《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch5_3 频率取样法

频率取样法设计线性相位FIR滤波器·问题提出·基本思路I型线性相位系统II型线性相位系统·III型线性相位系统VI型线性相位系统

频率取样法设计线性相位FIR滤波器 •问题提出 •基本思路 •I 型线性相位系统 •II型线性相位系统 •III型线性相位系统 •VI 型线性相位系统

问题已知H(ei2)在M+1点的抽样值(H.(ejQm）；m=0,1,,M)，设计(h[k]; k=0,1,,M)，使设计出的滤波器H(z)满足Ha(ej2m)= H(ei2m)

问题 已知Hd (e jW)在M+1点上的抽样值{Hd (ejWm) ； m=0,1,.,M}，设计{h[k]; k=0,1,.,M}，使设计出 的滤波器H(z)满足 Hd (ejWm)= H (ejWm)

基本思路M一KH(2)=Zh[k]zk=0(H.(ej2m)；m=0,1,M，已确定。则可通过求解方程Ah[k]ejks?mHa(ej2m)=≥得出h[k]k=0h[K]的附加约束：系数是实的，满足线性相位条件

基本思路 k M k H z h k z − = ( ) =  [ ] 0 {Hd (ejWm) ；m=0,1,.,M}，已确定。则可通过求解方程 m jk m M k j d H e h k e − W = W ( ) =  [ ] 0 得出h[k] h[k]的附加约束：系数是实的，满足线性相位条件

·I型取样（2m=2元m/(M+1）；m=0,1,M)2元mMh[k]WmkHa(e'M+I)= H.[m]=ZM+k=01MH,[mJWM"h[k] =M +1k=0线性相位FIR滤波器频率响应一般形式为H(ejg)=ejic-0.5MO+β) A(2)2元mH.[m]= H.(e' M+1)11M元M元mmjβAa(2元m/(M + 1))=eipeM+1M+1A.[m]e=e

•I型取样(Wm=2p m/(M+1) ; m=0,1,.,M) mk M M k d M m H H m h k W 1 0 1 2 π j d (e ) [ ] [ ] + = + = =  m k d M M k H m W M h k − + =  + = 1 0 [ ] 1 1 [ ] 线性相位FIR滤波器频率响应一般形式为 ( ) ( ) j ( 0.5 ) W W W  H e e A j - M + = [ ] (e ) 1 2 π j d d + = M m H m H e e (2π /( 1)) e e [ ] d 1 π j j d 1 π j j A m M A m m M M m M M + − + − = + =  

I 型线性相位系统(M为偶数，h[kl偶对称)I型线性相位滤波器的幅度函数满足：A.(2)=A.(2元-2Ha(ei9)在M+1个取样点上值H.[m]为2元m-j.MrmeM+1Aa(2元m /(M +1)H.[m]=H(e'M+)=e若设M-4，则有.8121648元4元6元2元一J一元J元一JS元551A.(A.eH.[m] =(A.(O), Ad(g)e)e)e5551281604元2元4元0元j(4j(45=(4.[0], 4.(2)e-5,A(4元55yeA(2元eA.(2元e一-1558.84A一元一元e"sa,A.[2]ee's",A.[2]e's, A[1]e's"]H.[m] =(A.[O], A.[1]e

I 型线性相位系统(M为偶数，h[k]偶对称): I型线性相位滤波器的幅度函数满足: Ad (W)=Ad (2p−W) Hd (ejW)在M+1个取样点上值Hd [m]为 [ ] (e ) e (2π /( 1)) d 1 π j 1 2 π j d = d = + + − H m H + A m M m M M M m 若设M=4，则有 )e } 5 8π )e , ( 5 6π )e , ( 5 4π )e , ( 5 2π [ ] { (0), ( π 5 16 j d π 5 12 j d π 5 8 j d π 5 4 j d d d − − − − H m = A A A A A )e } 5 2π )e , (2π 5 4π )e , (2π 5 4π )e , ( 5 2π { [0], ( )π 5 16 j(4 d )π 5 12 j(4 d π 5 8 j d π 5 4 j d d − − − − = A A A A − A − [ ] { [0], [1]e , [2]e , [2]e , [1]e } π 5 4 j d π 5 8 j d π 5 8 j d π 5 4 j Hd m Ad Ad A A A − − =

8844S元J5元5,A.[2]e'5"5, A.[2]e5",A.[1]eH,[m] =(A,[0], A.[1]e对H[m|做5点IDFT可得2元k-4元2元k4+4元2元k2-8元2元k3+8元55555h[k]= A,[0]+ A,[1](e) + A.[2](e+e+e2元2( (2k -4) + 24.[2]co(学(2k-4)= A,[0] + 2 A,[1]cos]5

[ ] { [0], [1]e , [2]e , [2]e , [1]e } π 5 4 j d π 5 8 j d π 5 8 j d π 5 4 j Hd m Ad Ad A A A − − = 对Hd [m]做5点IDFT可得 5 [ ] [0] [1](e e ) [2](e e ) 5 2π 3 8π j 5 2π 2 8π j d 5 2π 4 4π j 5 2π 4 j d d − + − + = + + + + k k k k h k A A A p        + −      = + − (2 4) 5 2π (2 4) 2 [2]cos 5 π [0] 2 [1]cos d d d A A k A k

I型线性相位滤波器在M+1个取样点值为-jM-mM+10≤m≤M/2H.[m]=3 A.[m]eH*IM+1-mlM/2+1≤m≤M例：用频率取样法设计一个满足下列指标的型线性相位高通滤波器2=0.5元，2,=0.6元M=32;Wp=0.6*pim=0:(M+1)/2;Wm=2*pi*m:/(M+1）;%mtr=ceil（Wp*（M+1）/（2*pi））Ad=[Wm>=Wp];%Ad（mtr)=0.28;Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm);Hd=[Hdconj（fliplr(Hd(2:M/2+1)))l;h=real（ifft(Hd)）;w=linspace(0.1,pi,1000);H=fregz(h/[llw);plot(w/pi,20*logl0（abs(H)））;grid;

I型线性相位滤波器在M+1个取样点值为     + − +     =  + − H M m M m M H m A m m M m M M [ 1 ] / 2 1 [ ]e 0 / 2 [ ] d 1 π j d d 例:用频率取样法设计一个满足下列指标的I型线性相位高通滤波器。 Ws =0.5p，Wp =0.6p M=32;Wp=0.6*pi; m=0:(M+1)/2; Wm=2*pi*m./(M+1); %mtr=ceil(Wp*(M+1)/(2*pi)); Ad=[Wm>=Wp];%Ad(mtr)=0.28; Hd=Ad.*exp(-j*0.5*M*Wm); Hd=[Hd conj(fliplr(Hd(2:M/2+1)))]; h=real(ifft(Hd)); w=linspace(0.1,pi,1000); H=freqz(h,[1],w); plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;

1.20.80.6A(2)0.40.2O-0.220.211.200.60.81.41.80.41.62元频率取样法设计的高通滤波器幅度函数

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 A(W) 频率取样法设计的高通滤波器幅度函数 W/p

1.21D0.80.6A(2)0.40.2DC-0.2020.211.21.61.80.40.60.81.40/元增加一个过渡点后频率取样法设计的高通滤波器幅度函数

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 A(W) 增加一个过渡点后频率取样法设计的高通滤波器幅度函数 W/p

I型线性相位系统(M为奇数，h[K]偶对称)幅度函数满足：Aa(2)=-Aa(2元-2),Aa(元)=02元mM元H,[m] = H,(e'M+I)=e M+A.(2元m/(M + 1))若M-5，则H(ej?)在6个取样点上值H[m]为一元元10,154元6元2元-1666H.[m] =(A.(O), A.4leee66620258元10元76AbeDe466101552元4元T1P6"6= (A.(O), A. ()eDeA.(元)e662025／元4元2元j(sjcs-66,-A(2元2元JeJe6610心106666,0,A[2]eA.[1]eH.[m] =(A.[O], A.[1]e,A.[2]e

I I型线性相位系统(M为奇数，h[k]偶对称): 幅度函数满足: Ad (W)=−Ad (2p−W), Ad (p)=0 [ ] (e ) e (2π /( 1)) d 1 π j 1 2 π j d = d = + + − H m H + A m M m M M M m 若M=5，则Hd (ejW)在6个取样点上值Hd [m]为 )e } 6 10π )e , ( 6 8π , ( )e 6 6π )e , ( 6 4π )e , ( 6 2π [ ] { (0), ( π 6 25 j d π 6 20 j d π 6 15 j d π 6 10 j d π 6 5 j d d d − − − − − = A A H m A A A A π 6 15 j d π 6 10 j d π 6 5 j d d )e , (π)e 6 4π )e , ( 6 2π { (0), ( − − − = A A A A )e } 6 2π )e , (2π 6 4π , (2π )π 6 25 j(5 d )π 6 20 j(5 d − − −A − −A − [ ] { [0], [1]e , [2]e ,0, [2]e , [1]e } π 6 5 j d π 6 10 j d π 6 10 j d π 6 5 j Hd m Ad Ad A A A − − =