t) + 3 y ′(t) + 2y(t) = 2 f ′(t) +8 f (t) 试求该系统的状态方程和输出方程。 解由微分方程不难写出其系统函数 3 2 2( 4) ( ) 2 + + + = s s s H s 方法一：画出直接形式的信号流图 −1 s −1 s 1 -3 -2 2 8 f(t) y(t) 设状态变量x1(t)、 x2(t) x x1 2 由后一个积分器，有 1 2 x = x x = − x − x + f 2 2 1 3 2  由前一个积分器，有 系统输出端，有 y(t) =8 x1+2 x2 方法二： 2 2 1 4 3 2 2( 4) ( ) 2 + ⋅ + + = + + + = s s s s s s H s 画出串联形式的信号流图 −1 s -1 f(t) 1 1 4 −1 s y(t) -2 1 2 设状态变量x1(t)、 x2(t) x1 x2 x = −x + f 1 1  设中间变量 y1(t) y1 y = x + x = x + f 1 1 4 1 3 1  1 x 2 x x = y − x = x − x + f 2 1 2 2 3 1 2 2  系统输出端，有 y(t) =2 x2 [ ] 1 1 3 2 1 0 2 1 2 1 f x x x x       +            − − =        方法三： 2 4 1 6 3 2 2( 4) ( ) 2 + − + + = + + + = s s s s s H s 画出并联形式的信号流图 −1 s -1 1 6 −1 s -2 1 -4 f(t) y(t) 设状态变量x1(t)、 x2(t) x1 x2 1 x x = −x + f 1 1  2 x x = − x + f 2 2 2  [ ] 1 1 0 2 1 0 2 1 2 1 f x x x x       +            − − =        系统输出端，有 y(t) = 6x1 -4 x2 可见H(s)相同的系 统，状态变量的选择 并不唯一。 例2 某系统框图如图，状态变量如图标示，试列出其 状态方程和输出方程。 f(t) 1 1 s + 2 4 + + s s 3 1 s + ∑ y1(t) y2(t) x1(t) x2(t) x3(t) 解 对三个一阶系统 1 1 2 x + x = y 其中， y2= f - x3 x = −x − x + f 1 1 3  2 2 2 1 4 1 x + x = x + x = x − x + f 1 3 3 x = x − x − x + f 2 1 2 3  3 2 3 3 2 x +3x = x 3 2 3 x = x −3x 输出方程 y1(t) = x2 y2(t) = -x3 + f 三、由状态方程列输入-输出方程 例3 已知某系统的动态 方程如下，列出描述y(t) 与f(t)之间的微分方程。 ( ) [ ] 1 0 ( ) [ ( )] 1 1 ( ) 3 0 4 1 ( ) y t t t t f t x x x =       +       − −  = 解法一 由输出方程得 y(t)=x1(t) y ′(t)=x1′(t) = – 4 x1(t) + x2(t)+ f(t) y″(t)=– 4 x1′(t) + x2′(t)+ f ′(t) =–4[–4 x1(t) + x2(t)+ f (t)] + [–3 x1(t) + f (t)] + f ′(t) =13 x1(t) –4x2(t) –3 f (t) + f ′(t) y″+a y ′+ by=(13 –4a +b) x1+(–4+a) x2+ f ′(t) +(a–3) f (t) a=4，b=3 y″+4 y ′+ 3y= f ′(t) + f (t) 解法二 对方程取拉氏变 换，零状态。 [ ( )] 1 1 ( ) 3 0 4 1 (t) t f t       +       − − x = x ( ) 1 1 ( ) 3 0 4 1 s (s) s F s       +       − − X = X ( ) 1 1 ) ( ) 3 0 4 1 (s s F s       =       − − I − X ( ) 1 1 ) 3 0 4 1 ( ) ( 1 s s F s             − − = − − X I Y(s) = [1 0]X(s) [ ] ( ) 1 1 ) 3 0 4 1 ( ) 1 0 ( 1 Y s s F s             − − = − − I

83.3.3离散系统状态方程的建立Y() -[ 0ksI-41-[H(s)=1F(s)30与连续系统类似，具体方法为：（1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其[-3$+4a-[ - -信号流图或框图：$2+4s+3(2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量;(3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方S[-3 s+4[]程；s+1H(s)=[1 0]+4s+3[]+4s+33+4s+3（4）在系统的输出端列输出方程。y*+4 y*+3y-f (t)+f(t)例2某离散系统有两个输入;(k)、J(k)和两个输出y;(K)、例1：某离散系统的差分方程为y(k) + 2y(k -1)-y(k-2) = f(k-1) f(k-2)分差有专减围围素、列与该尿续的状者力程和“列出其动态方程。2122解 P(k) =2x;(k) +2xg()解：不难写出系统函数 H(=)=1+22-2-2P(K) =3p,(k)-x;(k) +(k)画信号流图：= 6x;(k) +5x (k) + f(k)设状态变量x,(k)，x,(k):fi()2(k+1)x(k+1)=x, (k) :+fk)eo yakx(k+1)=X (k)-2x(k)+ (k) :kDif输出方程(k)=x,(k)+x(k)83.3.4连续系统状态方程的求解x(k+1)][30 Tx(k) [o 0状态方程和输出方程的一般形式为 (1)=Ax(1) +Bf(1)[f(k)x(+1) =-7-2-5x(k) +1-1用拉普拉斯变换法求解状态方程y(t)=Cx(t)+Df(t)[S(k)sX()-x(0-)-AX()+ BF(S) (sI-4)X(s) =x(0-)+BF(S)x(k+1)/ 1671x(k)] [01X(s)=(sI -A )*x(0-) +(sI -A)*BF(s)= @(s)x(0-) + @(s)BF(s)xi(k)式中@(s)=(sI-A)1常称为预解矩阵。[1(k)]-[1 ° 0]x2(k)[(3]-[2 。 218(3]Y(s) =CX(s) +DF(S) =C@(s)x(0-) +[C@()B+D] F(S)Y,(s) = C@(s)(0-)Y(S)=[C@(s)B+D|F()H(s) =[C @(s)B+D ]@(s)的极点就是H(s)的极点,即[ sI-AI-0的根

4 [ ]             − − = = − − 1 1 ) 3 0 4 1 1 0 ( ( ) ( ) ( ) 1 sI F s Y s H s 4 3 3 4 1 3 4 1 ) 3 0 4 1 ( 2 1 1 + +       − + =       + − =       − − − − − s s s s s s sI [ ] [ ] 4 3 1 4 3 1 1 1 1 1 4 3 3 4 1 ( ) 1 0 2 2 2 + + + = + +       =      + +       − + = s s s s s s s s s s H s y″+4 y ′+ 3y= f ′(t) + f (t) § 3.3.3 离散系统状态方程的建立 与连续系统类似，具体方法为： （1）由系统的输入-输出方程或系统函数，首先画出其 信号流图或框图； （2）选一阶子系统(迟延器）的输出作为状态变量； （3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方 程； （4）在系统的输出端列输出方程。 例1：某离散系统的差分方程为 y(k) + 2y(k –1) –y(k –2) = f(k –1) –f(k –2) 列出其动态方程。 解：不难写出系统函数 1 2 1 2 1 2 ( ) − − − − + − − = z z z z H z 画信号流图： 1 -2 1 -1 y(k) −1 z −1 z 1 f(k) 设状态变量x1 (k)，x2 (k)： x2 x1 x1(k+1)=x2 (k) ： x2(k+1) x2(k+1)= x1 (k) –2x2(k) + f(k)： 输出方程 y (k)=–x1 (k) + x2(k) 例2 某离散系统有两个输入f1(k)、f2(k)和两个输出y1(k)、 y2(k)，其信号流图如图示。列写该系统的状态方程和 输出方程。 3 1 z − 2 1 z − z -1 x2(k) x1(k) p x3(k) p1(k) 2(k) -1 -2 -1 1 1 1 1 2 2 -1 3 a b c d y1(k) y2(k) f1(k) f2(k) 解 p1(k) = 2x1(k) +2x3(k) p2(k) =3p1(k)-x3(k) +f2(k) = 6x1(k) +5x3(k) + f2(k)                 + −                     = − − −           + + + ( ) ( ) 0 1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) 6 0 7 7 2 5 3 1 0 ( 1) ( 1) ( 1) 2 1 3 2 1 3 2 1 f k f k x k x k x k x k x k x k                  =      ( ) ( ) ( ) 2 0 2 1 0 0 ( ) ( ) 3 2 1 2 1 x k x k x k y k y k § 3.3.4 连续系统状态方程的求解 状态方程和输出方程的一般形式为 x(t) = Ax(t) + Bf(t) 用拉普拉斯变换法求解状态方程 y(t) = Cx(t) + Df(t) sX(s) -x(0-) = A X(s) + BF(s) ( sI -A )X(s) = x(0-) +BF(s) X(s)=(sI -A )-1x(0-) +(sI -A )-1BF(s)=Φ(s)x(0-) +Φ(s)BF(s) 式中Φ(s) = ( sI -A )-1常称为预解矩阵 。 Y(s) = CX(s) +DF(s) Yx(s) = CΦ(s)x(0-) Yf (s) = [CΦ(s)B +D ] F(s) H(s) = [CΦ(s)B +D ] Φ(s)的极点就是H(s)的极点.即| sI-A|=0的根。 =CΦ(s)x(0-) +[ CΦ(s)B +D ] F(s)

例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为[12-900x(0-[9e-6e ](O1[-1 2x(0][raa-Bo o- a]-o12e-"-9e(0)+8(0)p(0 =[1 1x(0 + 0 -[起始状态x;(0.)-3, x,(0.)-2, 输入()= 6(0)。求状态变19e-3_6e-2基和输出。并判断该系统是否稳定。= 8(0+ 6e-2r e (0)-210-15+1(d-A)--6 9-[1 *4H(s)的极点就是/sI-A/-0的根。 [sI-A/-(s+2)(s+3)S+4(s-d(s)=(sI - A)- =de(s1-A) =(s+2)(s+3)/ -1 5+1由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。X(s) = @(s)[x(0.) +BF(5)[4 ](S+2)s1+28(s + 2)s +3)[ [(s+2)(s+3)/+38 3.3. 5离散系统状态方程的求解例已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为x(k+1)=Ax(k)+Bf(h) y(k)=Cx(k)+Df(k)[a-[ 1a-8 [a-6 a](+)=0用Z变换法求解状态方程取单边?变换：[为的,尿素性的尿zX(2)-zx(0) = AX(2)+BF(2)Y(2) = CX(2)+DF(2)X(2) = (zl-A)-zx(0) +(zl-A)"BF(2)解 @(z)-[zl-A]-iz=[- (-2-X(2) = @(z)x(0) +z-1 0(z)BF(2)设(2)= (zl-A) z[(2X±-3) (-2)(±3)Y(2) = C P(z)x(0)+[Cz-1 P(2)B+DIF(2)X(2)= @(2)[x(0)+zIBF(2)I-(k) =Z-[C @(2) x(0) 1, J(k) =Z -[( Cz-1 (2)B+D )F(2)][1+(er1eH(2)-[C-1 (2)B+D)x--00(2)的极点就是H(2)的极点即[zI-AI-0的根。+:[1+(3)][y(k)]I Tx(k)e(k)y,(k)][1x(k)/-[[1+3(3)1[1+ 2(3)*(k)-(3)1The end

5 例1 描述LTI因果系统的状态方程和输出方程为 [ ( )] 1 0 ( ) ( ) 1 4 1 2 ( ) ( ) 2 1 2 1 f t x t x t x t x t        +            − − −  =        [ ] [1] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 f t x t x t y t +      = 解       + + − =      − − − −      − = 1 4 1 2 1 4 1 2 0 1 1 0 ( ) s s sI A s det( ) adj( ) ( ) ( ) 1 I A I A I A − − = − = − s s Φ s s       − + + + + = 1 1 4 2 ( 2)( 3) 1 s s s s X(s) = Φ(s)[x(0- ) +BF(s)]               +            − + + + + = [1] 1 0 2 3 1 1 4 2 ( 2)( 3) 1 s s s s 起始状态x1(0- )=3，x2(0- )=2，输入f(t) =δ(t)。求状态变 量和输出。并判断该系统是否稳定。           + − + + − + =             + + + + + = 2 6 3 9 3 9 2 12 ( 2)( 3) 3 ( 2)( 3) 3( 6) s s s s s s s s s s y(t) = [1 1]x(t) + f(t) = ( ) 9e 6e 12e 9e ( ) 3 2 2 3 t t t t t t ε      − − = − − − − x [ ] ( ) ( ) 9e 6e 12e 9e 1 1 3 2 2 3 t t t t t t ε +δ      − − − − − − =δ(t)+ 6e-2t ε(t) 由于H(s)的极点均在左半平面，故该因果系统稳定。 H(s)的极点就是|sI-A|=0的根。 |sI-A|=(s+2)(s+3) § 3.3.5 离散系统状态方程的求解 x(k +1) = Ax(k) + Bf(k) y(k) = Cx(k) + Df(k) 用Z变换法求解状态方程 取单边z变换: zX(z)-zx(0) = AX(z)+BF(z) Y(z) = CX(z)+DF(z) X(z) = (zI-A)-1zx(0) +(zI-A)-1BF(z) 设Φ(z)= (zI-A)-1 z X(z) = Φ(z)x(0) +z-1Φ(z)BF(z) Y(z) = CΦ(z)x(0)+[Cz-1Φ(z)B+D]F(z) yx(k) =Z-1[CΦ(z) x(0) ] ，yf (k) =Z -1[( Cz-1Φ(z)B+D )F(z)] H(z)=[Cz-1Φ(z)B+D] Φ(z)的极点就是H(z)的极点.即| zI-A|=0的根。 例 已知某离散因果系统的状态方程和输出方程分别为 ( ) 1 0 ( ) ( ) 6 5 0 1 ( 1) ( 1) 2 1 2 1 f k x k x k x k x k        +            −  =      + +             −  =      ( ) ( ) 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 x k x k y k y k 初始状态为        =      2 1 (0) (0) 2 1 x x ，激励f(k)=ε(k)。求状态方程的解 和系统的输出。 解 Φ(z)=[zI-A]-1z=             − − − − − − − − − − ( 2)( 3) ( 2)( 3) 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 5 2 2 z z z z z z z z z z z z z X(z)=Φ(z)[x(0)+z-1BF(z)]=                 − + − − + − =             − − − − − − 3 2 3 1 2 1 3 2 1 1 2 1 ( 1)( 3) (2 3) ( 1)( 3) ( 2) z z z z z z z z z z z z z z z z ( ) [1 3(3) ] 2 1 [1 (3) ] 2 1 (k) k k k ε           + + x = ( ) [1 3(3) ] 2 1 [1 (3) ] 2 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 1 2 1 k x k x k y k y k k k ε           + +       − =            − =      ( ) [1 (3) ] 2 1 1 2(3) k k k ε         − + = The end