《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第四章 导数的应用问题——洛必达法则、函数的性质 和图像 习题课

第四章导数的应用问题习题课～目的要求、内容结构三、典型例题四、练习题

第四章 导数的应用问题 习 题 课 一、目的要求 二、内容结构 三、典型例题 四、练习题

目的要求☆理解费马定理、拉格朗日定理，会用拉格朗日定理证明简单的不等式：☆熟练掌握用洛必达法则求不定式极限的方法☆掌握利用导数判定函数单调性及函数单调增减区间的方法，理解函数极值的概念，掌握求函数极值、最值的方法：☆了解函数凹凸性与拐点的概念；☆了解利用导数描绘函数图形的方法

☆理解费马定理、拉格朗日定理，会用拉格朗 日定理证明简单的不等式； ☆了解函数凹凸性与拐点的概念； ☆熟练掌握用洛必达法则求不定式极限的方法; ☆掌握利用导数判定函数单调性及函数单调增 减区间的方法，理解函数极值的概念，掌握求 函数极值、最值的方法； ☆了解利用导数描绘函数图形的方法. 目的要求

知识网络图

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费马定理0中值费马定理：如果x.是函数f(x）的极值点如果函数f(x)满足(1）在闭区间[a,b|上连续：导数应用(2)在开区间(a,b)上可导,那么在开区间(a,b)内至f(b)-f(a)少存在一点，使得f'()=( E (a,b)b-a凹凸性（利用二阶导数）应用判断函数性质极值（两个判别准则最值绘制函数图像

导数应用 中值 定理 费马定理 拉格朗日定理两个基本类型不定式 其他类型不定式 应用 洛必达法则 单调性（利用一阶导数） 凹凸性（利用二阶导数） 绘制函数图像 判断函数性质 0 0 0 0 0 , ,1 , ,0     −     极值(两个判别准则) 最值 如果 是函数 的极值点 并且 在该 费马定 导 那 理 点可 么 0 0 ( ) , ( ) , ( ) 0 : . x f x 如果函数 f x f x 满足 在闭区间 上  连续 = ； 在开区间 上可导 那么在开区间 内至 少存在一点 ，使得 ( ) (1) [ , ] (2) ( , ) , ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ( , )). f x a b a b a b f b f a f a b b a    −  =  −

重点与难点重点：洛必达求极限问题，判定函数单调性及增减区间，求函数的极值，求实际问题的最值。难点:正确理解拉格朗日中值定理及应用，灵求实际问题活运用洛必达法则求极限，的最值

重点：洛必达求极限问题，判定函数单调性 难点：正确理解拉格朗日中值定理及应用，灵 及增减区间，求函数的极值，求实际 问题的最值. 活运用洛必达法则求极限，求实际问题 的最值. 重点与难点

例题bb-ab-a例1证明不等式(0<a<b)<Inbaa提示与分析：h因为ln==lnb-Ina,则所证不等式可以化aIn b-In a为二bb-aa在区间[a,b上用拉格朗日公式

例1 ln (0 ). 证明不等式 b a b b a a b b a a − −     提示与分析： 在区间[ , ] a b 上用拉格朗日公式. 因为 则所证不等式可以化 为 ln ln ln , 1 ln ln 1 , b b a a b a b b a a = − −   − 例 题

证明 作辅助函数f(x)=lnx，因为0<a<b,所以f(x)=lnx在[a,b|上连续，在(a,b)内可导根据拉格朗日中值定理，在(a,b)内至少存在一点使Inb-InaVf'()Eb-aS故又0<a<<b,babbInb-Inab1-aa所以因此< Inbbb-aaaa

1 x = 根据 ，在 内至少存在一点 ， 拉格朗日中值定 使 理 ( , ) a b  证明 作辅助函数f x x ( ) ln , = 所以f x x a b a b ( ) ln [ , ] ( , ) = 在 上连续，在 内可导， 因为0 ,   a b， ln ln ( ) b a f b a  −  =  − 故 1 1 f ( ) , b a     所以 1 ln ln 1 , b a b b a a −   − 因此 ln . b a b b a b a a − −   又0 ,    a b  (ln ) x x =  =

sin x1x例2求limx→0 1- cosxsinxlim：1x-0xsinx1提示与分析：X1-cosx0型，用洛必达法则求解因此该式为二老0sinxxcosx-sin xY1t?x解 limsin x(1 - cos x)x-00sinx-xcosx化简= limx? sin x0x-→0

例 求 0 sin 2 1 lim . x 1 cos x x → x − − 因此该式为 型，用洛必达法则求解. 0 0 0 sin lim 1 x x → x = 提示与分析： sin 1 1 cos x x x − − 0 sin 1 lim x 1 cos x x → x − = − 2 0 sin cos lim x sin x x x → x x − = 0 0 解 2 cos sin sin x x x x x − ( ) − ( ) 化简

sinx-xcosx1lim继续用洛必达法则(x’ sin x)x-→00cos x-(cosx- xsinx)整理Jim=x-→02xsin x + x' cosx(sin x)=lim再次用洛必达法则x→0(2sin x + x cos x)1cos O:= limx-03cos 0 -0 sin 013

2 0 sin cos lim x sin x x x → x x − = 0 0 继续用洛必达法则 0 sin lim x 2sin cos x → x x x = + 0 0 再次用洛必达法则 0 cos lim x 3cos sin x → x x x = 0 − 0 0 0 0 1 . 3 = ( ) ( ) 2 0 cos (cos sin ) lim x 2 sin cos x x x x → x x x x − − = + 整理 ( ) ( )

x2 + In x例3求limX-*0 x?. In xx+lnx提示与分析：8洛必达法则求解x?.nx8化简2x2+12x+1/x0.8lim解原式= limD2x? In x+ xx-→+8x-→>+2xlnx+x4x分子分母同除以xlim=4xlnx+2x+2xx-→+04lim= 0.=无穷大量的倒数4n x± 4X→+0为无穷小量无穷大量

2 2 ln ln x x x x +  ( )   解 原式 2 2 ( ln ) lim ( ln ) x x x →+ x x +  =   4 lim 0. x→+ 4ln 4 x = = + 例 求 2 2 ln lim ln 3 . x x x →+ x x +  提示与分析：   2 1/ x x + 洛必达法则求解 2 2 2 2 1 lim x 2 ln x →+ x x x + = + 2 2 2 (2 1) lim (2 ln ) x x →+ x x x +  = +  4x 4 ln 2 2 x x x x + + 化简 分子分母同除以x 无穷大量的倒数 为无穷小量. 2 x x x ln + 无穷大量