《数字信号处理》课程教学课件（PPT讲稿）ch5_2 窗口法

窗函数法设计FIR滤波器·最小积分平方误差设计FIR滤波器·吉伯斯(Gibbs)现象·常用窗函数·窗函数法的MATLAB实现

•最小积分平方误差设计FIR滤波器 •吉伯斯(Gibbs)现象 •常用窗函数 •窗函数法的MATLAB实现 窗函数法设计FIR滤波器

最小积分平方误差设计FIR滤波器V问题：已知Ha(ei9)，设计 H(z)=≥ h[k]z-k使其频率响应逼近Ha(eig)。=0h[k]=—_ Ha(evg)ekod?2元一元hd[k]一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。方案l：设Ha(ei)是实偶函数，则ha[K]】是实偶对称的。设 M-2K, w[K]=RN+1[k]h [K]= hd[k-K]RN+i[k]h [M-k]= hd [M-k-M2] Rn+1 [k]= ha[-(k-N /2]] RN+1 [K] = hd[k-M]RN+i[K] = h[k

问题：已知Hd (ejW )，设计 使其频率响应逼近Hd (ejW)。 k M k H z h k z − = ( ) =  [ ] 0 W  W W   ( ) d 2 1 [ ] j jk d d h k H e e  − = hd [k]一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。 设 M=2K, w[k]=RN+1[k] h [k]= hd [k−K]RN+1[k] 方案1：设Hd (ejW)是实偶函数， 则hd [k] 是实偶对称的。 h [M−k]= hd [M−k−M/2] RN+1 [k] = hd [−(k−N /2)] RN+1 [k] = hd [k−M]RN+1[k] = h[k] 最小积分平方误差设计FIR滤波器

例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为Q的理相低通1[2≤2解：设H.(e)二人其他10Qh [k]=2元”1·ejk?dQSa(2.k)二2元-2c元2CSSa(2.(k-M /2),0≤k≤Mh[k]= h,[k-M /2]二2元

例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近 截频为Wc的理想低通。 解：设     = 0 其他 1 ( ) d j c H e W W W 1 Sa( ) 2 1 h [k] e d kc jk c d c c W  W W  W W W =   = − h k h k M ( c k M ) k M c [ ] = d [ − / 2] = Sa W ( − / 2 ,0    W

方案2：设Ha(ei)为Ha(ei) =Ad(2)exp(i(-0.5MQ2+β)I型和II：β-O ；III型和IV:β元/2。h [k]= hd [k]RN+i[k例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为Q的理想低通。e-j0.5MQ0<2|≤2解：设Ha(ej?)=[0其他521 e-05M0.Mo en d2-sa(2.(k- M/2)2ha[k] =2元-2元Sa(2.(k- M /2),0≤k≤Mh[k] =元

方案2：设Hd (ejW)为 Hd (ejW) =Ad (W)exp(j( −0.5MW+b)) I型和II: b=0 ; III型和IV:b=/2。 h [k]= hd [k]RN+1[k] 例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近 截频为Wc的理想低通。 解：设      = − 0 其他 e 0 ( ) j0.5 d c M j H e W W W W e Sa( ( / 2)) 2 1 [ ] j0.5 h k e d c k M M jk c d c c =  = − − −  W  W W  W W W W h k ( c k M ) k M c [ ] = Sa W ( − / 2) ,0    W

例：理想数字微分器的频率响应为HpIF(ei)-j2,12≤元试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数字微分器解：设理想微分器的频率响应为HDIF(ej2)=2 ei(0.5元-0.5M2), 12<元元Qej2(k-0.5 M)d2hpIr[k] =一元2元(-1)(k-0.5 M)M为偶,k±0.5Mk-0.5M0,M为偶，k=0.5M/(-1)(k-0.5 M+0.5)M为奇元(k- 0.5M)2

例：理想数字微分器的频率响应为 HDIF(ejW)=jW ,|W| 试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数 字微分器。 解：设理想微分器的频率响应为 HDIF(ejW )= W e j(0.5−0.5MW) , |W| W W W e d 2π j [ ] j ( 0.5 ) π DIF π k M h k − − =          =  − − =  − − − + − 为奇 为偶 为偶 M k M M k M M k M k M k M k M ( 0.5 ) ( 1) 0, , 0.5 , , 0.5 0.5 ( 1) 2 ( 0.5 0.5) ( 0.5 )

4A(2)4A(2)QQ二元开00元元M-10M-9

A(W)  − 0 W  − A(W) W 0 M=10 M=9

积分平方误差定义为=H,(ei?)- H(ejg) d2元2元J由Parseval等式，ε2可表示为?=Z[ha[k] - h[k]k=-002 ha [K] +≥ [h[k]-h[k]2 + ha [K]二k=-0k=M+1k=-00可选择h[K]= ha[k],0≤k≤M使积分平方误差最小

积分平方误差定义为  W W W (e ) ( ) d 2π 1 2 j d π π 2 j = H − H e − 由Parseval等式， 2可表示为 2 2 h [k] h[k] d k =  −  =−  2 1 2 0 2 1 h [k] h [k] h[k] h [k] d k M d M k d k     = = + − =− = + − + 可选择 h[k]= hd [k]， 0k M 使积分平方误差最小

吉伯斯(Gibbs)现象0.50.5()(u)aA0000.2元0.4元0.8元元20.6元00.2元0.4元0.6元0.8元元QM-60M-14

吉伯斯(Gibbs)现象 0 0 0.5 1 0.2  0.4  0.6  0.8   W A (W) M=14 M=60 0 0.2  0 0.5 1 0.4  0.6  0.8   A (W) W

矩形窗对H(e j2)的影响h[k]= ha[k]Wn[k]11H,(eje )W(e(2-0))doH(ejo)=2元一元当: W[k] = R[k]W(ejg)= e-jQ(N-1)/2 Sin(NQ/2)sin(2/2)矩形窗的幅度函数为sin( NQ / 2)W(2)=sin(2/2)

矩形窗对H(e jW)的影响 h[k ] h [k ]w [k ] = d N    W    W H e H e W e d j N j d j ( ) ( ) 2 1 ( ) ( − ) − =  w [k ] R [k ] 当： N = N sin( / 2) sin( / 2) ( ) ( 1)/ 2 W W W NW W e e j − j N − = 矩形窗的幅度函数为 sin( / 2) sin( / 2) ( ) W W W N W =

W(2)N主瓣旁瓣2元一元4元2元2元4元NNNN矩形窗的幅度函数

W N 2 N 2 − N 4 N 4 − N −  主瓣 旁瓣 W (W) 矩形窗的幅度函数