《大学文科数学》课程PPT教学课件（微积分）第七章 偶然中蕴含必然的问题——概率统计初步 7-2 偶然中的必然——概率

第二节偶然中的必然一概率主要内容：概率的定义i、条件概率三、全概率公式和贝叶斯公式

第二节 主要内容： 一、概率的定义 二、条件概率 三、全概率公式和贝叶斯公式 偶然中的必然 概率

概率的定义1.概率的统计定义设E为随机试验，A为随机事件，对E在相同条件下重复进行n次，若A出现了m次，则比值 m称为A在n次试验中出现的频率，记为nFn(A).随着n的变化m而变化F,(A) :n单独进行一次试验，其结果难以预料，但当多次重复这个试验时，就会呈现某种规律性

1. 概率的统计定义 一、概率的定义 设E为随机试验，A为随机事件，对E在相同 条件下重复进行 n 次，若 A 出现了m 次，则 比值 称为A在n次试验中出现的频率，记为 Fn (A). m n ( ) n m F A n = 单独进行一次试验，其结果难以预料，但当 多次重复这个试验时，就会呈现某种规律性. 随着n的变化 而变化

例1DeweyG.统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率，发现各字母出现的频率不同：A:0.0788B: 0.0156C: 0.0268D: 0.0389F: 0.0256G: 0.0187H: 0.0573E: 0.1268I:0.0707J: 0.0010L: 0.0394K: 0.0060M:0.0244N: 0.07060: 0.0776P: 0.0186R: 0.0594Q:0.0009S: 0.0634T: 0.0987V: 0.0102U:0.0280W: 0.0214X: 0.0016Y: 0.0202Z:0.0006他们可以作为英文字母出现的概率的参考近似值.这种概率分配的大小，可以用来帮助通信中的信息处理与压缩方法

例1 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母 出现的频率, 发现各字母出现的频率不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006 他们可以作为英文字母出现的概率的参考近似值.这种 概率分配的大小，可以用来帮助通信中的信息处理与压 缩方法

例2将一枚均匀硬币掷n次，观察在n次试验中正面向上”这个事件A出现的可能性的大小，两位学者的试验结果如下表：投币次数n正面向频率F,(A)试验者上次数m6.5069i40402048蒲丰(Buffon)6019120000.5016K.皮尔逊Pearson)0.50052400012012K.皮尔逊(K.Pearson）在0.5附近律频率的稳定性当多次重复试验时，就会呈现某种规律性

当多次重复试验时，就会呈现某种规律性. 例2 将一枚均匀硬币掷n次，观察在n次试验中 “正面向上”这个事件A出现的可能性的大小，两 位学者的试验结果如下表： 试验者 投币次数n 正面向 上次数m 频率Fn (A) 蒲丰(Buffon) K.皮尔逊(K. Pearson) K.皮尔逊(K. Pearson) 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 在0.5附近徘徊 频率的稳定性

概率的统计定义在大量重复试验下，设试验次数为n.事件A出现的次数为m,如果A出现的频率=总是在某n个常数p附近摆动，则称p为事件A的统计概率，记为P(A)= p在例2中，“出现正面177的事件A的概率为：P(A) = 0.5 .该定义的优点：直观、易懂；缺点：粗糙，模糊不便使用

概率的统计定义 该定义的优点： 缺点： 不便使用 在大量重复试验下，设试验次数为 事件 出现的次数为 如果 出现的频率 总是在某 个常数 附近摆动，则称 为事件 的统计概率， 记为 , , ( ) . n A m m A n p p A P A p = 直观、易懂； 粗糙，模糊. 2 ( ) 0.5 . A P A = 在例 中， “出现正面”的事件 的概率为：

概率性质样本空间1)对于任何事件A，P(A)≥0;非负性即必然事件的概率为1.规范性(2)对于样本空间2,P(2)=1;n(3)P(UA,)=ZP(A,),A,互不相容.可加性i=1i-1AnA,=O,1≤i<j≤n

概率性质 (1) ( ) 0 对于任何事件A P A ，  ； 非负性 (2) ( ) 1 对于样本空间  ，P = ； 规范性 互 不 相 容 1 1 (3) ( ) ( ), . n n i i i i i P A P A A = = =  样本空间， 即必然事件 的概率为 1 . 可加性 , 1 A A i j n i j =    

统计概率在我们日常生活中经常出现某大学统计学专业的就业率为98.9%。世界每年发生特大地震的概率约为14%

统计概率在我们日常生活中经常出现， 某大学统计学专业的就业率为98.9% . 世界每年发生特大地震的概率约为14%

概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的，但并不能用这个定义计算 P(A)，因为统计具有事先要做大量重复试验的限制，有很大的局限性寻求新的解决方法古典概率

概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客 观存在的,但并不能用这个定义计算 P(A) ，因 为统计具有事先要做大量重复试验的限制，有 很大的局限性. 寻求新的解决方法 —— 古典概率

2.概率的古典定义例3课上从06705班40名学生中随机点名，每位同学被点到名的概率为多少提示与分析：样本空间中有40个（学生）样本点，每个学生被点名的机会相同，解“被点到名"记为事件A.P(A)= —= 0.025

2. 概率的古典定义 例3 课上从06705班40名学生中随机点名，每 位同学被点到名的概率为多少？ 解 样本空间中有40个（学生）样本点，每个 学生被点名的机会相同. 提示与分析： “被点到名”记为事件A. P A( ) = 40 1 = 0.025

该试验有两个特点：(1）每次试验有有限多个样本点，即样本空间由有限多个样本点构成有限性(2）每次试验，每个样本点出现的等可能性可能性相同，我们称具有以上两个特点的试验为古典概型古典概型在我们生活中经常遇得到，如从装有n份考题的试卷袋中随机取一份进行测验：买彩票能够中奖等

我们称具有以上两个特点的试验为古典概型. (1) 每次试验有有限多个样本点，即样本空 间由有限多个样本点构成. 该试验有两个特点： (2) 每次试验，每个样本点出现的 可能性相同. 古典概型在我们生活中经常遇得到，如从装 有n份考题的试卷袋中随机取一份进行测验； 买彩票能够中奖等. 有限性 等可能性