《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第六章 求总量的问题——定积分 6-4 定积分魅力的显示——在若干学科中的应用

第四节定积分魅力的显示一在若干学科中的应用主要内容：微元法一二、定积分在几何中的应用三、定积分在物理中的应用

主要内容： 一、微元法 二、定积分在几何中的应用 三、定积分在物理中的应用 定积分魅力的显示— 在若干学科中的应用 第四节

微元法在定积分的应用中，微元法是核心，所有的应用问题都是在微元法的思想下解决的

一、 微元法 在定积分的应用中，微元法是核心，所有 的应用问题都是在微元法的思想下解决的

用微元2面积、体积、平面曲线的弧长、利润、成本、收益等变量均可用微元法解决

2) Q 在区间 [a , b ]上具有可加性,可以表示成 1) 所求的变量Q是与区间[a , b]上的某分布f (x) 有关的整体量; 用微元法可以解决的问题: 等变量均可用微元法解决． 面积、体积、平面曲线的弧长、利润、成本、收益

积分的所有应用问题，一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤把所求量表示为定积分的形式,常简称为“微元法”·设y = f(x)是区间[a,b]上的连续函数,现求与f(x)有关的量Q.先选取任意小的区间作为代表：[x,x + dx]c[a,b] 使Q ~ f(x)dx,且dQ = f(x)dx ,然后,写出定积分,即Q=f(x)dx.这就是微元法应用方向平面图形的面积、体积：平面曲线的弧长：由边际函数求总函数等

积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近 似求和,取极限”三个步骤把所求量表示为定 积分的形式,常简称为“微元法”. , , ( ) . b a Q f x x = 然后 写出定积分 即  d 先选取任意小的区间作为代表 d 使 d 且d d : [ , ] [ , ] , ( ) , ( ) , x x x a b Q f x x Q f x x +    = ( ) [ , ] , ( ) . y f x a b f x Q 设 = 是区间 上的连续函数 现求 与 有关的量 这就是微元法. 应用方向 平面图形的面积、体积；平面曲线的弧长； 由边际函数求总函数等．

曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线y= f(x)(f(x)≥0)x轴与两直线x=a,x=b所围成y=f(x)ytA2ba0x

曲边梯形求面积的问题 a b x y o A = ? y = f (x) y f x f x x x a x b ( )( ( ) 0), , =  = = 曲边梯形由连续曲线 轴与两直线 所围成

1、分割；3、取极限2、近似求和；典型小区域面积dsy=f(x)bax底+dxxdx用矩形面积近似["f(x)dx小曲边梯形面积

a b x y o y = f (x) x x x +d 用矩形面积近似 小曲边梯形面积 f x( ) 高 典型小区域面积 dS d d S f x x = ( ) 1、分割； 2、近似求和； 3、取极限. b a 底 dx S = a b x y o y = f (x)

二、在几何学中的应用1.平面图形的面积由定积分的几何意义知：当f(x)≥0时,[ f(x)dx= A表示由y=f(x),x=a,x= b,x轴所围的曲边梯形的面积1yy= f(x)>xb0a

f x( ) 0  ( )d b a f x x A =  表示由y = f(x) , x = a , x = b, 由定积分的几何意义知: 当 二、在几何学中的应用 x轴所围的曲边梯形的面积. o y x y = f (x) a b 1. 平面图形的面积 时, A

若f(x)在[a,b]有正有负,则所围成的面积为A=J"lf(x)dx .y = f(x)bX0

若f x a b ( ) [ , ] , 在 有正有负 则所围成的面积为 o y x y = f (x) a b ( ) . b a A f x x =  d

A=("[f(x) - g(x)]dx = f" f(x)dx-f" g(x)dxVf)V=S=( [f(x)-g(x)]dx高f(x)-g(x)x=bx=a底x16xdx dx0y = g(x)更一般地，A是由y= f(x),y= g(x)(f(x)≥ g(x),x =a,x=b所围成的平面图形的面积

[ ( ) ( )] b a f x g x x −  d o y x ( ) ( ) b b a a = − f x x g x x   d d y f x = ( ) a b x a = x b = y g x = ( ) A A= x x x + d dS = b a S = 底 dx 高 f x g x ( ) ( ) − [ ( ) ( )] f x g x x − d 更一般地， 是由 所围成的平面图形的面积 ( ), ( )( ( ) ( )), , . A y f x y g x f x g x x a x b = = = = >

Vy= f()曲边梯形的面积x=bx=a-x0y = g(x)右直边上曲边A= ([f(x) - g(x)]dx.左直边下曲边

曲边梯形的面积 [ . ( ) ( )]d b a A = − f x g x x  上曲边 左直边 下曲边 右直边 o y x x a = x b = y f x = ( ) y g x = ( )